BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Số tín chỉ: 2) docx

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý, khoa học xã hội ta thường gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏ

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý, khoa học xã hội ta thường gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP)

PTVP là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó

- Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có PTVP thường

- Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến độc lập thì ta có phương

trình đạo hàm riêng

- Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó

- Nghiệm của PTVP là mọi hàm thỏa mãn phương trình ấy

Trong học phần này ta chỉ xét đến PTVP thường (còn gọi là PTVP)

1.2 Nghiệm của PTVP cấp một: là hàm thỏa mãn phương trình ấy

- Nghiệm tổng quát của PTVP cấp một là nghiệm có chứa một hằng số tùy ý

( ), ,

y=ϕ x C C=const mà được một hệ thức dạng Φ(x y C, , )=0, C =const nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn Hệ thức ấy được gọi là tích phân tổng quát Hệ thức

(x y C, , 0) 0

Φ = được gọi là tích phân riêng

- PTVP có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát đó là những nghiệm kỳ dị

1.3 Bài toán Cauchy (bài toán đầu): PTVP dạng y'= f x y( ), cùng với điều kiện

y x = y lập nên bài toán Cauchy (bài toán đầu) của PTVP cấp một Điều kiện

y x = y với x y0, 0 là các hằng số cho trước được gọi là điều kiện đầu

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu y( )1 =2 của phương trình 'y =2y

∂ liên tục trong hình chữ nhật D có chứa điểm

(x y thì tồn tại một lân cận của điểm 0, 0) x0 sao cho PTVP y'= f x y( ), có một nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện y x( )0 = y0, nghĩa là bài toán Cauchy

trong đó A x là hàm số liên tục của biến x, ( ) B y là hàm số liên tục của biến y được ( )

gọi là phương trình tách biến

Để giải (1) ta chỉ cần tích phân hai vế

Ví dụ 1: a) Giải phương trình vi phân: 2( ) ( )

dy

b) Tìm nghiệm bài toán Cauchy y( )0 =0 của (*)

Ví dụ 2: Thực nghiệm chỉ ra các chất phóng xạ như uranium có tốc độ phóng xạ tỉ lệ

với khối lượng M t tại thời điểm đang xét ( )

Ta có thể viết công thức để tính khối lượng tại bất kỳ thời điểm nào bằng cách giải phương trình

2.3 Phương trình vi phân toàn phần, thừa số tích phân:

2.3.1 Phương trình vi phân toàn phần:

được gọi là PTVP toàn phần

Khi đó sẽ tồn tại hàm U x y( ), ∈D sao cho: P U , Q U

là PTVP toàn phần Hàm µ µ= ( )x y, được gọi là thừa số tích phân của (6)

Khi đó nếu U x y( ), =C C, =const là tích phân tổng quát của (7) cũng đồng thời

là tích phân tổng quát của (6)

Cách tìm thừa số tích phân: Vì (7) là PTVP toàn phần nên:

- Nếu q x( )≡0 thì (8) được gọi là PTVP tuyến tính thuần nhất

- Nếu q x( )≠0 thì (8) được gọi là PTVP tuyến tính không thuần nhất

Cách giải 1: Phương pháp biến thiên hằng số

Vậy nghiệm tổng quát của (8) là

Cách giải 2: Ta tìm nghiệm tổng quát của (8) dưới dạng y =u v trong đó

vu =q x Vậy có thể tìm được nghiệm tổng quát của (8)

Ví dụ: 1) Giải bài toán Cauchy: y' 2y 4 ,x y( )1 2

Nếu α =0 hoặc α =1 thì (12) là PTVP tuyến tính cấp một

Nếu α ≠0 và α ≠1thì (12) được gọi là phương trình Bernoulli

Cách giải: - y =0 là nghiệm của (12)

Cách giải: Đặt y'=t, ta cóy= +xt f t( ) Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta được

- Nếu x= −f '( )t thì y = −tf '( ) ( )t + f t , đó là phương trình tham số của đường tích

phân kỳ dị E Dễ thấy đường E tiếp xúc với mọi đường tích phân D t

Cách giải: Đặt 'y =t, ta cóy =x g t( ) ( )+ f t Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta được

Sau khi tích phân bài toán trở thành

Từ đó ta xây dựng được y x từ 1( ) y0 và f x y ; ( ), y x từ 2( ) y x và 1( ) f x y ( ),xác định mỗi hàm từ hàm ngay trước nó và f x y Ta đưa ra sơ đồ xấp xỉ Picard ( ),

Do đó sơ đồ Picard là một công cụ lý thuyết hữu hiệu để chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của PTVP

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu sau:

( )2

§4 GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ

Phương pháp số để giải bài toán đầu là một cách xác định nghiệm gần đúng tại các điểm riêng biệt nào đấy mà chỉ cần dùng đến các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và tính giá trị hàm

Mọi phương pháp số đều dẫn đến tìm nghiệm gần đúng tại x x0, , 1 , trong đó hiệu

giữa hai giá trị x bằng hằng số, tức là x n+1− =x n h

Ta mô tả ba phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu

y0 = y x( )0 , y1 = +y0 h f x y( 0, 0),y2 = +y1 h f x y( 1, 1), ,y n+1 = y n +h f x y( n, n)

Vậy bước thứ n của phương pháp Euler có dạng

3.2 Phương pháp Euler cải tiến

Đây là phương pháp biến thể của phương pháp Euler Tại mỗi bước tính giá trị phụ

(x y n, n) với hệ số góc f x y rồi tiếp tục dọc theo đường thẳng với hệ số góc ( n, n)

Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ

1.2 Bài toán Cauchy (bài toán đầu):

Bài toán Cauchy đối với phương trình (1) là bài toán tìm nghiệm y= y x( ) của phương trình (1) thỏa mãn các điều kiện đầu ( )( ) ( )

( ) 1 '

0, 0, 0, , 0n

Định lý (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy):

Định nghĩa: Hàm số y= y x C( , 1, ,C n), C i =const i, =1,n phụ thuộc vào n hằng số tùy

ý được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1) nếu thỏa mãn

- Hàm y x C( , 1, ,C thỏa mãn (1) với mọi giá trị n) C1, ,C n

- Với mọi giá trị ( ' ( ) 1 )

§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

3.1 Định nghĩa: Phương trình dạng: y''+ p x y( ) '+q x y( ) = f x( ) ( )1

trong đó p x q x v f x là các hàm số liên tục ( ) ( ), à ( )

y − y + = ⇒y x PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

3.2 PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất:

Phương trình dạng: y''+ p x y( ) '+q x y( ) =0 ( )2

trong đó p x q x là các hàm số liên tục ( ) ( ),

3.2.1 Định nghĩa: Hai hàm y x1( ) ( ),y2 x được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại

các hằng số C C1, 2 không đồng thời bằng 0 sao cho C y1 1+C y2 2 =0 Trường hợp ngược

lại thì chúng được gọi là độc lập tuyến tính

Nhận xét: Hai hàm y x1( ) ( ),y2 x là độc lập tuyến tính nếu ( )

( )

1 2

Chú ý: Nếu các hàm y1 = y x1( ),y2 = y2( )x là hai nghiệm riêng phụ thuộc tuyến tính của phương trình (2) thì y1=k y k2, =const⇒ =y C y1 1+C y2 2 =(kC1+C2)y2 thực chất chỉ phụ thuộc vào một hằng số nên y không phải là nghiệm tổng quát của (2)

Nhận xét: - Từ định lý muốn tìm nghiệm tổng quát của (2) chỉ cần tìm hai nghiệm riêng

độc lập tuyến của nó (các nghiệm đó được gọi là hệ nghiệm cơ bản)

3.2.3 Công thức Liouville: Nếu đã biết một nghiệm riêng y1 = y x1( )của (2) thì có thể tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính y2 = y2( )x của nó theo công thức Liouville:

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

biết một nghiệm riêng y x1( )=x

3.3 PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất:

3.3.2 Nguyên lý cộng nghiệm ( chồng chất nghiệm ):

Xét phương trình không thuần nhất y''+ p x y( ) '+q x y( ) = f x1( )+ f2( )x ( )4

Nếu Y1 là nghiệm riêng của phương trình y''+ p x y( ) '+q x y( ) = f x1( ), Y2 là nghiệm riêng của phương trình y''+ p x y( ) '+q x y( ) = f2( )x thì Y = +Y1 Y2 là nghiệm riêng của (4)

Kết quả này còn được mở rộng đối với vế phải của (4) là tổng của hữu hạn hàm

3.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số:

Giả sử y=C y1 1+C y2 2, trong đó C C1, 2 là các hằng số là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (2) Khi đó nếu C1=C x C1( ), 2 =C2( )x là những hàm số thỏa mãn hệ phương trình:

( )

1 1 2 2 ' ' ' '

Cách giải: Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y=e kx , trong đó k là hằng số Thay

và gọi là phương trình đặc trưng, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức £ Ta

có các khả năng xảy ra như sau:

- Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiệm thực k1 ≠k2thì 1 2

1 k x, 2 k x

y =e y =e là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1) Do đó nghiệm tổng quát của (1)

4.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất:

4.2.2 Phương pháp hệ số bất định (Phương pháp Lagrange):

Nếu vế phải f x của (3) có dạng đặc biệt thì có thể tìm nghiệm riêng của (3) ( )

theo phương pháp hệ số bất định

- Nếu γ θ±i không trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì

nghiệm riêng của (3) có dạng Y =e γ xQ x l( )cosθ x+R x l( )sinθ x

- Nếu γ θ±i trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì

nghiệm riêng của (3) có dạng Y =xe γ xQ x l( )cosθ x+R x l( )sinθ x

trong đó Q x R x là các đa thức bậc l mà hệ số của chúng được xác định theo l( ) ( ), l

phương pháp hệ số bất định

Đặc biệt nếu f x( )=[Acosθ x+Bsinθ x], trong đó A,B là các hằng số

- Nếu i±θ không trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì

nghiệm riêng của (3) có dạng: Y =[Mcosθ x+Nsinθ x]

- Nếu i±θ trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì

nghiệm riêng của (3) có dạng:

§5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO

5.1 Định nghĩa: PTVP tuyến tính cấp n là phương trình có dạng:

- Nếu f x( )≡0 thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n thuần nhất

- Nếu a0( ) ( )x a x, 1 , ,a n−1( )x là các hằng số thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n

với hệ số hằng

5.2 Biểu diễn dưới dạng toán tử:

Nếu ký hiệu vế trái của (1) là L y và gọi là toán tử vi phân tuyến tính cấp n thì ( )

5.3 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính - Định thức Wronski - Hệ nghiệm

cơ bản, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

5.3.1 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

Định nghĩa: Hệ n hàm y1= y x1( ),y2 = y2( )x , ,y n = y n( )x x, ∈( )a b, được gọi là phụ

thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hằng số C C1, 2, ,C n không đồng thời bằng 0 sao cho

Định lý: Tập hợp n nghiệm y1 = y x1( ),y2 = y2( )x , ,y n = y n( )x x, ∈( )a b, của phương trình thuần nhất (2) là độc lập tuyến tính trong khoảng ( )a b, ⇔∃ ∈x0 ( )a b, :W≠0

5.3.3 Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

Định nghĩa: Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2) được

gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình ấy

Định nghĩa: Nếu hệ n hàm y1= y x1( ),y2 = y2( )x , ,y n = y n( )x là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (2) thì hàm

1 1 2 2 n n

trong đó C C1, 2, ,C n là các hằng số là nghiệm tổng quát của (2)

Công thức nghiệm: Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1) là

y= +y Y , trong đó y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, Y

là nghiệm riêng của (1)

5.4 Phương pháp biến thiên hằng số:

Giả sử y =C y1 1+C y2 2 + + C y n n , trong đó C C1, 2, ,C n là các hằng số là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Nếu C1 =C x C1( ), 2 =C2( )x , ,C n =C n( )x là những hàm số thỏa mãn hệ phương trình:

5.5.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n:

Phương trình đặc trưng của (3) là:

5.5.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n:

Giải tương tự như phương trình không thuần nhất cấp hai

Thay vào (1) ta được

và gọi là đặc trưng của (1)

- Nếu (2) có hai nghiệm thực k1 ≠k2thì 1 2

1 k , 2 k

- Nếu (2) có hai nghiệm phức liên hợp k1 = +α i β, k2 = −α i β thì nghiệm tổng quát của (1) là y=x αC1cos(βlnx)+C2sin(βlnx), trong đó C C1, 2 là các hằng số

Phương trình đặc trưng của (3) là một phương trình đại số bậc n, nó có đúng n

nghiệm trong trường số phức £

7.1.1 Định nghĩa: Tập hợp n hàm y x1( ) ( ),y2 x , ,y n( )x khả vi, liên tục trong khoảng

( )a b, ⊂R sao cho điểm ( ( ) ( ) ( ) ) 1

7.1.2 Bài toán Cauchy: là bài toán tìm nghiệm y x1( ) ( ),y2 x , ,y n( )x của hệ (1) thỏa

y x = y i= n trong đó x y0, 10, ,y là những số cho trước 0n

7.1.3 Định lý: ( về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)

Giả sử các hàm số f f1, 2, , f n ở vế phải của các phương trình của hệ (1) liên tục

tại duy nhất n hàm y x1( ) ( ),y2 x , ,y n( )x là nghiệm của (1) trong một lân cận U nào đó của điểm x0 thỏa mãn các điều kiện ( ) 0

Là phương pháp đưa về một phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm số

chưa biết bằng cách khử các hàm số chưa biết còn lại từ những phương trình của hệ

y y z

''

8.1 Định nghĩa: Hệ PTVP tuyến tính cấp một với hệ số hằng là hệ phương trình dạng:

( ) ( ) ( )

Nếu các hàm số f x i( )≡0,i=1,n thì hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất

Nếu ít nhất một trong các hàm số f x i( )≠0,i=1,n thì hệ (1) được gọi là hệ không

8.2 Hệ thuần nhất (Phương pháp Euler):

Có thể giải hệ thuần nhất mà không cần đưa về PTVP cấp cao

Để thuận tiện ta xét hệ gồm hai phương trình:

α β

(4) là phương trình đại số bậc hai đối với k, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức

£ và được gọi là phương trình đặc trưng của (2)

- Nếu (4) có hai nghiệm thực k1≠ k2 thì thay k1vào (3) ta được các nghiệm α β1, 1

- Nếu (4) có hai nghiệm phức liên hợp k1,2 = ±p iq thì ứng với k1= +p iq thay vào (3) ta được các nghiệm α β1, 1 và các nghiệm riêng phức ứng vớik1 là

1 1

+ +

dy

dx dz

dy

dx dz

trong đó f x1( ) ( ), f2 x là các hàm số liên tục, được gọi là hệ không thuần nhất

Có thể giải (5) bằng phương pháp biến thiên hằng số

z z ≠ (do y y z z1, 2, ,1 2 là hệ nghiệm cơ bản)

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:

2

32

dy

dx dz

Chương III KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG -

PHÂN LOẠI

1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR)

Phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) là phương trình chứa hàm cần tìm của hai hoặc nhiều biến với các đạo hàm riêng theo các biến này

Cấp của PTĐHR là cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình Nghiệm của PTĐHR là hàm thỏa mãn phương trình

Nghiệm tổng quát là nghiệm có chứa số hàm bằng số cấp của phương trình

Nghiệm riêng là nghiệm có thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý

Nghiệm đặc biệt là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý

là nghiệm của (1) Nó chứa hai hàm độc lập tùy ý F x và ( ) G y Vậy nó là nghiệm ( )

Xét một sợi dây đàn hồi bị kích động tại đầu x =0 Có thể viết phương trình mô

tả dao động của sợi dây đàn hồi

Ví dụ: Phương trình truyền nhiệt

Phương trình biểu thị sự truyền nhiệt hay tỏa nhiệt trong thanh có dạng

2 2 2

trong đó T x y là nhiệt độ trí x và thời điểm t, ( ), 2

a =const là hệ số truyền nhiệt

Bài toán biên của PTĐHR là bài toán tìm kiếm các nghiệm của PTĐHR trong miền xác định nào đấy thỏa mãn các điều kiện trên biên của miền gọi là điều kiện biên

Định lý liên quan đến tồn tại và duy nhất của nghiệm gọi là định lý tồn tại và duy nhất

Bài toán Cauchy của PTĐHR Cho PTĐHR với các đạo hàm riêng của hàm cần

trong đó A, B, …, G có thể là hàm của x, y nhưng không phụ thuộc u

PTĐHR cấp hai của hàm hai biến không có dạng trên gọi là PTĐHR phi tuyến Nếu G =0 thì (1) được gọi là phương trình thuần nhất

Nếu G ≠0 thì (1) được gọi là phương trình không thuần nhất

3 Phương pháp tách biến (Phương pháp Fourier)

Có nhiều phương pháp giải bài toán biên của PTĐHR tuyến tính Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng nhất Ta tìm nghiệm tổng quát sau đó cho thỏa mãn điều kiện biên

Các định lý sau là cơ sở cho phương pháp

Định lý (nguyên lý cộng nghiệm) Nếu u u1, 2, ,u n là các nghiệm của PTĐHR tuyến tính thuần nhất thì C u1 1+C u2 2 + + C u n n trong đó C C1, 2, ,C n là các hằng số, cũng là nghiệm của phương trình

Định lý: Nghiệm tổng quát của PTĐHR tuyến tính không thuần nhất nhận được bằng

cách cộng nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất vào nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng