Bài giảng phương trình vi phân

Bài giảng phương trình vi phân

ChuongI: | PHUONG TRINH VI PHAN CAP MOT

§1 PHUONG TRINH VI PHAN CAP MOT

Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý, khoa học xã hội ta thường gặp các bài toán

dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP)

PTVP la phuong trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó

- Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biên độc lập thì ta có PTVP thường

- Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến độc lập thì ta có phương trình đạo hàm riêng

- _ Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó

- - Nghiệm của PTVP là mọi hàm thỏa mãn phương trình ấy

Trong học phân này ta chỉ xét đến PTVP thường (còn gợi là PTVP)

Ví dụ: y'+ I - =0 là PTVP cấp một, y"=cosx là PTVP cấp hai

vn + và =0 là phương trình đạo hàm riêng cấp một

2 2

sử + are =0 là phương trình đạo hàm riêng cấp hai

1.1 Dinh nghia:

PTVP cấp một có dạng: F(x,y,y')=0 (1)

Nếu giải được đối với y' thì PTVP cấp một có dạng

y'= ƒ(x,y) hay = = f(x,y) (2) (dạng chuẩn) hoặc

ly P(x,y) dx + O(x,y) dy =0 (3) ( dang vi phan) Vidu: y'= 27/, = e*cosx, xydx+ (x? +y”]dy =0 là các PTVP cấp mot

by

1.2 Nghiệm của PTVP cấp một: là hàm thỏa mãn phương trình ay Ộ

- Nghiệm tông quát của PTVP cầp một là nghiệm có chứa một hãng sô tùy ý

y= p(x,C), C =const

Ví dụ hàm y= Cx”, C=const là nghiệm tổng quát của PT y'= 27⁄4

Về mặt hình học nghiệm tổng quát xác định một họ đường (cong) gọi là họ đường tích phân

_ 7 Nghiém riêng của PTVP cầp một là nghiệm nhận được từ nghiệm tông quát băng cách chọn hăng sô phù hợp

Chú ý: - Đôi khi giải PTVP ta không tìm được nghiệm tông quát dưới dạng tường mình

-2-y= ợị x,C) , C = consí ma được một hệ thức dạng 0| Xs C) =0, C= const nó xác định

nghiệm tổng quát dưới dạng ấn Hệ thức ấy được gọi là tích phân tổng quát Hệ thức D( X,Y, C,) =0 được gọi là tích phân riêng

- PTVP có thể có một số nghiệm không năm trong họ nghiệm tông quát đó là những nghiệm ky dỊ

1.3 Bài toán Cauchy (bài toán đầu): PTVP dạng y'= ƒ(x,y) cùng với điều kiện y(X¿)}=%„ lập nên bài todn Cauchy (bai toán đấu) của PTVP cấp một Điều kiện

y( xạ) = Jạ VỚI xạ, }ạ là các hằng số cho trước được gọi là điểu kiện đấu

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu y( 1) =2 cua phuong trinh y'= 29/

1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy:

Xét phương trình y'= ƒ xX; y)

of

Định lý: Nếu các hàm ƒ (x y) và ay liên tục trong hình chữ nhật D có chứa điểm

(xạ Yo) thì tốn tại một lân cận của điểm x, sao cho PIVP y'=f (x, y) có một

nghiệm duy nhất thỏa mãn điểu kiện y(Xp) =y,, nghĩa la bai toan Cauchy y( xX) = y, cua PIVP y'=f(x,y) có một nghiệm duy nhất

§2 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CAP MOT

2.1 Phương trình phân ly biến số (tách biến)

1 Phương trình dang: A(x) dx = B(y) dy (1)

trong do A(x) là hàm số liên tục của biến x, B ( y) la ham số liên tục của biến y được

goi là phương trình tách biển

Đê giải (1) ta chỉ cần tích phân hai vê

Ví dụ 1: a) Giải phương trình vi phân: ° =3x’(y+2) (*)

b) Tim nghiém bai toan Cauchy y( 0) =0 của (*)

Ví dụ 2: Thực nghiệm chỉ ra các chất phóng xạ như uranium có tốc độ phóng xạ tỉ lệ

với khối lượng A⁄(?) tại thời điểm đang xét

Ta có thể viết công thức để tính khối lượng tại bất kỳ thời điểm nào bằng cách

giải phương trình

ẨM _ vụ,

dt

2 Phuong trinh dang: y'=ƒ ( ax + by + c) (2)

duoc dua vé (1) bang cach z=ax+by+c, z=z(x)

-3-2.2 Phuong trinh dang cap va gan dang cap:

2.2.1 Phương trình đẳng cấp:

x

có thê đưa (3) về phương trình tách biến bằng cách đặt

u=~,x#0, u=u(x) => y=ur, y= xen

- Nếu c= c, =0 thi (5) la phương trình dang cap

- _ Nếu ít nhất một trong các hăng số c hoặc c, khác 0 thì

a) Nếu “ h =ab,—a,b#0 thi (5) cd thé dua về phương trình dang cấp bằng

a YO cach dat:

, trong do a, Z la nghiém cua hệ

dY aX +b Khi do (5) << — peo Taf AT) ta pag ————— | làphương trình đắng cễ g cấp

đặt z=ax+by,z=z(xÌ thì ta được phương trình tách biến

Ví dụ: Giải phương trình: (2x+ y—1) đx—(x—2)&»=0

2.3 Phương trình vỉ phần toàn phan, thira s6 tich phan:

2.3.1 Phương trình vỉ phần toan phan:

và (<=> dW x y) = Vậy U(x, y) =C,C =const la tich phan téng quat cia (6)

Cach giai: Gia str

(xạ: #;) cD= U(x,y) = [P(x.y,)+ [o(x»)w= [o(,x)œ+ [P(x.y)z

Vi du: Giai phuong trinh: (3x + Oxy” |dx +(6x°y+ 4y° |dy =0

2.3.3 Thira s6 tich phan:

Xet PTVP P(x,y) dx + O(x,y) dy =0 (6) Néu op z oe thi (6) khong

y Ox phải la PTVP toan phan Tuy nhién co thé tim dugc ham p= A{ x, y) (sao cho phương trinh

uPdx + uOdy =0 (7)

là PTVP toàn phần Hàm u = 4Í xX, y) được gọi là thừa số tích phân của (6)

Khi đó nếu U (x, y) =C,C =const là tích phân tổng quát của (7) cũng đông thời

là tích phân tổng quát của (6)

Cách tìm thừa số tích phân: Vì (7) là PTVP toàn phần nên:

b) Néu w=y(y) va 1p og oP |= F,(y) chi phy thuéc vào y thì có thể tìm được

P\ ox Oy

thừa số tich phan p= el 2)

Vi du: Giai cac phuong trinh:

3

9|2+sy+2 ares +9*)ay=o b) y(1+ xy) dx —xdy =0

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một:

Định nghĩa: Phương trinh dạng: y+ p(x) y= q(x) (8)

trong đó pị x) ,q(x) là các hàm số liên tục

- Nếu q(x) =0 thi (8) dugc goi la PTVP tuyén tinh thuan nhdt

- Néu 4{ x) +0 thi (8) được gọi là PTVP tuyến tính không thuần nhất

Cách giải 1: Phương pháp biến thiên hằng số

1) Xét phương trình thuần nhất tương ứng: y'+ p(x) y=0 (9)

- „=0 là nghiệm của (9)

- „#0 thì (2) @ 2 =-p(x)dr & y=Ce "C40

JY

Ngoài ra nghiệm y = 0 cũng được ghép vào nghiệm tổng quát ứng với C=0 Vậy

nghiệm tổng quát của (9) là y =Ce J, vO =const (10)

2) Để tìm nghiệm tổng quát của (8) ta dùng phương pháp biến thiên hằng số Xem

C=C(+z) ta tìm C(>x) để (10) là nghiệm tổng quát của (8) Ta có

Vay nghiệm ens quat cua (8) la

y=(Jalx)e are K J “Joi -Ke! mM g(x) M he, K =const

Chú ý: Công thức nghiệm:

Nghiệm tong quát của phương trình không thuân nhất = nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng + Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Cách giải 2: Ta tìm nghiệm tổng quát của (8) dưới dạng y=ww trong đó

u=u(x),v=v(x) ma mot trong hai ham dé có thê chọn tùy ý Thay vào (8) ta được

vu'+| v'+ p(x )v |u= q(x x) (11)

Tim v(x] từ điều kiện y'+ p(x )v= =0 Thay vào (11) có thể tìm u(x) từ phương trình

vu'=q(x) Vậy có thê tìm được nghiệm tổng quát của (8)

Ví dụ: 1) Giải bài toán Cauchy: y+2“=4z, y(1)=2

* 2) Giải phương trình: e*dv + ( xe” — 1} dy=0

2.5 Phuong trinh Bernoulli:

Dinh nghia: Phuong trinh dang: y'+ p(x) y= y"q(x) (12) trong do aeR, p(x) ,q(x) là các hàm số liên tục

Nếu œ =0 hoặc œ =1 thì (12) là PTVP tuyến tính cấp một

Nếu ø #0 và ứ # lthì (12) được gọi là phương trình Bernoulli

Cách giải: - „=0 là nghiệm của (12)

Cách giải: Đặt y'=ứ, ta có y=xí + ƒ (£) Lấy đạo hàm hai về đối với x, ta được

- Nếu x=-/1() thì y=-Ø '{:) + ƒ(£) đó là phương trình tham số của đường tích

phân kỳ dị Z Dễ thấy đường Z tiếp xúc với mọi đường tích phân 7D)

Vi du: Giải phương trình: y=xy'— 2 y"

2.7 Phuong trinh Lagrange:

trong đó ƒ và g là các hàm số khả vi

Cách giải: Đặt y'=¿, ta cóy=xg(¡) + f(t) Lay dao ham hai vé d6i với x, ta được

d

v'=g()+xg'() 4 f(g) Sat hay [e(s)-JE+e'()x4 f'(0)=0

Đó là phương trình tuyén tinh d6i voi x(t) Néu nghiém tong quat cia no là

x=Cø(£)+w() trong đó C là hăng số tùy ý thì y=|Co(t) +y(t) le(t)+ f(t) Ta

được phương trình tham số của các đường tích phân

Ví dụ: Giải phương trình: y=xy”+ y”,

§3 PHUONG PHAP XAP XI PICARD (PHUONG PHAP GAN DUNG

LIEN TIEP)

Phuong pháp cho ta nghiệm gần đúng của bài toán đầu

y'= ƒ(zx,y) ; y(x)=%

khi giả thiết bài toán có nghiệm duy nhất trong khoảng nào đây có chứa x,

Sau khi tích phần bài toán trở thành

Từ đó ta xây dựng được y,(x] tu y, va f(x,y) ; y, (x) tur y,(x] va f(x,y) ves

xác định mỗi hàm từ hàm ngay trước nó và ƒ( x, y) Ta đưa ra sơ đồ xâp xi Picard

v.(x)=»,+ | /(6y,.)át

Với các điều kiện đặt lén ham f(x,y) ma ta sé xét dén trong định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Có thể chứng minh dãy y,,y,, y, hội tụ về nghiệm thực y(x)

Do đó sơ đô Picard là một công cụ lý thuyết hữu hiệu để chứng minh định lý tồn tại và

duy nhât nghiệm của PTVP

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu sau:

Khai trién Maclaurin của tanx ở lần can x =0 co dang

§4 GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ

Phương pháp số để giải bài toán đầu là một cách xác định nghiệm gần đúng tại các điểm riêng biệt nào đây mà chỉ cần dùng đến các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và tính giá trị hàm ¬

Mọi phương pháp sô đêu dân đên tìm nghiệm gân đúng tại x,„, x,, , trong đó hiệu giữa hai gia tri x bằng hằng số, tức là x—x =b

Ta mô tả ba phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu

y'=ƒ(x.y) y(X;} =7

3.1 Phương phap Euler

Giả sử h nhỏ, ta dùng gần đúng

y(x+ h) = y(x) + hy'(x) = y(x] +h f (x,y) ,

Dat x,=x, +ih va tinh

Vy = V(X), Vi=Vo t+ MS (XosVo) V2 = VW tNS (HV, )os Von =VYn FAS (Ky Vr)

9

Vay bước thứ ø của phương pháp Euler có dạng

Viti =, +hf (x,.y,)- _— VỆ mặt hình học nghiệm gân đúng nhận được như một đường gâầp khúc mà đoạn

đầu tiên là tiêp tuyên với đường cong nghiệm tại x,

Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler giải bài toán đầu sau đây với b= 0,2

y'=x+y; y(0)=0

Nghiệm gần đúng y„.= y,+ 0, 2( x, + y,)

Nghiệm chính xác y= e” — x—]

Đây là phương pháp biến thể của phương pháp Euler Tai mỗi bước tính giá trị

h

Xà = Yn +S (29) + FL, +h,y, +hf (x,.¥,) ]

Về mặt hình học, trong khoảng xe 4] ta gần đúng y theo đường thang qua

(x,y,) với hệ số góc /(x,,y,) rồi tiếp tục dọc theo đường thăng với hệ số góc

ƒ(*u›z„

Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler cải tiễn của bài toán đầu nêu trên

Nghiệm gần đúng y;,= y, +0,2(x, + y,) n+l

Vou = Vy +041) x, +, +[ x, + 0,24 y, +0,2(x, +y,) |

-10-Do vay

Van = y„ +0,22(x, + y, ) + 0,02

Phương pháp được thiết lap bang cach lay trung binh cé trong s6 cua f(x, y) tai

các điểm xác định trong khoảng [ x,, x,,,]

-11-Chương II: PHUONG TRINH VI PHAN CAP CAO VA

HE PHUONG TRINH VI PHAN

§1 PHUONG TRINH VI PHAN CAP CAO

1.1 Dinh nghia: PTVP cấp ø là phương trình có dạng:

F(x yyy” | =0 Nêu giải được đôi với đạo hàm câp ø thì PTVP câp n co dang:

1.2 Bài toán Cauchy (bài toán đầu):

Bài toán Cauchy đôi với phương trình (1) là bài toán tìm nghiệm y=y(x) của

phương trình (1) thỏa mãn các điều kiện đầu y) (x,) = yl) ,k=(0,n—1, trong đó

r -l ` r > Ẫ 7 ` ° 4N L2 7 A

XqsVox Voor (n ) là các hãng sô cho trước và được gọi là các giả trị dau

Định lý (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy):

Xét phương trình y”) =f (Hy Voy?)

Nếu các hàm /|xz.v1 y””] và i: k=0,n—-1 liên tục trong miễn DCR"*" có

WV

chứa điểm (x), Vos Vases yn) thì tôn tại duy nhất một nghiệm y= y(>) của bài toán

Cauchy của phương trình (1) trong một lân cận nào đó của điểm Xo

1.3 Nghiém tong quat:

Định nghĩa: Hàm số y= y(x,C,, C,), C,=const,i=1,n phy thudc vao n hang s6 toy

ý được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1) nếu thỏa mãn

- Ham y(x,C,, ,C,) thoa man (1) véi moi gia tri C,, ,C,

- Voi moi gid trị [xạ,yạ.yạ vÿ | cho trước, bài toán Cauchy bao giờ cũng giải

được

Các khái nệm khác như nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tông quát, tích phân riêng được định nghĩa tương tự như đôi với PTVP câp một

-12-§2 HA THAP CAP PTVP CAP CAO

2.1 Phuong trinh dang: F (x, y") =0

Nếu giải được đổi với yl” thì ta có phương trinh

Dat z=y"") z=2(x) (2) =>z'= f(x) vaz(x)= [f(x)de+C,

phuong trinh (2) co dang nhu phuong trinh (1) nhung cap thap hon mét don vi Tich phan n lan ta duoc ket qua

Vi du: Giai phuong trinh: ym=x

Dat z= yl") z = z(z) ta co (3) & F(z,z") =0 la PTVP cap mot

Giả sử phương trình này có nghiém z= f (x, C,) => yi) =f (x, C,) la phuong trình có dạng (1) nhưng cấp thấp hơn một đơn vị

Ví dụ: Giải phương trình: y”_ y"=]

Dat z= yl") z = z(z) ta co (4) & F (x,z,z') =0 la PTVP cấp mot

Vi du: Giai phuong trinh: y”— T*=ự

x Dat z=y"" z=2(x) (4) <> F(x,z,z'] =0 là PTVP cấp mội

2.4 Phương trình dạng: F(y.,y',y") =0 hoặc y"= fly’) (5)

doc lap, z la ham cua y

Vi du: Giai phuong trinh: 2yy"+ y" =0

-13-§3 PHUONG TRINH VI PHAN TUYEN TINH CAP HAI

3.1 Dinh nghia: Phuong trinh dang: y"+ p(x)y'+ q(x)y = f (x) (1)

trong do p(x),q(x) va f (x) là các hàm số liên tục

- Nếu ƒ (x) =0 fhì (L được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất

- Nếu ƒ (x) #0 thi (1) dugc goi la PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất

- Nếu p(z).4() là các hàng số thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số hãng

Vi du: y"+x’y'te*y=0=> PTVP tuyén tinh cap hai thuan nhat

y+ 2xy'+ - y=e"sinx— PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất y"-2y't+ y=x’=> PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

3.2 PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất:

Phương trình dạng: v+ p(x) y+ q(x) y=0 (2)

trong do p(x) ,q(x) là các hàm số liên tục

3.2.1 Định nghĩa: Hai hàm y,(x) y„(x) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nêu tồn tại

các hằng số C,,C, khong déng thoi bang 0 sao cho Cy,+C,y, =0 Truong hop ngugc lai thi chúng được gọi là độc lập tuyến tính

(3) ) y,(x)

3.2.2 Định lý: Nếu các hàm ị= V(X) = y, (x) là hai nghiệm riêng độc lập tuyến

Nhận xét: Hai hàm y, ( x) V2 (x (x ) là độc lap tuyén tinh néu — + C = const

tinh cua (2) thi ham y =C,y,+C,y,, trong dé C,,C, la cdc hang sé tùy ý la nghiém tong quat cua (2)

Chú ý: Nếu các ham 1=” (x) s32 =7; (x) là hai nghiệm riêng phụ thuộc tuyến tính của phương trình (2) thì y, =k y,,k =const >y =Cyy,+C, y, = (KC, +C, ) y, thực chất chỉ phụ thuộc vào một hang sé nény không phải là nghiệm tong quat cua (2)

Nhận xét: - Từ định lý muôn tìm nghiệm tông quát của (2) chỉ cần tìm hai nghiệm riêng

độc lập tuyên của nó (các nghiệm đó được gọi là hệ nghiệm cơ bản)

3.2.3 Công thức Liouville: Nếu đã biết một nghiệm riêng yị = y,(x) cua (2) thi cb thé

tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính Vy = zp)e cua no theo cong thuc Liouville:

9*Í-UƑ

y;„ = y,.w, trong đó = u( ¿ 10)

-14-Ví du: Tìm nghiệm tông quát của phương trình:

biết một nghiệm riêng Đị (x) =X

3.3 PTVP tuyến tính cấp hai không thuan nhat:

Phương trình dạng: y+ pị x) y+ q(x) y= f(x) (3)

trong do p(z).4(x) va f (x) la cac ham lién tuc, f(x) #0

Phuong trinh y"+ p(x) y'+ q(x) y=0 (2) được gọi là phương trình thuán nhát tương ứng của (3)

3.3.1 Công thức nghiệm:

Nếu gọi y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2), Y là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (3) thì y= y+Y là nghiệm tổng quát của (3)

3.3.2 Nguyên lý cộng nghiệm ( chồng chất nghiệm ):

Xét phương trình không thuần nhất y"+ p(x) y+ 4(x)y = f,(x) + f(x) (4) Nếu ï, là nghiệm riêng của phương trình y"+ p(x)y'+ q(x)y=f,(x) , 1, la nghiệm riêng của phương trình y”+ p(x)y+ q(x) y=f,(x] thi Y=Y,+Y¥, la nghiém riéng cua (4)

Két qua nay con duoc mở rộng đôi với về phải của (4) là tông của hữu hạn hàm

3.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số:

Giả sử y = Cvị, +C.v;, trong đó C,C, là các hàng số là nghiệm tổng quát cua phương trình thuần nhất tương ứng (2) Khi do néu C, =C,(x),C, = C, (x) la nhitng ham sô thỏa mãn hệ phương trình:

Cy, +C,y, =0

Cy, + yy, = f(x)

thi ham y= C, (x) y, +C, (x) y, la nghiém tong quát của phương trình không thuan nhát (3)

§4 PHUONG TRINH VI PHAN TUYEN TINH CAP HAI VOI HE SO HANG

4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất:

Phương trình dạng: y"+ py~+ay=0 (1) , trong đó p,q là các hằng số

-15-Cách giải: Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y= e", trong dé k là hăng số Thay ,y',y" vào (1) ta được phương trình đại số bậc hai

k}+pk+a=0 (2)

và gọi là phương trình đặc trưng, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức £ Ta

có các khả năng xảy ra như sau:

- Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiệm thực &; z &, thì y, = £**,y; = e** là

hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1) Do đó nghiệm tông quát của (1)

lay =Ce** + C,e**, trong dé C,,C, la cdc hang sé

- Néu phuong trinh dic trung (2) c6 nghiém thyc kép k, =k, =k thi y, =e" 1a mét

nghiệm riêng của (1) Nghiệm riêng y„ = xe” tìm được theo công thức Liouville

Do đó nghiệm tổng quát của (1) là y=(Œ + xŒ,)e", trong đó C,,C, 1a cdc hang

SỐ

- Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiệm phic lién hop k,=a+if,

k, =a —if thi

y, — 2z12)z — c2*ei8x — e (cosBx 4 isin Bx) Y= elt iB — ere ih — 9 (cos@x —isin Bx

la hai nghiém riéng phic cha (1) Ta co

2) Giai bai toan Cauchy: y"+2y+4y=0; y(0) =], y'(0) =l

4.2 Phương trình tuyến tính không thuân nhất:

4.2.1 Phương trình dạng: y"+ py'+qv=f (x) (3)

Vi du : Giai phuong trinh: y"+y=

4.2.2 Phương pháp hệ số bất định (Phương pháp Lagrange):

Nếu về phải ƒ (x) của (3) có dạng đặc biệt thì có thể tìm nghiệm riêng của (3) theo phương pháp hệ số bất định

- l6