Bài giảng phương trình vi phân ( ngô mạnh tường ) chương 1

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm Mở đầu Định lý tồn tại và duy nhất ng

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Bài giảng: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngô Mạnh Tưởngwebsite: http://www.tuongnm.wordpress.com

Ngày 9 tháng 1 năm 2011

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mục đích

Trang bị cho người học những kiến thức cơ bản của lý thuyết cơ sởphương trình vi phân , các phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1,cấp n và hệ phương trình vi phân

Đánh giá môn học

Thang điểm đánh giá môn học: thang điểm 10

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Nội dung chính của môn học

Chương I: Phương trình vi phân cấp 1

Chương II: Phương trình vi phân cấp cao

Chương III: Hệ phương trình vi phân

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Tài liệu tham khảo

Bài giảng Phương trình vi phân, Tài liệu lưu hành nội bộ KhoaCNTT, 2009

Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn, Phương trình

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Chương I: Phương trình vi phân cấp 1

1.1 Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

1.2 Một số phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1.1.3 Phương trình vi phân cấp 1 chưa giải ra đối với đạo hàm

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Chương I: Phương trình vi phân cấp 1

1.1 Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

1.2 Một số phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1

1.3 Phương trình vi phân cấp 1 chưa giải ra đối với đạo hàm

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Chương I: Phương trình vi phân cấp 1

1.1 Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1.1.2 Một số phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1.1.3 Phương trình vi phân cấp 1 chưa giải ra đối với đạo hàm

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Bài toán mở đầu

Cho mạch điện như hình vẽ

Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt Điện trở R (Ohm), cuộncảm L (Henry) Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampeTheo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t ta có

LdI (t)

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Bài toán mở đầu

Cho mạch điện như hình vẽ

Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt Điện trở R (Ohm), cuộn

cảm L (Henry) Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe

Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t ta có

LdI (t)

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Bài toán mở đầu

Cho mạch điện như hình vẽ

Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt Điện trở R (Ohm), cuộncảm L (Henry) Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampeTheo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t ta có

LdI (t)

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Định nghĩa

Phương trình mà trong đó chứa các biến số độc lập, hàm phải tìm và

các đạo hàm ( hay vi phân ) của nó được gọi là một phương trình vi

phân hay phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một một vài hàm

cần tìm được gọi là phương trình vi phân

Ta phân biệt phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàmriêng

Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi là phươngtrình vi phân thường

Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi phân đạohàm riêng

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Định nghĩa

Phương trình mà trong đó chứa các biến số độc lập, hàm phải tìm và

các đạo hàm ( hay vi phân ) của nó được gọi là một phương trình vi

phân hay phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một một vài hàm

cần tìm được gọi là phương trình vi phân

Ta phân biệt phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Định nghĩa

Phương trình mà trong đó chứa các biến số độc lập, hàm phải tìm vàcác đạo hàm ( hay vi phân ) của nó được gọi là một phương trình viphân hay phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một một vài hàmcần tìm được gọi là phương trình vi phân

Ta phân biệt phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàmriêng

Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi là phươngtrình vi phân thường

Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi phân đạohàm riêng

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Cấp của phương trình vi phân

Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của

F (x , y , y0, , y(n)) = 0hay giải ra ta được

y(n)= ϕ(x , y , y0, , y(n−1))

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Cấp của phương trình vi phân

Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của

F (x , y , y0, , y(n)) = 0hay giải ra ta được

y(n)= ϕ(x , y , y0, , y(n−1))

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Cấp của phương trình vi phân

Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của

F (x , y , y0, , y(n)) = 0hay giải ra ta được

y(n)= ϕ(x , y , y0, , y(n−1))

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Cấp của phương trình vi phân

Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của

F (x , y , y0, , y(n)) = 0hay giải ra ta được

y(n)= ϕ(x , y , y0, , y(n−1))

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Cấp của phương trình vi phân

Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp củaphương trình vi phân

y(n)= ϕ(x , y , y0, , y(n−1))

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân

Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số y = φ (x) mà khi

cho ta được một đồng nhất thức, tức là

Fx, φ (x) , φ0(x) , , φ(n)(x)= 0

Đối với phương trình vi phân cấp n thông thường ta tìm nghiệm

nghiệm tổng quát của phương trình Nếu cho C những giá trị cụ thể

ta sẽ được nghiệm riêng của phương trình

Đồ thị của nghiệm y = φ (x) gọi là đường cong tích phân

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân

Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số y = φ (x) mà khi

cho ta được một đồng nhất thức, tức là

Fx, φ (x) , φ0(x) , , φ(n)(x)= 0

Đối với phương trình vi phân cấp n thông thường ta tìm nghiệm

nghiệm tổng quát của phương trình Nếu cho C những giá trị cụ thể

ta sẽ được nghiệm riêng của phương trình

Đồ thị của nghiệm y = φ (x) gọi là đường cong tích phân

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Phương trình vi phân cấp 1

Định nghĩa

Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là

F (x , y , y0) = 0hay dạng giải ra đối với đạo hàm

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là họ đường cong tích phânphụ thuộc hằng số C

Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân đi qua điểmcho trước (x0, y0)

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là họ đường cong tích phân

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là họ đường cong tích phân

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là họ đường cong tích phânphụ thuộc hằng số C

Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân đi qua điểmcho trước (x0, y0)

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là họ đường cong tích phânphụ thuộc hằng số C

Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân đi qua điểmcho trước (x0, y0)

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Định nghĩa

đối với y nếu tồn tại N > 0 sao cho với bất kỳ x , y , y mà

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Định nghĩa

đối với y nếu tồn tại N > 0 sao cho với bất kỳ x , y , y mà

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Định lý

φ(x0) = y0

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Định lý



tức là ∃ M để |f (x , y )| ≤ M, ∀(x , y ) ∈ G

Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y = φ(x ) của phương trình viphân cấp 1 xác định và liên tục đối với các giá trị của x thuộc đoạn

φ(x0) = y0

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Định lý



tức là ∃ M để |f (x , y )| ≤ M, ∀(x , y ) ∈ G

Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y = φ(x ) của phương trình viphân cấp 1 xác định và liên tục đối với các giá trị của x thuộc đoạn

φ(x0) = y0

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C

Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1 có dạng y = ϕ(x , C )

Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát bằng cáchcho C hằng số cụ thể

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quátcho dù C lấy bất kỳ giá trị nào

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C

Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1 có dạng y = ϕ(x , C )

Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách

cho C hằng số cụ thể

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quátcho dù C lấy bất kỳ giá trị nào

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Mở đầu Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C

Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1 có dạng y = ϕ(x , C )

Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách

cho C hằng số cụ thể

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quát

cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C

Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1 có dạng y = ϕ(x , C )Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát bằng cáchcho C hằng số cụ thể

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quátcho dù C lấy bất kỳ giá trị nào

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Phương trình vi phân với biến số phân ly

Phương trình thuần nhất Phương trình tuyến tính, phương trình Becnuli Phương trình vi phân toàn phần

Định nghĩa

Phương trình vi phân biến số phân ly (hay tách biến) là phương trình

vi phân có dạng

trong đó f (x ), g (y ) là các hàm số liên tục trên miền D

Cách giải Lấy tích phân hai vế của phương trình (1) ta có

Z

f (x )dx =

Z

g (y )dyVậy nghiệm tổng quát của phương trình là

F (x ) = G (y ) + Ctrong đó F (x ), G (y ) là nguyên hàm của các hàm số f (x ), g (y ), C làhằng số tùy ý

Ví dụ Giải phương trình vi phân (1 + x )dx + (1 − y )dy = 0

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân cấp 1

Phương pháp giải một số trình vi phân cấp I

Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm

Phương trình vi phân với biến số phân ly

Phương trình thuần nhất Phương trình tuyến tính, phương trình Becnuli Phương trình vi phân toàn phần

Định nghĩa

Phương trình vi phân biến số phân ly (hay tách biến) là phương trình

vi phân có dạng

trong đó f (x ), g (y ) là các hàm số liên tục trên miền D

Cách giải Lấy tích phân hai vế của phương trình (1) ta có

Z

f (x )dx =

Z

g (y )dyVậy nghiệm tổng quát của phương trình là

F (x ) = G (y ) + Ctrong đó F (x ), G (y ) là nguyên hàm của các hàm số f (x ), g (y ), C là

hằng số tùy ý

Ví dụ Giải phương trình vi phân (1 + x )dx + (1 − y )dy = 0