Bài giảng phương trình vi phân

Phương trình tăng trưởng dân số • Giả sử sự thay đổi dân số chỉ phụ thuộc vào sự sinh sản và sự diệt vong không tính đến các vấn đề di cư, nhập cư, môi trường, ..... So sánh kết quả của

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI 2A MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ

PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO

• Thực tế thường gặp các tỉ lệ sinh và tỉ lệ chết không phải là hằng số, khi

đó cần có mô hình toán nào?

II MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ

1 Phương trình tăng trưởng dân số

• Giả sử sự thay đổi dân số chỉ phụ thuộc vào sự sinh sản và sự diệt vong (không tính đến các vấn đề di cư, nhập cư, môi trường, )

• P (t) là hàm tăng trưởng dân số

• Gọi β(t) là số lượng dân số được sinh ra trên một đợn vị thời gian tại thời điểm t;

• δ(t) là số lượng dân số bị chết đi trên một đơn vị thời gian tại thời điểm t

• Số lượng dân số được sinh ra và chết đi trong khoảng thời gian [t, t + Δt]

• Khi β(t) ≡ β, δ(t) ≡ δ ta có phương trình tăng trưởng dân số tự nhiên với

k = β−δ

• Phương trình (1.1) thậm chí còn chứa đựng khả năng khi β(t) và δ(t)

không được biết trước và có thể phụ thuộc vào ẩn hàm P(t)

Ví dụ 1. Giả sử số lượng cá sấu ban đầu là 100 con, biết rằng không có con nào bị chết, tỷ lệ sinh là β = (0,0005)P (tính theo năm)

• Ta có phương trình tăng trưởng tổng quát

P t

−

2000( )

(Lượng dân số lớn nhất mà môi trường ấy có thể duy trì được trong một thời gian dài)

hữu hạn của môi trường

e e P

Be

P , β = ± e c

• Nếu bổ sung điều kiện: P(0) = P0 ≠ 150 thì ta có

P P

• Thay vào ta có

=

0.06 0 0

t

P e P

0 0.06

150( )

t P t , với dữ kiện ban đầu P0 > 0)

3 Giới hạn dân số và khả năng chứa đựng

• Ta biết phương trình logistic dP =kP M P P( − ), (0)=P0

gọi là khả năng chứa đựng của môi trường, nó được xem như là quần thể cực

đại mà môi trường có thể duy trì được trong một khoảng thời gian dài

Ví dụ 3. Giả sử năm 1885 dân số của một quốc gia là 50 triệu và tốc độ tăng lúc

đó là 750,000 người trên năm Vào năm 1940 dân số của quốc gia đó là 100triệu và tốc độ tăng trưởng tương ứng là 1 triệu người trên năm Giả thiết rằng dân số của quốc gia đó tuân theo phương trình logistic Hãy xác định số dân số tới hạn M và dự đoán dân số vào năm 2000

• Trong hai ví dụ sau đây chúng ta so sánh mô hình tăng trưởng tự nhiên

và mô hình logistic cho dữ liệu điều tra dân số ở Mỹ vào thế kỷ 19, sau đó đưa ra dự án so sánh cho thế kỷ 20

Ví dụ 4. Dân số nước Mỹ vào năm 1800 là 5,308 triệu và vào năm 1900 là 76,212 triệu

• Lấy P0= 5,308 (với t = 0 vào năm 1800) thế t = 100, P = 76,212 vào mô hình tăng trưởng tự nhiên P t( ) =P e0 rt ta có

76,212 5,308e r

• Như vậy tốc độ tăng dân số trung bình trong những năm từ 1800 đến

1900 vào khoảng 2,7% trên năm

Ví dụ 5. Dân số nước Mỹ năm 1850 là 23.192 triệu Nếu lấy P0 = 5,308

• Thế các dữ liệu t = 50, P = 23,192 (với thời điểm 1850) và t = 100,

P = 76212 (với thời điểm 1900) vào phương trình logistic (3.1) ta có hệ hai phương trình

(5,308)

23,1925,308 ( 5,308) kM

Sai số logistic

5.308 6.929 9.044 11.805 15.409 20.113

0.000 0.311 0.594 1.056 1.655 3.079

5.308 7.202 9.735 13.095 17.501 23.192

0.000 0.038 -0.097 -0.234 -0.437 0.000

26.253 34.268 44.730 58.387 76.212 99.479 129.849 169.492 221.237 288.780 376.943 492.023 642.236 838.308 1094.240

5.190 4.290 5.459 4.593 0.000 -7.251 -23.827 -46.289 -89.072 -137.454 -197.620 -288.721 -415.694 -589.598 -812.818

30.405 39.326 50.034 62.435 76.213 90.834 105.612 119.834 132.886 144.354 154.052 161.990 168.316 173.252 177.038

1.038 -0.768 0.155 0.545 -0.001 1.394 0.410 3.369 -0.721 6.972 25.271 41.312 58.226 76.458 104.384

Hình 1.7.4. So sánh kết quả của mô hình dạng mũ và mô hình logistic với dân số thực của nước

Mỹ (tính theo triệu)

• Những dự đoán theo mô hình dạng mũ (4.1) và theo mô hình dạng logistic (4.2) đối chiếu với kết quả thống kê dân số thực của Mỹ, ta thấy

thế kỉ 20, trong khi mô hình logistic có kết quả tương đối tốt cho tới tận những năm 1940

thực của Mỹ, còn mô hình logistic lại cho số liệu dự đoán thấp hơn

số liệu thực

• Sai số trung bình để đo mức độ cho phép của mô hình hợp lí với dữ liệu thực tế: là căn bậc hai của trung bình các bình phương của các sai số thành phần

dự đoán tốc độ tăng trưởng dân số nước Mỹ suốt thế kỷ 20 tốt hơn mô hình dạng mũ

5 Một số ứng dụng khác của phương trình logistic

Phương trình logistic là một mô hình toán học tốt thể hiện qua minh hoạ những tình huống khác nhau dưới đây

là số các cá thể bị nhiễm một bệnh lây lan và không chữa được Bệnh bị lan ra

do những cuộc gặp gỡ tình cờ

không mang bệnh, như vậy

= ( − )

dP

kP M P dt

• Mô hình toán học là phương trình logistic (mô tả sự lây lan trong số lượng

Ví dụ 6. Giả sử tại thời điểm t = 0, mười ngàn người trong một thành phố có số dân M = 100 ngàn nhận được một tin đồn Sau 1 tuần số người P(t) trong thành

= −

+ 100

1000( )

100020

100080

5 Ngày tận thế chống lại Sự tuyệt chủng

Xét một quần thể gồm các động vật hoang dã trong đó những con cái chỉ có duy nhất một cơ hội gặp những con đực để có thể thực hiện trách nhiệm bảo tồn nòi giống Ta có cơ sở để hy vọng xuất hiện những cuộc gặp gỡ đó với tần suất tỷ

lệ với tích của

2

2

k = const) Khi đó tốc độ sinh trưởng (số con sinh ra / thời gian / số lượng trong

quần thể tổng quát (1.1) trở thành phương trình vi phân

Ví dụ 7. Xét một quần thể động vật được mô hình hóa bởi phương trình

600( )

t t

• P(t) → 0 khi t → +∞ Đây chính là sự tuyệt chủng

• Như vậy số lượng cá thể của quần thể trong Ví dụ 7 có thể xảy ra hiện tượng bùng nổ hoặc dẫn tới sự diệt vong tùy thuộc vào số lượng cá thể

Hình 1.7.5 Đường cong nghiệm cơ bản của phương trình bùng nổ - tuyệt chủng

P kP P M

thể còn lại là hằng số, tuy nhiên trạng thái cân bằng này thường không bền

• Còn khi P0 > M thì P(t) tăng nhanh, không bị chặn,

• Khi P0 < M thì P(t) thì nó giảm tương đối nhanh về 0

Ghi nhớ

1 Buổi sau học lí thuyết các mục: 2.1; 2.2; 2.3

2 Tuần sau học bài tập các mục: 1.5; 1.6; 1.7

Phương trình Vi phân

Bài 2B Chương II Phương trình vi phân tuyến

tính cấp cao

PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO

§ 2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

• Ứng dụng đặc trưng

• Phương trình tuyến tính thuần nhất

• Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng

1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

F x ≡/ , là phương trình tuyến tính thuần nhất nếu F x( ) ≡0

• Trong các bài toán ứng dụng, F x( ) tương ứng với tác động bên ngoài vào đó

2 Ứng dụng đặc trưng

• Là mô hình toán học của những hệ cơ học và mạch điện

• Phương trình mô tả dao động tự do của chất điểm

• Phương trình mô tả dao động cưỡng bức của chất điểm bởi tác động của ngoại lực F t( ):

3 Phương trình tuyến tính không thuần nhất

Để phương trình vi phân là mô hình toán tốt cho bài toán toán lí nào đó thì

nó phải có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện đầu tương ứng

Định lí (tồn tại và duy nhất nghiệm) Các hàm p x q x( ), ( ) liên tục trên

• Chứng minh Suy ra từ tính tuyến tính của phép tính vi phân

Ví dụ 3. y′′ +4y =0 có các nghiệm y1=cos2x, y2 =sin2x, nên

= 1cos2 + 2sin2

Ví dụ 4 Chứng minh rằng các hàm y x1( )=e x,y2( )x = xe x là các nghiệm của phương trình vi phân y′′−2y′+y =0 Tìm một nghiệm thoả mãn các điều kiện ban đầu: y( )0 =3,y′( )0 =1

• Dễ dàng kiểm tra được các hàm đã cho là nghiệm

• Thay vào các điều kiện đã cho có:

( )( )

32

C C

• Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu là y =3e x −2xe x

• y =C y1 1+C y2 2 là nghiệm tổng quát của (3.1)

Định lí 3. Cho các nghiệm y x y1( ), 2( )x của phương trình (3.1) trên

• Có hai nghiệm độc lập tuyến tính khác là: cosh2x và sinh2x

• Có nghiệm tổng quát là y =acosh2x +bsinh2x

• Các nghiệm tổng quát này có thể biểu diễn qua nhau, chẳng hạn

• Khi r0 là nghiệm của (5.2) thì có y =e r x0 là nghiệm của (5.2)

§ 2.2 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

tuyến tính

• Phương trình không thuần nhất bậc cao

1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

• Khi P x0( ) ≠ 0,∀ ∈x I, phương trình trên có dạng

• Nghiệm tổng quát y x( )=c e1 −3x +c2cos2x+c3sin 2x

b) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lí 2

• Các hàm p p1, 2, , p n và f liên tục trên một khoảng mở I ∋ a

• Cho trước các hằng số b b0, 1, ,b n−1

mãn các điều kiện ban sau

thuẫn với định lí duy nhất vì phương trình này không đưa về được (1.3) với

c) Sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính

Định nghĩa Các hàm f f1 2, , ,f n được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên

cho

( )+ ( )++ ( )= ∀ ∈

c f x c f x c f x x I

(hay có ít nhất một hàm là tổ hợp tuyếnt ính của các hàm còn lại)

Ví dụ 2. f x1( )=sin 2x, f2( )x =e x, f3( )x =sin cosx x là phụ thuộc tuyến tính vì có c1=1,c2 =0,c3 = −2 để có

Định lí 3 Cho y y1, 2, ,y n là các nghiệm của (1.3) trên khoảng I

• Nếu y y1, 2, ,y n phụ thuộc tuyến tính trên I thì W ≡0, ∀ x∈I

• Nếu y y1, 2, ,y n độc lập tuyến tính thì trên I thì W ≠0, ∀x∈I

d) Nghiệm tổng quát

Định lí 4 Cho y y1, 2, , y n là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3)

= 1 1+ 2 2 ++ n n

y c y c y c y

là nghiệm tổng quát của (1.3), ở đó c c1, 2, ,c n là các hằng số tuỳ ý

Ví dụ 3 Giải phương trình y(3) +3y′′+4y′+12y =0 trong ví dụ 1, thoả mãn điều kiện y( )0 =2, y′( )0 =1, y′′( )0 =5

• Đã biết trong ví dụ 1: Nghiệm tổng quát

112

C C C

• Nghiệm cần tìm: y =e− 3x +cos2x+2sin2x

3 Phương trình không thuần nhất bậc cao

a) Định nghĩa. Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n

• y p là nghiệm riêng của (3.1) trên I

• Khi đó nghiệm tổng quát của (3.1) là

• Nghiệm tổng quát: y =C1cos2x+C2sin2x+3 x

• Thay vào điều kiện đầu ta có

52

C C

§ 2.3 Phương trình tuyến tính thuần nhất

a) Định lí 1. r r1, , ,2 r n là các nghiệm thực của phân biệt của (1.2), khi

đó nghiệm tổng quát của (1.1) là

025

C C C

C C

• Nghiệm cần tìm : y =e2x(cosx +3sinx)

Phương trình vi phân

Bài 3A

§ 2.5 Phương trình vi phân không thuần nhất với các hệ số

Một vật thể với khối lượng m được gắn với một

đầu của một lò xo chịu được lực nén cùng với

lực căng; một đầu của lò xo được gắn với bức

tường cố định Giả thiết vật thể nằm yên trên một

mặt phẳng nằm ngang không có ma sát, do đó

nó chỉ có thể chuyển động sang trái hay sang

phải mỗi khi lò xo nén lại hay căng ra Ký hiệu x

là khoảng cách của vật thể so với vị trí cân

bằng (vị trí khi lò xo không bị kéo căng) Ta có

F t ≠ có chuyển động cưỡng bức, F t =( ) 0 có chuyển động tự do

• Cần thiết nghiên cứu phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp cao

II Phương trình vi phân không thuần nhất cấp n

2 Cách giải

• Từ mục (2.2) ta có nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng y = y c +y p

ở đó y c là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

• Ta đã biết cách tìm y c, nhiệm vụ còn lại là tìm y p

• Dưới đây ta xét một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tìm một nghiệm riêng của y′′ −4y =2e3x

• Do vế phải là hàm e 3x, và mọi đạo hàm của e 3xlà tích của một hằng số nhân với e 3x, nên ta dự đoán y p( )x = Ae3x

y x = e

• Khái quát: Nếu vế phải là hàm e Bx C+ ta luôn tìm được y p( )x

Ví dụ 2. Tìm nghiệm riêng của y′′+3y′+4y =3x+2

• Vế phải là đa thức bậc nhất, vế trái có y nên ta dự đoán y p( )x = Ax+B

A B

Ví dụ 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình 3y′′+ y′−2y =2 cos x

• Do d sinx cos ;x d cosx sinx

3(−Acosx −Bsin ) (x + −Asinx+Bcos ) 2( cosx − A x+Bsin )x = 2 cos x

( 5A B)cosx ( A 5B)sinx 2 cosx

Ví dụ 4. Tìm nghiệm riêng của phương trình y′′ −4y =2e2x

• Nếu lập luận như ở ví dụ 1, ta sẽ dự đoán y p( )x = Ae 2x

• y′′ = 4Ae2x, thay vào ta có 4Ae2x −4Ae2x = 2e2x ⇔ 0 =2e2x

• Như vậy y p( )x = Ae2x không là nghiệm riêng cần tìm (chỉ là nghiệm riêng của phương trình thuần nhất) Ta cần dự đoán nghiệm riêng có dạng khác y p( )x = Axe2x

• y p′ ( )x = Ae2x +2Axe2x

• Trong thực hành, chúng ta thường làm như sau:

o Sử dụng phương trình đặc trưng để tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (hàm bù) y c,

o Liệt kê tất cả các số hạng có trong f x( ) và các đạo hàm của nó

o Nếu không có số hạng nào ở trên xuất hiện ở y c, thì ta sử dụng quy tắc 1

• Các số hạng trong f x( )=3e−x −10 cos 3x và các đạo hàm là e−x, cos 3x

và sin 3x Vì không có hàm nào xuất hiện trong y c nên ta chọn

cos 3 sin 3 ,

x p

A B C

cos , sin , cos , sin ,x x x x x x e x,xe x và x e2 2x

• Vì không có hàm nào xuất hiện trong y c nên nghiệm thử sẽ có dạng

• Sử dụng quy tắc 1 ta chọn hàm thử y p( )x = Ae rx +Bxe rx (9)

• Thay vào phương trình đã cho có 0 (2 3) rx

= − , vô lí

• Do đó không thể chọn y p( )x như trên vì các thành phần của vế phải và

đạo hàm của nó đã xuất hiện trong y c

• Cần phải có quy tắc khác vận dụng cho trường hợp này

b) Quy tắc 2: Phương pháp hệ số bất định

• Nếu hàm số f(x) có dạng P m( )x e rxcoskx hoặc P m( )x e rx sinkx (2.1)

ở đó P m ( )x là đa thức bậc m của x thì ta lấy nghiệm thử

• Hay gặp f x( )=f x1( )+f x2( ), f x1( ) và f x2( ) đã liệt kê trong bảng 2.5.1 Ta dùng nguyên lí chồng nghiệm, chọn s riêng rẽ nhằm loại bỏ sự trùng lặp với y c

Ví dụ 8. Tìm nghiệm riêng của

A B C D

• ( ) 3 ( )

1cos 2 2sin 2

x c

• y p ( )x =(sinx −ln secx+tanx)cosx + −( cosx)sinx

= −(cosx)ln secx +tanx

Chú ý Nếu dùng định lí biến thiên tham số có W x =( ) 1 và

• Lý thuyết buổi sau học mục 2.8, đọc các mục 2.6, 2.7

• Bài tập tuần sau học các mục 2.1, 2.2, 2.3

Phương trình vi phân

Bài 3B

PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO

§ 2.8 BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM CUỐI VÀ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG

• Bài toán giá trị riêng

• Thay vào điều kiện giá trị biên ta có

A B

• y = 0

Ví dụ 2. Xét bài toán điểm cuối y′′ +4y =0; y( )0 =0, y( )π =0

• Phương trình đặc trưng: r2+4=0 ⇔ r = ±2i

• Nghiệm tổng quát y x( )= Acos 2x +Bsin 2 x

• Thay vào điều kiện giá trị biên ta có

• Nghiệm cần tìm y =Bsin 2x, B tuỳ ý

• Như vậy tính duy nhất nhiệm bị phá vỡ trong bài toán này

2 Bài toán giá trị riêng

a) Định nghĩa y′′+ p x y( ) ′+λq x y( ) =0; y a( ) =0, y b( ) =0 (2.1) được gọi là bài toán giá trị riêng

• Khi p x( ) ≡0, q x( ) ≡1, a=0, b =π ta nhận được ví dụ 1 khi λ = 3, nhận

được ví dụ 2 khi λ = 4

• Từ các ví dụ 1, ví dụ 2 ta thấy bài toán giá trị biên phụ thuộc mạnh mẽ vào giá trịđặc biệt của tham số

• Giá trị λ để bài toán (2.1) có nghiệm không tầm thường được gọi là giá trị

riêng (hay giá trịđặc trưng)

• Như vậy trong ví dụ 1: λ = 3 không phải là giá trị riêng; còn trong ví dụ 2,

λ = 4 là giá trị riêng

• Giả sử λ∗ là một giá trị riêng của bài toán (2.1), y∗ là một nghiệm không tầm

thường của bài toán (2.1) Khi đó y∗ được gọi là hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ∗

• Trong ví dụ 2: y∗ = sin 2x là hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ∗ = 4

• Nhận thấy một hàm riêng nhân với hằng số bất kì đều là hàm riêng

• Có thể chứng minh được rằng: Hai hàm riêng bất kì ứng với một giá trị riêng

• Thay vào điều kiện giá trị biên ta có A =B =0 ⇒ y = 0 là nghiệm tầm

thường Do đó λ = 0 không phải là giá trị riêng

• Có Nghiệm tổng quát y x( )= Acosαx +Bsinαx

• Thay vào các điều kiện giá trị biên có

• Thay các điều kiện vào có

1°) Viết nghiệm tổng quát dưới dạng y = Ay x1( ,λ)+By2(x,λ)

2°) Thay các điều kiện đã cho ta có hệ

( ) ( )( ) ( )

• Hầu hết các bài toán giá trị riêng tìm được nhiều ứng dụng thú vị trong vật lí Dưới đây ta giới thiệu một số ứng dụng (một số ứng dụng khác sẽ được trình bày trong các chương 8 và 9)

3 Dây xoắn

vị trí cân bằng dọc trục Ox Gọi y x( ) là khoảng cách từ điểm đó đến trục

quay Cuối cùng, giả sử độ lệch của chuỗi là rất nhỏ, khi đó có

( )

θ ≈ θ = ′

sin tan y x

Hình 2.8.2 Dây xoắn Hình 2.8.3 Các lực trên một đoạn dây xoay ngắn

với khoảng [x x, +∆x] chỉ là lực căng tại hai đầu

• Sử dụng công thức đối với gia tốc hướng tâm của vật thể trong chuyển động quay đều, ta có

nghĩa là phần dây còn lại ở trong vị trí cân bằng của nó với độ lệch không

ρ

=

n

n T

các góc quay Chỉ tại các vận tốc góc tới hạn này dây xoắn ra khỏi vị trí cân bằng của nó

phức tạp: dạng của dầm nằm ngang tác dụng bởi lực thẳng đứng

Hình 2.8.4 Dầm nằm ngang Hình 2.8.5 Đường cong lệch

• Cho dầm nằm ngang như Hình 2.8.4, đều cả về mặt cắt và chất liệu Nếu chỉ được đỡ bởi các điểm đầu thì lực do khối lượng sẽ vặn nó theo chiều dọc trục đối xứng thành một đường cong trông như một đường gạch trong hình

dụng hệ toạ độ như trong Hình 2.8.5

( ) ( )

I 4 =

E y F x

ở đó

đường nằm ngang qua trọng tâm của phần ngang, và

• Do đó có phương trình là E y I ( )4 =ω

trình này được giải khá đơn giản

Hình 2.8.6 Hai loại giá đỡ

Hình 2.8.7 Dầm chìa

Ví dụ 5. Xác định hình dạng về độ lệch cong của một dầm nằm ngang dài L

• Ta có các điều kiện biên y( )0 =y′′( )0 =0= y L( ) = y L′′( )