Bài giảng phương trình vi phân (số tín chỉ 2)

Bài giảng phương trình vi phân

Khoa Hóa Tổng hợp

33 2011-2012 Nguyễn Thị Phương Lan

Chuong I: | PHUONG TRINH VI PHAN CAP MOT

§1 PHUONG TRINH VI PHAN CAP MOT

Trong nhiéu linh vuc kỹ thuật, vật lý, khoa học xã hội ta thường gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm

của hàm đó Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phan (PTVP)

PTVP là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó

- Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có PTVP thường

- Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến độc lập thì ta có phương trình đạo hàm riêng

- _ Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó

- _ Nghiệm của PTVP 1a mọi hàm thỏa mãn phương trình ấy

Trong học phân này ta chỉ xét đến PTVP thường (còn gọi là PTVP')

Nếu giải được đối với y' thì PTVP cấp một có dạng

y'= f (x,y) hay 4 = f(x,y) (2) (dạng chuẩn) hoặc

x P(x, y)dx+Q(x,y)dy=0 (3) ( dang vi phan) Vidu: y'= yf, 2 =e*cosx, xydx+ (x? +y? )dy =0 là các PTVP cấp một

x

1.2 Nghiệm của PTVP cấp một: là hàm thoa man phuong trinhay, -

- Nghiệm tông quái của PVVP cầp một là nghiệm có chứa một hăng sô tùy ý

y=0(x,C), C= const

Ví dụ hàm y= Cx?, € = const là nghiệm tông quát của PT y'=2 VÀ

Về mặt hình học nghiệm tong quát xác định một họ đường (cong) gọi là họ đường

_2-y=0(+x,C), C = const mà được một hệ thức dạng ®{x, y,C) =0, C = const nó xác định

nghiệm tổng quát dưới dạng ấn Hệ thức ấy được gọi là tích phân tổng quát Hệ thức

®(zx, y,C,)=0 được gọi là tích phân riêng

- PTVP có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát đó là

những nghiệm ky dỊ

1.3 Bài toán Cauchy (bài toán đầu): PTVP dạng y'= ƒ(x,y) cùng với điều kiện y(x¿)=yạ lập nên bài toán Cawchy (bài toán đầu) của PTVP cấp một Điều kiện

y(%¿)= yạ với xạ, yạ là các hằng số cho trước được gọi là điều kiện dau

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu y(1)= 2 của phương trình y'=2 yf

1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy:

Xét phương trình y'= ƒ(x,y)

of

Dinh ly: Néu cdc ham f (x,y) va 3 liên tục trong hình chữ nhật D có chứa điểm

y

(x,.¥)) thi ton tai mét lan can cua diém x, sao cho PTVP y'= f(x,y) cé mét

nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện y(xạ)= yạ, nghĩa là bài todn Cauchy y(%¿)= yạ của PTVP y'= ƒ(x,y) có một nghiệm duy nhất

$2 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CÁP MỘT

2.1 Phương trình phân ly biến số (tách biến)

1 Phương trình dạng: A(x)dx = B(y)dy (1)

trong đó A(x)là hàm số liên tục của biến x, B(y)là hàm số liên tục của biến y được gọi là phương trình tách biển

Đê giải (1) ta chỉ cân tích phân hai vê

Ví dụ 1: a) Giải phương trình vi phân: c =3z'(y+2) Œ)

x

b) Tim nghiệm bài toán Cauchy y(0)=0 của (*)

Ví dụ 2: Thực nghiệm chỉ ra các chất phóng xạ như uranium có tốc độ phóng xạ tỉ lệ với khối lượng M (¿) tại thời điểm đang xét

Ta có thê viết công thức để tính khối lượng tại bất kỳ thời điểm nào bằng cách giải phương trình

a ky

dt

2 Phuong trinh dang: y'= f(axt+by+c) (2)

được đưa về (1) bằng cách z=ax+ by +c, z = z(%)

_3-2.2 Phuong trinh dang cap và gần đẳng cấp:

2.2.1 Phuong trinh dang cap:

Phuong trinh dang: y=ƒ ; Ƒ #0 (3)

x

có thê đưa (3) về phương trình tách biến bằng cách đặt

u=>,x¥0, u=u(x)> y=ux, yee y,

y ích phân tổng quát của (1) là x=CƑ)

Thay „ =—,x#0 ta được tích phân tông quát của (1) là x= Ce `*/,C #0

- Néuc= c, =0 thi (5) là phương trình đăng cấp

- - Nếu ít nhất một trong các hằng số c hoặc c, khác 0 thì

dat z=ax+by,z=2z(x) thi ta dugc phuong trinh tách biến

Ví dụ: Giải phương trình: (2x+ y—1)đx—(x—2)dy=0

2.3 Phương trình vi phân toàn phân, thừa số tích phân:

2.3.1 Phương trình vi phân toàn phân:

Phương trình dạng:

P(+x.y)dx+Q(x.y)dy =0 (6) trong đó P= P{(x,y),Q=Q(x.y)là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên

fục

HÀ Sa s2 222 x3 > xã ra OP OQ `

trong miễn mở, đơn liên D c R“ và thỏa mãn điều kiện ay = PHÒC y)eD thì (6)

được gọi là PTVP toàn phân

là PTVP toàn phần Hàm \u = u(x, y) được gọi là thừa số tích phân của (6)

Khi đó nếu U (x, y)= C,C = const là tích phân tổng quát của (7) cũng đồng thời

là tích phân tổng quát của (6)

C4ch tim thira sé tich phan: Vi (7) 14 PTVP toàn phan nên:

9[£»+xv:Š le + y°)dy =0 b) y(1+ xy)dxT— xảy =0

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp mội:

Định nghĩa: Phương trình dạng: y'+ p(x) y=q(x) (8)

trong đó p(x),q(x) là các hàm số liên tục

- Nếu q(x) =0 thì (8) được gọi là PTVP tuyến tính thuần nhất

- Nếu q(x)0 thì (8) được gọi là PTVP tuyến tính không thuần nhát

Cách giải 1: Phương pháp biến thiên hằng số

1) Xét phương trình thuân nhât tương ứng: y'+ p(x) y=0 (9)

- y=0 là nghiệm của (9)

- y#O thi (2) oo =—p(x)dx ©y= ce lee C+#0

y

Ngoài ra nghiệm y =0cũng được ghép vào nghiệm tổng quát ứng với C=0 Vậy nghiệm tổng quát của (9) là y= ce! rales C= const (10)

2) Đề tìm nghiệm tổng quát của (8) ta đùng phương pháp biến thiên hằng số Xem

ŒC =C(z) ta tìm C{x) để (10) là nghiệm tổng quát của (8) Ta có

y'= Ct(x)el£* _ C(x) p(x)e lm _ dC -|z)+

thay vào (8)

= dC = q(x) el Pee ay &C= falx)el ax + K,K =const.

Vậy nghiệm tổng quát của (8) là

y= (Java LK ern _ Ke [eee + eI a(x) lax, K =const

Chú ý: Công thức nghiệm:

Nghiệm tông quát của phương trình không thuân nhật = nghiệm tông quát của

phương trình thuân nhất tương ứng + Nghiệm riêng cua phương trình không thuận

nhát

Cách giải 2: Ta tìm nghiệm tổng quát của (8) dưới dạng y=w.y trong đó u=u(x),v=v(x) ma mét trong hai hàm đó có thể chọn tùy ý Thay vào (8) ta được

vu'+| v'+ p(x)v |.u=q(x) (11)

Tim v(x) tir diéu kién v'+ p(x)v=0 Thay vào (11) có thể tìm z(x) từ phương trình

v⁄'= q(x) Vậy có thê tìm được nghiệm tông quát của (8)

Ví dụ: 1) Giải bài toán Cauchy: y+2“=4z, y(1)=2

x 2) Giai phuong trinh: e”*dx+ (xe? — 1)dy =0

2.5 Phương trình Bernoulli:

Định nghĩa: Phương trình dạng: y'+ p(x) y=y%q(x) (12) trong d6aER, p(x),q(x) la cdc ham sé lién tuc

Nếu œ =0 hoặc œ =1 thì (12) là PTVP tuyến tính cấp một

Néu a #0 va œŒ # lthì (12) được gọi là phương trình Bernoulli

Cách giải: - y=0 là nghiệm của (12)

- y#0 thi (12) @ y“y't p(x)y"* =a(x) (13) Dat z= y'",z=2(x)> yin ye =z'=(I-œ)y “y' Thay vào (13) ta được

Cách giải: Dat y'=t, ta c6y=xt+ f(t) Lay đạo hàm hai về đối với x, ta được

- Nếu x=-ƒ'!{?) thì y= -Ø '{£)+ ƒ (?) đó là phương trình tham số của đường tích phân kỳ dị E Dễ thấy đường E tiếp xúc với mọi đường tích phân D

Ví dụ: Giải phương trình: y = xy— ở y”,

2.7 Phuong trinh Lagrange:

Định nghĩa: Phương trình dạng y=xg(y')+f(y') (16)

trong đó ƒ và g la cdc ham sé kha vi

Cách giải: Đặt y'=z, ta cóy=xg(£)+ ƒ(£) Lây đạo hàm hai về đối với x, ta được

'= g(t)+xg'(t)— + f'(t)—=t h t)-t|—+g'(t)x+ f'(t)=0

y'=g()+xg')——+ƒ'()—=t hay |g()~t|—+øg ()x+Z )

Đó là phương trình tuyến tính đối với x(/) Nếu nghiệm tổng quát của nó là

x=Co(t)+y(t), trong đó C là hằng số tùy ý thì y =[ C@() +ự (?) |ø(£)+ ƒ (?) Ta

được phương trình tham số của các đường tích phân

Ví dụ: Giải phương trình: y = xy“+ y”

§3 PHƯƠNG PHÁP XÁP XỈ PICA RD (PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG

LIEN TIEP)

Phương pháp cho ta nghiệm gần đúng của bài toán đầu

y'= ƒ(.y): Y(X,}= y

khi giả thiệt bài toán có nghiệm duy nhật trong khoảng nào đây có chứa x,

Sau khi tích phân bài toán trở thành

y(*)= y;+ | ƒ(.y(t))4

xác định một dãy các hàm như sau:

y, (x)= y, + | /ƒ (t.y,)#i , y, (x)= y; + | ƒ (t.y,)đi w y, (x)= y„+ |ƒ(t.y,,)đt.

Từ đó ta xây dựng được y,(x) tr y, va f(x,y); y,(x) tr y,(x) va f(xy) xác định mỗi hàm từ hàm ngay trước nó và ƒ (x, y) Ta đưa ra so d6 x4p xi Picard

Khai triên Maclaurin của tan x ở lân cận x=0 có dạng

§4 GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP SO

Phương pháp số để giải bài toán đầu là một cách xác định nghiệm gần đúng tại các điểm riêng biệt nào đấy mà chỉ cần dùng đến các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và

y(x+h)= y(x) +hy'(x)= y(x) +hf (x,y)

Dat x,= x, +ih va tinh

Yo =V(%)> Y= Yo thS (Xs Yo)s 2 =Y, FAS (XY) sos Year =I, HAS (%,.y,)-

_9-Vậy bước thứ ø của phương pháp Euler có dạng

xì — vn thf (x,,y,)

Về mặt hình học nghiệm gân đúng nhận được như một đường gâp khúc mà đoạn

đâu tiên là tiệp tuyên với đường cong nghiệm tại x,

Ví dụ: Xác định 5 xấp xi của phương pháp Euler giải bài toán đầu sau đây với 0,2

3.2 Phương pháp Euler cải tiến

Đây là phương pháp biến thê của phương pháp Euler Tại mỗi bước tính giá trị phụ

Vout — Yn +hƒ(x,.y,)

roi tinh gia tri moi

Yael — Yn + OLF An) #S (Serr Jou) | `

Kết hợp hai biểu thức ta viết bước thứ ø của phương pháp Euler cải tiễn

h

Yat — Vn +P J+ SLs +h, y, + hf (x,,y,) ]}-

Về mặt hình học, trong khoảng xe +4] ta gần đúng y theo đường thang qua

(x,y,„) với hệ số góc ƒ(x,,y,) rồi tiếp tục dọc theo đường thăng với hệ số góc

f (us yi) `

Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler cải tiễn của bài toán đầu nêu trên

y,.=y,+0,1{x, + y,+[x,+0,2+ y,+0,2(x, + y,) |)

3.3 Phuong phap Runge-Kutta

Phương pháp được thiệt lập băng cách lây trung bình có trọng số của f(x, y) tại

các điềm xác định trong khoảng [x,,x,

-ChươngI: © PHUONG TRINH VI PHAN CAP CAO VA

HE PHUONG TRINH VI PHAN

§1 PHUONG TRINH VI PHAN CAP CAO

1.1 Dinh nghia: PTVP cấp ø là phương trình có dạng:

F(x, Vs V yen y) =0

Nêu giải được đôi với đạo hàm câp ø thì PTVP câp ø¡ có dạng:

yf?= ƒ(x,y,y1 y"?) (1)

1.2 Bài toán Cauchy (bài toán đầu):

Bài toán Cauchy đối với phương trình (1) là bài toán tìm nghiệm y= y(x) của

phương trình _ thỏa mãn các điều kiện đầu y”)(xy)= yl") ,k=0,n—1, trong đó Xạ; }o› Ÿos-s-a yo ) 1a cdc hằng số cho trước và được gọi là các giá trị đâu

Định lý (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy):

Xét phương trình yf = ƒ (x, Vy Vi jerry y9)

Định nghĩa: Hàm số y = y(x,C, ,C,„), C, =const,i= 1,n phụ thuộc vào ø hằng số tùy

ý được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1) nếu thỏa mãn

- Ham y(x,C,, ,C,) thoa man (1) véi moi gid trị C,, ,C,

- Voi moi gia tri (x,.; Vos Yoreees ys") cho trước, bài toán Cauchy bao giờ cũng giải

được

Các khái nệm khác như nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát, tích phân riêng được định nghĩa tương tự như đối với PTVP cấp một

-

12-§2 HA THAP CAP PTVP CAP CAO

2.1 Phương trình dạng F (x, 2) =0

Nếu giải được đổi với y\ "Ì thì ta có phương trình

Dat c=y",z=2(x) (2) az'=f (x) vaz(x )=J F(x) \dx +C,

phương trình (2) có dạng như phương trình 1 / nhưng cấp thấp hơn một đơn vị Tích phân n lan ta duoc két qua

2

Ví dụ: Giải phương trình: y”=x

Đặt z= y"” z= z(x) facó_ (3) © F{(z,z')=0 là PTVP cấp một

Giá sử phương trình này có nghiệm z = ƒ (x,C,)= y“” = Ƒƒ(x,C,) là phương

trình có dạng (1) nhưng cấp thấp hơn một don vi

Ví dụ: Giải phương trình: y”- y"=l]

2.3 Phương trình dạng: F (x, yr) , y” =0 (4)

Đặt z= y" ;= z(x) tacéd (4) & F(x,z,z')=0 la PTVP cap mét

tt

Ví dụ: Giải phương trình: y”- Yay,

x Dat z=y" z= z(x) (4) © F{x,z.z')=0 là PTVP cấp một

2.4 Phương trình dạng: F(y,y',y")=0 hodc y"=f (y,y') (5)

Ví dụ: Giải phương trình: 2yy'+ y“=0

-13-§3 PHUONG TRINH VI PHAN TUYEN TINH CAP HAI 3.1 Dinh nghia: Phuong trinh dang: y"+ p(x) y'+q(x)y=f (x) (1)

trong đó p(x).4(x) và ƒ (x) là các hàm số liên tục

- Nếu ƒ(x)=0 thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất

- Nếu ƒ (x)#0 thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất

- Nếu p(x).q(x) là các hằng số thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số

hang

Vi du: y"+x’y'te*y=0= PTVP tuyén tinh cap hai thuan nhat

y+2xy+ - y=e*sinx => PTVP tuyén tinh cap hai khong thuan nhat

y"-2y'ty=x’=> PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số hăng

3.2 PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất:

Phương trình dạng: y"+ p(x)y'+q(x)y=0 (2)

trong d6 p(x),q(x) la cdc ham so lién tuc

3.2.1 Dinh nghĩa: Hai hàm y,(x) y;(x) được gọi là phụ thuộc tuyển tính nêu tồn tại các hăng số C,,C, khong đồng thời bằng 0 sao cho C,y, + C,y, =0 Trường hợp ngược lại thì chúng được gọi là độc lập tuyến tính

(*) )

y;(x ) 3.2.2 Định lý: Nếu cdc ham y, = y,(x),y, = y;(x) là hai nghiệm riêng độc lập tuyển

Nhận xét: Hai hàm y, (x) y„(x) là độc lập tuyến tính nếu #C=const

tính của (2) thì hàm y=C,y,+C,y,, trong dé C,,C, la cdc hằng số tày ý là nghiệm tổng quát của (2)

Chú ý: Nếu các hàm y, = y,(x).y„ = y;(x) là hai nghiệm riêng phụ thuộc tuyến tính của phương trình (2) thì y, = k y„,k =const > y =C,y,+C, V2 = (kC,+C,)y, thuc chat

chỉ phụ thuộc vào một hang số nên y không phải là nghiệm tổng quát của (2)

Nhận xét: - Từ định lý muôn tìm nghiệm tông quát của (2) chỉ cân tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến của nó (các nghiệm đó được gọi là hệ nghiệm cơ bản)

3.2.3 Công thức Liouville: Nếu đã biết một nghiệm riêng y, = y,(x) của (2) thì có thé

tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính y„ = y;(x) của nó theo công thức Liouville:

Rac:

y, =y,u, trong đó u = u( x)= |——, ! IT oJ ay

-14-Vi du: Tim nghiệm tổng quát của phương trình:

3.3 PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất:

Phương trình dạng: y"+ p(x)y'tq(x)y=f (x) (3)

trong d6 p(x),q(x) va f (x) la cdc ham lién tuc, f (x) #0

Phương trình y"+ p(x)y'+q(x)y=0 (2) được goi la phương trình

thuần nhất tương ứng của (3)

3.3.1 Công thức nghiệm:

Nếu gọi y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2), Y là nghiệm riêng của phương trình không thuân nhất (3) thì y = y +Y là nghiệm tổng quát của (3)

3.3.2 Nguyên lý cộng nghiệm ( chồng chất nghiệm ):

Xét phương trình không thuần nhất y"+ p(x)y'+a(x)y= #(x)+ #(x) — (4) Nếu Y, là nghiệm riêng của phương trình y"+ p(x)y+q(x)y= ƒ(x), ¥, la

nghiệm riêng của phương trình y"+ p(x)y+q(x)y= ƒ,(x) thì Y =Y,+F, là nghiệm

riêng của (4)

Kêt quả này còn được mở rộng đôi với về phải của (4) là tông của hữu hạn hàm

3.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số: c

Giả sử y = C\y,+C,y,, trong đó C,C, là các hàng số là nghiệm tông quát của

phương trình thuần nhất tương ứng (2) Khi đó nếu C\ =C,(x),C, =C,(x) là những

hàm số thỏa mãn hệ phương trình:

| Cy, + C2y; =0

Cy, +C,y, = f (x) thi ham y=C,(x)y,+C,(x)y, la nghiệm tổng quát của phương trình không thuần

nhát (3)

§4 PHUONG TRINH VI PHAN TUYEN TINH CAP HAI VOI HE SO HANG

4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất:

Phương trình dạng: y"+ py'+ạy=0 (1), trong do p,q la các hẳng số

-15-Cách giải: Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dang y =e", trong đó k là hằng số Thay y,y',y" vào (1) ta được phương trình đại số bậc hai

k”+ pk+q=0 (2)

và gọi là phương trình đặc trưng, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức £ Ta

có các khả năng xảy ra như sau:

- Nếu phương trình đặc trưng (2) c6 hai nghiém thuc k, #k, thi y, =e"*, y, =e" la hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1) Do đó nghiệm tông quát của (1)

là y=C¡e** +C,e*“*, trong đó C,,C, là các hằng số

- Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm thực kép k,=k, =k thì y,=e” là một nghiệm riêng của (1) Nghiệm riêng y; = xe” tìm được theo công thức Liouville

Do đó nghiệm tổng quát của (1) là y=(C, + xC,)e”, trong đó C,,C; là các hằng

sé

- Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiém phic lién hop k, =a +if,

k, =œ —ïB thì

y, — t°+:B)x — e*xeiBx — en (cosB x+¿sin Bx).y; — elt) — emo iBx — em (cosB x —jsin B

là hai nghiệm riêng phức của (1) Ta có

2) Giải bài toán Cauchy: y+2y'+4y=0; y(0)=1, y'(0)=1

4.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất:

4.2.1 Phương trình dạng: y"+ py'+qy =f (x) (3)

4.2.2 Phương pháp hệ số bất định (Phương pháp Lagrange):

Nếu về phải ƒ (x)của (3) có dạng đặc biệt thì có thể tìm nghiệm riêng của (3)

theo phương pháp hệ số bất định