Bài giảng Phương trình vi phân dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

Bài giảng Phương trình vi phân dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃITRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LIÊN VƯƠNG LÂM

Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản

Quảng Ngãi - 2013

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN

LIÊN VƯƠNG LÂM

Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản

Quảng Ngãi- 2013

Mục lục

1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1

1.1 Các khái niệm mở đầu 1

1.1.1 Các định nghĩa và khái niệm cơ bản 2

1.1.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp một 3

1.1.3 Bài toán Cauchy và ý nghĩa hình học 4

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 5

1.3 Các loại nghiệm của phương trình vi phân 5

1.3.1 Nghiệm tổng quát 5

1.3.2 Nghiệm riêng 7

1.3.3 Nghiệm kỳ dị 8

1.4 Phương trình biến số phân ly 8

1.4.1 Phương trình biến số phân ly 8

1.4.2 Phương trình chuyển về biến số phân ly được 9

1.5 Phương trình thuần nhất 11

1.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 14

1.6.1 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange 14

1.6.2 Phương pháp Bernoulli 16

1.6.3 Phương pháp thừa số tích phân 17

1.7 Phương trình vi phân Bernoulli 18

1.8 Phương trình vi phân Dacbu 20

1.9 Phương trình vi phân Ricati 21

1.10 Phương trình vi phân toàn phần 23

1.11 Thừa số tích phân 24

2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CHƯA GIẢI RA ĐẠO HÀM 28 2.1 Các phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đạo hàm dạng đặc biệt 28

2.1.1 Phương trình dạng dy dx  f i px, yq 28

2.1.2 Phương trình dạng F px, y 1 q  0 29

2.1.3 Phương trình không chứa biến số độc lập 31

2.2 Phương trình Lagrange và phương trình Clero 32

2.2.1 Phương trình Lagrange 32

2.2.2 Phương trình Clero 33

3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 36 3.1 Các khái niệm mở đầu 36

3.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm 37

3.2.1 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm 38

3.2.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n 38

3.3 Tích phân trung gian- tích phân đầu 40

3.4 Phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương 40

3.4.1 Phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất 40

3.4.2 Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp n và cấp pn
1q 42

3.5 Phương trình vi phân cấp cao hạ cấp được 44

3.5.1 Phương trình không chứa hàm phải tìm và các đạo hàm của nó đến cấp k 44

3.5.2 Phương trình không chứa biến số độc lập 45

4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP n 48

4.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 48

4.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n 49

4.3 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n 53

4.3.1 Nghiệm tổng quát 53

4.3.2 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange 54

5 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP n DẠNG ĐẶC BIỆT 59 5.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 59

5.1.1 Phương trình đặc trưng có n nghiệm thực khác nhau 60

5.1.2 Phương trình đặc trưng có n nghiệm khác nhau và có nghiệm phức 61

5.1.3 Phương trình đặc trưng có nghiệm bội 62

5.1.4 Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 62

5.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai y 2 ppxqy 1 qpxqy  0 67

5.2.1 Đưa phương trình về dạng không chứa đạo hàm cấp một 67

5.2.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai tự liên hợp 68

5.3 Sự giao động của nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai 70

6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 75 6.1 Các khái niệm mở đầu 75

6.1.1 Hệ phương trình- nghiệm của hệ phương trình 75

6.1.2 Ý nghĩa cơ học 76

6.2 Mối quan hệ giữa phương trình vi phân cấp n và hệ n phương trình vi phân cấp một 78

6.2.1 Chuyển PTVP cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp một 78

6.2.2 Chuyển hệ n phương trình vi phân cấp một về PTVP cấp n 78

6.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 79

6.4 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân 80

6.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 81

6.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 82

6.7 Một số phương pháp giải hệ phương trình vi phân 83

6.7.1 Phương pháp khử 83

6.7.2 Phương pháp toán tử 85

6.7.3 Phương pháp tổ hợp tích phân 86 Tài liệu tham khảo 90

Mở đầu

Phương trình vi phân là bài toán xuất phát từ cơ học,

vật lý, sinh học Trong quá trình nghiên cứu sinh ra những

phương trình mà nghiệm là hàm cần tìm cùng với đạo hàm các

cấp của hàm số đó Việc tìm những hàm số như thế là giải phương

trình vi phân Khi giải các phương trình vi phân hoặc tìm các tính

chất của nghiệm phương trình vi phân làm cho người học, nhất

là sinh viên ngành toán học, có cái nhìn chặt chẽ về đường cong,

về tích phân cũng như bài toán tiếp tuyến đã được học ở các

học phần trước

Sau khi học môn Phương trình vi phân, người học sẽ được trang

bị những kiến thức để có thể tiếp cận các môn học ở các bậc

học tiếp theo như phương trình đạo hàm riêng, toán cho vật lý,

phương trình toán lý

Đối với chương trình Cao đẳng sư phạm Toán, học phần

Phương trình vi phân có thời lượng 2 tín chỉ tương ứng với 30

tiết Học phần này chủ yếu giới thiệu cho người học đại cương

về Phương trình vi phân, cách giải một số phương trình vi phân

dạng đặc biệt, cũng như sơ lược về hệ phương trình vi phân

Chúng tôi viết bài giảng phương trình vi phân trên cơ sở

tham khảo các tài liệu tham khảo, sắp xếp một cách hệ thống

nhằm mục đích tạo cho người học có thể tiếp cận môn học dễ

dàng Không giống như đối với các ngành kỹ thuật, chúng tôi

quan tâm nhiều đến những yếu tố " tính chất toán học" trong

học phần này

Bài giảng được chia thành 6 chương:

Chương 1: Phương trình vi phân cấp một

Chương 2: Phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đạo hàm

Chương 3: Phương trình vi phân cấp cao

Chương 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Chương 5: Một số phương trình tuyến tính cấp n dạng đặc biệt

Chương 6: Hệ phương trình vi phân

Vì thời lượng chỉ 2 tín chỉ nên bài giảng không thể đi sâu

trong một số vấn đề Người học có thể tham khảo thêm trong [1]

Cuối mỗi chương, chúng tôi có soạn thêm một số bài tập Người

học có thể làm thêm các bài tập thuộc học phần này trong [2]

Lần đầu tiên biên soạn nên không tránh khỏi sai lầm và

thiếu sót Chúng tôi mong nhận được góp ý chân thành của bạn

đọc Chân thành cảm ơn

Quảng Ngãi, tháng 12 năm 2013

Liên Vương Lâm

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CẤP MỘT

1.1 Các khái niệm mở đầu

Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm cần tìm và

các đạo hàm của nó và biến độc lập Phương trình vi phân ra đời

vào thế kỷ 17 từ các nhu cầu của bài toán cơ học Phương trình

vi phân ra đời đồng thời với phép tính tích phân Đến thế kỷ 18,

phương trình vi phân trở thành một ngành toán học độc lập nhờ

vào các công trình của Bernoulli, D’Alembert và nhất là Euler

Sau đây là một số ví dụ dẫn đến phương trình vi phân

Ví dụ 1.1 Một vật có khối lượng m rơi tự do với lực cản của

không khí tỉ lệ với vận tốc rơi

Gọi vptq là vận tốc rơi của vật, khi đó có hai lực tác động lên vật

là trọng lực F1  mg cùng chiều với chuyển động của vật và lực

Trong phương trình trên có chứ hàm cần tìm vptq và đạo hàm của

nó Đây là một phương trình vi phân

Ví dụ 1.2 Một thanh kim loại được nung đến 1000C đặt trongmột môi trường có nhiệt độ không đổi là 200C Tìm quy luật thayđổi của nhiệt độ kim loại

Gọi Tptq là nhiệt độ của thanh kim loại tại thời điểm t Theo quyluật Newton về giảm nhiệt của vật thì tốc độ giảm nhiệt dT

dt tỉ lệvới hiệu nhiệt độ của vật thể và nhiệt độ của môi trường tại thời

điểm đó Tptq
20 Cho nên

dT

dt 
k T ptq
20, k ¡ 0

1.1.1 Các định nghĩa và khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân

của một hoặc một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi

phân Nếu phương trình chỉ chứa các đạo hàm của một biến độc

lập thì được gọi là phương trình vi phân thường, nếu trong

phương trình có chưa các đạo hàm riêng thì được gọi là phương

trình đạo hàm riêng

Định nghĩa 1.1.2 Cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương

trình được gọi là cấp của phương trình vi phân đó

Ví dụ 1.3 Các phương trình sau là các phương trình vi phân

3

y  0; xy5dy

dx 3y

2 1  0

là các phương trình vi phân cấp 2 và cấp một tương ứng

1.1.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp một

Định nghĩa 1.1.3 Phương trình vi phân cấp một là phương

trình có dạng

Fpx, y, y1q  0 (1.1)trong đó F là hàm xác định trên miền D € R3

Nếu từ phương trình 1.1 ta suy ra được

y1  fpx, yqthì ta nói phương trình 1.1 là phương trình cấp một giải ra được

với đạo hàm

Định nghĩa 1.1.4 Hàm y  ϕpxq xác định và khả vi trong mộtkhoảng pa; bq được gọi là nghiệm của phương trình vi phân nếu

• px, ϕpxq, ϕ1pxqq P D với mọi x P pa; bq

• Fpx, ϕpxq, ϕ1pxqq  0 trên pa; bq

1.1.3 Bài toán Cauchy và ý nghĩa hình học

Tập hợp nghiệm của phương trình vi phân cấp một phụ thuộc

vào một hằng số c Trong thực tế người ta thường tìm nghiệm

của phương trình vi phân thỏa mãn một điều kiện nào đó Chẳng

hạn người ta tìm nghiệm của phương trình vi phân sao cho đường

cong tích phân đi qua điểm px0, y0q cho trước Bài toán đó đượcgọi là bài toán Cauchy

Định nghĩa 1.1.5 Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi

phân 1.1 sao cho thỏa mãn điều kiện ban đầu fpx0q  y0 đượcgọi là bài toán Cauchy

Nhận xét Ta xét phương trình vi phân cấp một giải ra đối với

đạo hàm Khi đó mỗi nghiệm của phương trình vi phân cấp một

cho một đường cong trong G và được gọi là đường cong tích

phân

Vì vậy, bài toán Cauchy là xác định đường cong tích phân đi qua

điểm px0, y0q cho trước

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

Xét phương trình vi phân cấp một đã giải ra đối với đạo hàm

y1  fpx, yq (2.1)trong đó f xác định trên một miền G € R2 Khi đó định lýCauchy- Picar chỉ ra một điều kiện về sự tồn tại và duy nhất

nghiệm của bài toán Cauchy

Định lý 1.2.1 Giả sử hàm f thỏa mãn các điều kiện:

• f liên tục trong G;

• f thỏa mãn điều kiện Lipchitz theo biến y trong G

Khi đó với mỗi điểm px0, y0q P G tồn tại duy nhất một nghiệmcủa phương trình 2.1 thỏa mãn điều kiện ban đầu ypx0q  y0

Hệ quả 1.2.2 Giả sử hàm f liên tục cùng với đạo hàm riêng Bf

Bytrong miền G Khi đó qua mỗi điểm px0, y0q thì bài toán Cauchy

mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán

Cauchy được đảm bảo được gọi là nghiệm riêng

Nhận xét: Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị

C xác định được gọi là nghiệm riêng

1.3.3 Nghiệm kỳ dị

Định nghĩa 1.3.2 Nghiệm của phương trình y1  fpx, yq màtại mỗi điểm của nó tính duy nhất của bài toán Cauchy bị phá

vỡ được gọi là nghiệm kỳ dị

Nhận xét Nghiệm kỳ dị không được suy ra từ nghiệm tổng quát

với bất kỳ giá trị C cụ thể nào

Ví dụ 1.10 Phương trình vi phân

y1  a1
y2

nhận y  1 là các nghiệm kỳ dị

1.4 Phương trình biến số phân ly

1.4.1 Phương trình biến số phân ly

Định nghĩa 1.4.1 Phương trình vi phân với biến số phân ly là

phương trình có dạng

fpxqdx gpyqdy  0 (4.1)trong đó fpxq, gpyq là các hàm liên tục theo các biến x, y tươngứng

»

fpxqdx

»

gpyqdy  C

có thể chuyển về phương trình với biến số phân ly bằng cách

• Xét g1pyq  0 có là nghiệm của phương trình không?

• Xét f2pxq  0 có là nghiệm của phương trình không?

• Chia hai vế của phương trình cho g1pyq.f1pxq và tích phân hai

Vì p1 x2qp1 y2q  0 nên chia hai vế của phương trình chop1 x2qp1 y2q ta được

Định nghĩa 1.5.2 Phương trình vi phân

Ppx, yqdx Qpx, yqdy  0được gọi là phương trình thuần nhất (đẳng cấp) nếu Ppx, yq, Qpx, yq

là các hàm đẳng cấp cùng bậc

Nhận xét Phương trình

y1  fpx, yq

là phương trình đẳng cấp nếu fpx, yq là hàm đẳng cấp bậc 0

 Cách giải phương trình vi phân thuần nhất:

Đặt y  zx khi đó y1  z xz1 và chuyển phương trình về phương

trình biến số phân ly với hàm cần tìm là z

Giải : Đặt y  zx Ñ y1  z xz1 và thay vào phương trình tađược

dzcos z  dx

x .Lấy nguyên hàm hai vế ta được

tan

2z π4

p1
zqdx
xzdz  0

Đây là phương trình biến số phân ly

Nghiệm tổng quát của phương trình là xpz
1qez  C và nghiệm

v1  f
a1u b1v

a2u b2v

• Nếu hai đường thẳng a1x b1y c1  0 và a2x b2y c2  0song song Khi đó đặt z  a1x b1y thì a2x b2y  z

λ Phươngtrình được chuyển thành

1.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Định nghĩa 1.6.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là

phương trình có dạng

y1 ppxqy  qpxq (6.1)trong đó ppxq, qpxq là các hàm liên tục trong G

Phương trình

y1 ppxqy  0 (6.2)được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng

 Có 3 phương pháp giải phương trình tuyến tính cấp một

1.6.1 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

• Nghiệm tổng quát của 6.1 bằng nghiệm tổng quát của phươngtrình thuần nhất cộng với một nghiệm riêng.

Ví dụ 1.21 Giải phương trình vi phân y1 y cos x  e
sin x.

Phương trình thuần nhất tương ứng là

y1 y cos x  0

có nghiệm tổng quát là y  Ce
sin x.

Ta tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới

dạng y  cpxqe
sin x Thay vào phương trình ta tìm được cpxq  xcho nên một nghiệm riêng của phương trình không thuân nhất là

y  x.e
sin x.

vậy nghiệm tổng quát của phương trình là y  px Cqe
sin x.

Ví dụ 1.22 Giải phương trình vi phân y1 1

xy  3x với điều kiệnCauchy yp1q  1

Đáp án: Nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu là y  x2

Ví dụ 1.23 Bài toán về dòng điện tự cảm Giả sử I, U, R lần lượt

là cường độ dòng điện, hiệu điện thế và điện trở tại thời điểm t,

L là hệ số tự cảm Khi đó ta có

U  I.R LdI

dtcho nên

dIdt

trình trên với điều kiện ban đầu I  I0 tại t  t0.

Công thức nghiêm tổng quát là

Ví dụ 1.24 Giải phương trình 2ydx py2
2xqdy  0

Hướng dẫn: Ta xem x là hàm theo biến y và chuyển phương trình

về phương trình tuyến tính cấp một theo x Giải phương trình ta

được x  Cy
y2

2 .

1.6.2 Phương pháp Bernoulli

Các bước tiến hành như sau:

• Tìm nghiệm của phương trình dưới dạng y  upxq.vpxq

• Thay vào phương trình thì

u1v uv1 ppxquv  qpxq

• Chọn upxq là nghiệm của phương trình u1 ppxqu  0

• Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình là

Ví dụ 1.25 Tìm nghiệm riêng của phương trình

y1sin x
y cos x 
sin2x

x2

với điều kiện x Ñ 8, y Ñ 0

Giải : ta tìm nghiệm của phương trình dưới dạng y  upxq.vpxqthay vào phương trình ta được

u1v sin x uv1sin x
uv cos x 
sin2x

x2 Chọn upxq là nghiệm của phương trình

ye

• Lấy nguyên hàm hai vế thì

Ví dụ 1.26 Giải phương trình y1 y tan x  1

cos x.Giải: Nhân hai vế của phương trình cho 1

cos x ta được1

cos xy

1 y sin x

cos2x  1

cos2.Viết phương trình trên dưới dạng

ddx

y 1cos x

 1cos2.Lấy nguyên hàm hai vế ta được nghiệm tổng quát của phương

trình là y  C cos x sin x

Ví dụ 1.27 Giải phương trình y1px y2q  y

Hướng dẫn: Xem x là hàm theo biến y và nghiệm tổng quát cua

phương trình là x  Cy y2

1.7 Phương trình vi phân Bernoulli

Định nghĩa 1.7.1 Phương trình vi phân Bernoulli là phương

trình có dạng

y1 ppxqy  qpxqyα

trong đó ppxq, qpxq là các hàm liên tục trên khoảng pa; bq

Nhận xét Nếu α  0 thì phương trình trở thành phương trìnhtuyến tính cấp một.

Nhận xét Nếu α  1 thì phương trình trở thành phương trìnhđẳng cấp cấp một

Cách giải phương trình vi phân Bernoulli:

Khi y  0 thì đặt u  1

y Ñ u1 
y1

y2 thế vào phương trình tađược

Ví dụ 1.29 Giải phương trình y1 1

xy  xy2.Hương dẫn: Nghiệm tổng quát của phương trình là y  1

Ví dụ 1.31 Tìm các đường cong mà với mỗi điểm M trên đồ thị,

tiếp tuyến tại M cắt Oy tại B thì OB  MP2 với P là hình chiếuvuông góc của M lên trục hoành

Hướng dẫn: Nghiệm tổng quát của phương trình là y  x

C x.Nghiệm riêng y  0

1.8 Phương trình vi phân Dacbu

Định nghĩa 1.8.1 Phương trình vi phân Dacbu là phương trình

Ví dụ 1.32 Giải phương trình vi phân Dacbu

xdx ydy x2pxdy
ydxq  0

• Đây là phương trình vi phân Dacbu với α  1, β  2

2qdx pxz

x3qdz  0

dxdz

z

1 z2x 
1

1 z2x3

Ví dụ 1.33 Giải phương trình xy1
y  xax2
y2

Hương dẫn: Đây là phương trình vi phân Dacbu Nghiệm tổng

quát của phương trình là y  x sinpx Cq

1.9 Phương trình vi phân Ricati

Định nghĩa 1.9.1 Phương trình vi phân Ricati là phương trình

có dạng

y1  P pxqy2

Qpxqy Rpxq (1.9)trong đó P, Q, R là các hàm liên tục trên pa; bq

• Phương trình vi phân Ricati chỉ giải được trong những trườnghợp riêng

• Trường hợp P, Q, R là các hằng số thì phương trình chuyến

về biến số phân li

• Nếu biết được một nghiệm riêng của phương trình (1.9) thì

có thể chuyển về phương trình Bernoulli với phép đặt

x.Đồng nhất với phương trình thì a 
1 hoặc a  2 Khi a 
1thì y 
1

Đây là phương trình vi phân Bernoulli Giải phương trình suy ra

được nghiệm tổng quát của phương trình là

y  2x3
C

xpx3 Cq ; y 

1

x .

1.10 Phương trình vi phân toàn phần

Định nghĩa 1.10.1 Phương trình vi phân

Mpx, yqdx Npx, yqdy  0 (1.10)được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm

Upx, yq sao cho vi phân toàn phần

dUpx, yq  Mpx, yqdx Npx, yqdy

Định lý 1.10.1 Điều kiện cần và đủ để phương trình vi phân

(1.10) là phương trình vi phân toàn phần là

Hàm số µ  µpx, yq được gọi là thừa số tích phân nếu

µPpx, yqdx µQpx, yqdy  0 (1.11.2)

là phương trình vi phân toàn phần

• Nếu Upx, yq  C là nghiệm tổng quát của phương trình(1.11.2) thì U cũng là nghiệm của phương trình (1.11.1).

• Nếu phương trình (1.11.1) có tích phân tổng quát thì tồn tạithừa số tích phân

tích phân là

µ e
2

»dx

x  1

x2.Nhân hai vế cho thừa số tích phân và tích phân phương trình ta

được

1

x xy
y2

2  C

là nghiệm tổng quát của phương trình

Ví dụ 1.39 Tìm thừa số tích phân và giải phương trình vi phân

3 Chứng minh rằng phương trình tuyến tính

y1 ppxqy  qpxq

có nghiệm riêng dạng y  b là phương trình biến số phân ly

4 Tìm nghiệm của các bài toán Cauchy sau:

a y
2xy  1 thỏa điều kiện yp0q  0

b y1 3

xy  2

x3 với điều kiện yp1q  1

c xy1  x 2y với điều kiện yp0q  0

d xy1  x y

2 với điều kiện yp0q  0

5 Tìm những đường cong mà diện tích của tam giác lập bởi trục

Ox, tiếp tuyến và và bán kính vectơ của tiếp điểm có diện tích

không đổi bằng a2

6 Chứng minh rằng nghiệm của phương trình tuyến tính

y1 ppxqy  qpxqvới các giá trị ban đầu px0, y0q có thể viết dưới dạng

Nếu các phương trình đã giải ra đạo hàm có thể giải được bằng

cầu phương thì phương trìh có thể tích phân được

Ví dụ 2.1 Giải phương trình

y12
px yqy1 xy  0

Hướng dẫn: Giải phương trình này theo ẩn y1 ta được

y1  x; y1  y

1  x thì họ nghiệm của phương trình là

y  x2

2 C.

1  y thì họ nghiệm của phương trình là

y  Cex.Ngoài ra, phương trình đã cho còn có nghiệm là sự kết hợp của

hai họ nghiệm trên như sau

y 

$''

x22

1

2 nếu
8   x ¤ 1

ex

x nếu 1¤ x   8và

y 

$''

Nghiệm của phương trình là

$'

x  ep p

y  pep
ep p2

2 CNếu từ phương trình suy ra x  ϕptq và y1  ξptq thì nghiệmcủa phương trình cho dưới dạng tham số

$'

Ví dụ 2.3 Giải phương trình x3 y13
3xy1  0.

Hướng dẫn: Phép tham số hóa của phương trình là

2.1.3 Phương trình không chứa biến số độc lập

 Nếu từ phương trình suy ra y1  fpyq khi đó tích phân tổng

• Trường hợp Fpx, y, y1q  0 và có được biểu diễn

x  ϕpu, vq, y  ξpu, vq; y1  ψpu, vqthì nghiệm được tìm dưới dạng tham số x  ϕpu, ωpu, Cqq, y