bài giảng phương trình vi phân

ĐẠO HÀM RIÊNG Do đó, mọi quy tắc tính đạo hàm của hàm 1 biến vẫn đúng áp dụng được cho hàm 2 biến Đạo hàm riêng của hàm 3, 4 … biến được tính tương tự ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO Khi tính các

Chương 1 –

PHÉP TÍNH VI PHÂN

) , ( x y f

( )

, (

) ,

xf



 ( 0, 0)

( khi  x  0)

) , ( x y f

x x

f y

( )

,

( lim

) ,

(

0 0

0 0

) , ( )

,

( lim

) ,

(

'

y x f y

x

f y

x

f

x x

) , ( x y f

y x

f y

,

( lim

) , (

0 0

0

, hay

0

0 0 0

0 0

) ,

( )

,

( lim

) ,

(

'

y x f y

x

f y

x

f

y y

) 2 , 1 ( )

2 ,

( lim

) 2 , 1 ( ' )

(

'

1 0

f f

M

f

x x

x

ĐẠO HÀM RIÊNG

1

) 3 )(

1

( lim 1

) 2 1

( ) 2

( lim

1

2 2

x

x x

x x

4 )

3 (

f

y y

Lưu ý Thực chất việc tính đạo hàm riêng

của hàm 2 biến là tính đạo hàm của hàm

1 biến khi xem biến số còn lại là hằng số

ĐẠO HÀM RIÊNG

Do đó, mọi quy tắc tính đạo hàm của hàm 1 biến vẫn đúng

(áp dụng được) cho hàm 2 biến

Đạo hàm riêng của hàm 3, 4 … biến được tính tương tự

ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO

Khi tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm nhiều biến,

ta thấy chúng cũng là hàm nhiều biến Do đó

các ĐHR này lại có ĐHR của mình Ta gọi

ĐHR của ĐHR cấp 1 là ĐHR cấp 2 của

hàm số ban đầu

) , ( x y f

(

x xx

x

yx x

y

f f

f f

"

)' ' (

"

)' '

(

: ĐHR cấp 2 hỗn hợp

yx xy

x y y

f ' )' ( ' )' " "

- Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm 3 biến luôn có tính chất

các ĐHR cấp 2 hỗn hợp thì bằng nhau (đ/với hàm sơ cấp)

ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

- Đạo hàm riêng cấp cao còn được ký hiệu ở dạng

( )

, (

) ,

) ,

( x0 y0f



VI PHÂN

Nếu biểu diễn được ở dạng

) (

) ,

2 2

y

x  

 khi  x  0 ;  y  0Lúc này, hàm f ( x , y ) khả vi tại ( x0, y0)

y B x

A y

x

df ( 0, 0)    

) , ( x y f

VI PHÂN

Định lý Nếu khả vi tại ( x0, y0) thì

) ,

( ' x0 y0f

và

) ,

( ' x0 y0f

Do vậy,

y y

x f

x y

x f

y x

( )

, ( )

,

) , ( x y f

y

dx x

f d

2 2

f

dy y

dx x

f d

n n

R x

Lấy vi phân 2 vế, ta có dF ( x , y )  0

dy F

dx

F 'x   'y



0 'y 

F

F y

'

' '  

Ví dụ Tính đạo hàm của hàm ẩn đã cho ở vd trước

2 '

y

x

F

x F

 y 'x  2 x

Lưu ý Đạo hàm bậc 2 của hàm ẩn được tính

từ đạo hàm bậc nhất theo quan điểm hàm hợp

e y

x y

x

e F

x F

1 '

2 '

e

x y



 1

2 '

2

'

) 1

(

' 2

) 1

( 2 1

2

y y

x

y xx

e

y xe e

e

x y

2) 1

(

1

2 2

) 1

( 2

y

y

y y

e

e

x xe

) 1

(

4 )

1 (

2

y

y y

e

e x

0 )

, , ( x y z 

mà pt F ( x , y , z )  0 x/ định một giá trị

) , ( x y z

z  thì khi đó ta nói đây là

hàm ẩn 2 biến xác định bởi pt đã cho

Tương tự hàm ẩn 1 biến, ta cũng có

z

y x

F

dy F

dx

F dz

x x

F

F z

'

' '  

HÀM ẨN

z

y y

F

F z

'

' '  

e z

) , ,

e z

y x

z y x F

( để có pt F ( x , y , z )  0)

Suy ra

x

e F

F

x F

1 '

2 '

2 '

HÀM ẨN

Lấy đạo hàm riêng cấp 1, ta có

z x

e

x z

Còn đạo hàm riêng cấp 2

3

2 2

2

) 1

(

4 )

1 ( 2 )

1 (

' 2 )

1 (

2

z z

z

x

z z

xx

e

e x e

e

xz e

e z

) 1

(

4 )

1 (

'

2

z z

y z

yy

e

e e

z

e z

) 1

(

4 )

1 (

'

2

z z

y z

xy

e

xe e

z

xe z

Lúc này công thức tính các đạo hàm hàm ẩn x'y , x"yy

đều được tính tương tự

Ngoài ra, pt F ( x , y , z )  0 còn có thể x/đ hàm ẩn

) , ( y z x

) , ( x y f

z dt

dx x

z dt

dz

.

Tuy nhiên, nếu

) ,

( v u x

x  , và y  y ( v u , )

u y

u x

!

)

( )

O k

M f

d y

y x x

f

trong đó

 

)!

1 (

) ,

( )

1 1

2 2

x x

f

d y

x O

của công thức Taylor , là công thức

MACLAURIN

) ,

( 0 0

0 x y M

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

) , ( x y

0

0); ( , ) (

1 2

2 )

, ( x y  x2  y2  x  y 

2 2

1 1 )

1 , 1

2 )

, ( )

f

Suy ra,

2 2

2 )

( )

f

0 )

1 (

) 1 (  2   2 

0 )

( )

( M  f M0 

f

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

 M0( 1 ,  1 ) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho

0 '

y

x

f f

Nếu hệ này có nghiệm ( x1, y1), ( x2, y2),

thì ta có các điểm dừng tương ứng là

),

, ( ),

,

P

1 x y P

"

) , (

"

) , (

"

1 1

1 1

1 1

y x f

C

y x f

B

y x f

A

yy xy xx

 Trường hợp Kết luận: M0 là điểm cực đại

 Trường hợp   0 Kết luận: M0 là không là cực trị

 Trường hợp   0

dùng ĐỊNH NGHĨA

 Trường hợp những đạo hàm riêng

không tồn tại

2 2

2 4

) , ( x y e y x y

2 2

2 4

2 4

) 4 4

( '

2 '

y x

y y

y x

y x

e y f

xe f

Lúc này, ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ

0 '

4 4

(

0

2

2 2

2 2

2 4

2 4

y x

y

y x

y

e y xe

2 2

2 2

2 2

2 2

2 4

2 2

4

2 4

2 4

2 4

2

) 4 4

( 4

"

) 2 )(

4 4

(

"

2 4

"

y x

y y

x y yy

y x

y xy

y x

y y

x y xx

e y e

f

e x y

f

e e

x f

Do vậy, tại điểm dừng P

1 , 0 (

"

0 )

1 , 0 (

"

2 )

1 , 0 (

"

e f

C

f B

e f

A

yy xy xx

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Ta có

Suy ra   B2  AC   8 e4  0

Mà A   2 e2  0

Kết luận: P(0,1) là điểm cực đại của hàm đã cho

, với giá trị cực đại là

2 2

0 4

m ax f ( 0 , 1 ) e e

3 4 2 2 23

2

2

3 2

4

) (

2

12

y x

xy z

rồi thay vào V ta sẽ có hàm 2 biến

khảo sát cực trị hàm này ta tìm được V max

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

điều kiện

Tìm cực trị hàm f  f ( x , y ) , với

0 )

, ( x y 



) , ( )

, ( )

, (

0 '

0 '

y x L

L

y x

);

, ,

( );

, ,

: ) , ,

1

2 1

1

2

) (

"

) (

"

2 )

( 1

2L P 

d KL: P1 là điểm cực tiểu

0 )

( 1

2L P 

d KL: P1 là điểm cực đại

) ( 1

2

P L

d không xác định được dấu

thì ta dùng điều kiện  ( x , y )  0

để tính vi phân dx theo dy (hay ngược lại)

rồi thế lại vào d2L(P )

0 )

( 1

2L P 

d KL: P1 là điểm cực đại

) ( 1

2

P L

d không xác định được dấu

KL: P1 không là cực trị Bước 5: xét tương tự bước 4 cho tất cả các điểm dừng

Ví dụ khảo sát cực trị f ( x , y )  3  3 x  4 y

, với đk x2  8 y2  8

) 8 8

( 4

3 3 )

, ( x y   x  y  x2  y2 

0 '

0 '

2 2

y x

0 16

4

0 2

3

2 2

y x

) 4 /(

1

) 2 /(

"yy  

L

2 1

1

2 1

1

2

) (

"

) (

"

2 )

14

2 4

Thế tọa độ P1 vào, ta được 0

14

32 14

24



dx

4 4

14 )

9

14 18

) , ( x y f

D có biên là đường cong kín (C )

Lúc này, đại lượng

) , (

max

) ,

D y

x  đgl giá trị lớn nhất (GTLN) của

) , ( x y

) ,

D y

x  đgl giá trị nhỏ nhất (GTNN) của

) , ( x y

) , ( x y f

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ

NHẤT

Định lý

Nếu D là tập compact (tập đóng và bị chặn) , đồng thời

liên tục trên D , thì luôn tồn tại

D y

x

M1( 1, 1) 

D y

x

M2( 2, 2) 

sao cho

) ( M1

) ( M2

f là GTNN của f ( x , y ) trên D

PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM

SỐ TRÊN TẠP D COMPACT

) , ( x y f

0 '

y

x

f f

Bước 2: Tìm điểm dừng (có đk) trên biên (C) của f ( x , y )

, (

0 '

0 '

y x L

L

y x



, với

) , ( )

, ( )

, ( x y f x y x y

và  ( x , y )  0 là đk trên biên (C)

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ

NHẤT

Bước 3: Tính giá trị tại tất cả các điểm dừng thu được

rồi so sánh chúng với nhau để rút ra kết luận

Ví dụ Tìm GTLN, GTNN của hàm số

x y

x y

x

2 )

, (

trên hình tròn D x2  y2  1

Trước hết, ta tìm điểm dừng của f ( x , y )

là điểm trong của D

0 '

0 1

y x

2 )

, ( x y  x2  y2  x  x2  y2 

4 '

0 2

1 2

'

2 2

y x

y y

L

x x

2 / 1



y x

2

1

3

M

) , ( x y f

( M1  

f

4 / 9 )

( M2 

f

4 / 9 )

( )

( )

, (

) ,

D y x

GTNN

4

1 )

( )

, (

) ,

D y x