Giới hạn hàm số I.. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x... 0 Phương pháp: * Nếu fx là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x 0 * Nếu fx cho bởi nhiều công thứ
Trang 1Giới hạn hàm số
I Lý thuyết
1 Định nghĩa:
1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x Ta nói rằng hàm số 0 f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x ) có giới hạn là 0 L khi x dần tới x nếu với dãy số 0 (x ) bất kì, n xn ÎK \ {x }0
vàxn ® x0, ta có:f(x )n ® Ta kí hiệu: L
0
x xlim f(x) L
® = hay f(x)®L khix ®x0
1.2.Giới hạn một bên:
* Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên( ; )x b Số 0 L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f x= ( ) khi x dần tới x nếu với mọi dãy 0 ( ) :x n x0 <x n < mà b x n ®x0 thì ta có:f x( )n ® Kí L
hiệu:
0
lim ( )
x x f x L
+
®
=
* Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên( ; )a x Số 0 L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f x= ( ) khi
x dần tới x nếu với mọi dãy 0 ( ) :x n a x< n <x0 mà x n ®x0 thì ta có:f x( )n ® Kí L
hiệu:
0
lim ( )
x x f x L
-®
=
Chú ý:
0
0 0
x x f x L x x f x x x f x L
1.3 Giới hạn tại vô cực
* Ta nói hàm số y f x= ( ) xác định trên ( ; )a +¥ có giới hạn là L khi x ® +¥ nếu với mọi dãy số ( ) :x n x n > và a x ® +¥ thì ( ) n f x n ® Kí hiệu: L lim ( )
®+¥ =
* Ta nói hàm số y f x= ( ) xác định trên ( ; )-¥b có giới hạn là L khi x ® -¥ nếu với mọi dãy số
( ) :x n x n < và b x ® -¥ thì ( ) n f x n ® Kí hiệu:L lim ( )
®-¥ =
1.4.Giới hạn vô cực
* Ta nói hàm số y f x= ( ) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x nếu với mọi dãy số 0
0
( ) :x n x n ®x thìf x ® +¥ Kí hiệu:( )n
0
lim ( )
x x f x
® = +¥
* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x bởi 0 -¥ hoặc+¥
2 Các định lí về giới hạn
Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về L ¹ 0) khi x ®x0
(hayx ® +¥;x ® -¥ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x ®x0
(hayx ® +¥;x ® -¥)
Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn Ta không áp dụng cho
các giới hạn dần về vô cực
Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)
Trang 2Cho ba hàm số f x g x h x( ), ( ), ( ) xác định trên Kchứa điểm x (có thể các hàm đó không xác định 0 tại x ) Nếu 0 g x( )£ f x( )£h x( ) " Îx Kvà
lim ( ) lim ( )
x x g x x x h x L
0
lim ( )
x x f x L
3 Một số gới hạn đặc biệt
lim k
x
x
x
®+¥
®-¥
= +¥ ; 2 1
x x
x +
®+¥
®-¥
= +¥ -¥
*
( )
k
f x
*
sin
sin
® = ® = , từ đây suy ra
tan
tan
*
1
0
1 lim (1 )x lim (1 )x
x
Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực,
giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít
CÁC DẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tìm
0
lim ( )
x x f x
® biết f x( ) xác định tạix 0
Phương pháp:
* Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x ( )0
* Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải)
Ví dụ 1: Tìm giới hạn các hàm số sau:
2
1) lim
1
x
A
x
®
- +
=
+ 2
6
x
x x
®
+
=
+
p
2
3) lim
x
A
x
®
+ - +
=
+
Giải:
1) Ta có:
2
x
A
x
®
2) 2
6
2 tan 1
lim
6
x
x A
x
®
+
p
p
3)
2
2
3 lim0ln ( 2) 1 ln 2 1
x
A
x
®
+ - +
Ví dụ 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới
hạn đó?
Trang 31)
2
212 2 khi 1
3 2 khi 1
ìï + +
ï
ïïî
khi x ®1
2)
2 2
( )
f x
ïï
= íï- + +ïïî < khi x ® 0
Giải:
1) Ta có:
lim ( ) lim (3 2) 5
2 2
12 2
2
x
Vậy
1
5 lim ( )
3
x f x
2
Vậy hàm số f x( ) không có giới hạn khix ® 0
Ví dụ 3: Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x ®2
2 2
1 khi 2 ( )
f x
ïï
Giải:
Yêu cầu bài toán
1 lim ( ) lim ( ) 2 6 7
2
Vậy 1
2
a = là giá trị cần tìm
Bài tập:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau
1) 1 lim2 2 1
4
x
x B
®-+
=
+ + 2)
2 2
6
sin 2x 3 cos lim
tan
x
x B
x
®
-=
p
3)
2
3 lim1ln(2 3 1) 22 x
B
e
+
+
x
x B
x
®
+
-=
+
-Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn
đó ?
Trang 41)
2
( )
3 2 1
f x
ïï
= íï- +ïïî < khi x ®1
2)
3
8 2
2 1 2
ìï
ï
= í -ïï +ïïî £
khi x ®2
Bài 3: Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x ® 0
3
2
( )
f x
ïïï
ïïî
Dạng 2: Tìm
0
( ) lim ( )
x x
f x A
g x
®
= trong đóf x( )0 =g x( ) 00 = Dạng này ta gọi là dạng vô định 0
0
Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:
Định lí: Nếu đa thức f x( ) có nghiệm x x= thì ta có : 0
0 1 ( ) ( ) ( )
f x = -x x f x
*Nếu f x( ) và ( ) là các đa thức thì ta phân tích f x( ) (= -x x f x0 1) ( ) vàg x( ) (= -x x g x0 1) ( ) Khi đó
0
1 1
( ) lim
( )
x x
f x A
g x
®
= , nếu giới hạn này có dạng 0
0 thì ta tiếp tục quá trình như trên
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai f x( )=ax2 +bx+c có hai nghiệm x x thì ta luôn có sự phân 1 2, tích 2
ax + + =bx c a x x x x- -
* Nếu f x( ) và ( ) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên
Các lượng liên hợp:
1 ( a - b)( a + b)= - a b
2 (3a ±3b)(3a2 m3ab +3b2)= -a b
3 (n a -n b)(n a n-1 +n a n-2b + + n b n-1)= -a b
* Nếu f x( ) và ( ) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu n f x( ),m g x( ) ®c thì ta phân tích:
n f x -m g x = n f x - -c m g x -c Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như
sau:n f x( )-m g x( ) ( ( )= n f x -v x( )) ( ( )- m g x -v x( )), trong đó ( )®c
* Một đẳng thức cần lưu ý:
a -b = -a b a - +a - b+ +ab - +b -
Ví dụ 1: Tìm các gới hạn sau
Trang 54 lim1 2 3 2
x
A
®
=
- + 2)
5 lim0(1 3 ) (1 4 )
x
A
x
®
-=
6 lim2 35 4
8
x
A
x
®
=
- 4) 7 0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim
x
A
x
®
Giải:
1) Ta có:
2
4 lim1 2 3 2 lim1( 1)( 2 2) lim1 2 2 3
A
2)
6 lim0(1 3 ) 1 lim0(1 4 ) 1
A
3 [(1 3 ) (1 3 ) 1] 4 (2 4 )[(1 4 ) 1]
lim 3[(1 3 ) (1 3 ) 1] lim 4(2 4 )[(1 4 ) 1] 7
3)
6 lim2 35 4 lim2( 31)( 3 4)
A
4)
7 lim0(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim06 11 6 6
A
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1) 8 lim0 1 ( , *)
1
n m x
x
x
®
- ¥ 2) 9 lim0n1 1 ( *, 0)
x
ax
x
®
Giải:
1)
x
A
-®
=
0
lim
x
m
-®
2) Cách 1: Nhân liên hợp
A
=
lim
n
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Trang 6Đặt t n1 ax x t n 1
a
n
Ví dụ 3: Tình các giới hạn sau
1) 10 lim0 1 1
n m x
ax A
bx
®
-=
+ - 2)
x
A
x
®
-=
Giải:
1) Áp dụng bài toán trên ta có:
n
m
A
2) Ta có: 1+ax31+ bx41+gx - =1
= 1+ax31+bx( 14 +gx - +1) 1+ax(( 13 + bx - +1) ( 1+ax -1)
3
0
lim
x
x x
a
®
-+
11 4 3 2
A = g + b +a ( Áp dụng kết quả bàiA ) 9
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau:
1) 12 lim1 2 2 1
1
x
A
x
®
-=
- 2)
3
13 lim2 3 2
3 2 2
x
A
x
®
+
-=
-Giải:
1)
2
x
A
2)
3
13 lim2 (3 32 )( 32 3 2 2)
3( 2)( (3 2) 2 3 2 4)
x
A
®
=
2
3
( 2 1)( 3 2 2) lim
3( (3 2) 2 3 2 4)
x
®
=
13 1
A
Þ = -
Ví dụ 5: Tìm các giới hạn sau
1)
3
14 lim1 7 1 5 1
1
x
A
x
®
-=
- 2)
3
15 lim7 4 2 20
9 2
x
A
x
®
=
Giải:
1)
3
14 lim1 7 1 2 ( 5 1 2)
1
x
A
x
®
-=
-3
Trang 7lim
12
x
x I
®
3
x J
Vậy 14 9
4
A =
2) Ta có:
3 3
7
A
x
-mà:
x
+
3
x
4
x
Vậy 15
1 1
112
6 27
32
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau:
1)
2
5 lim223 5 2
3 2
x
B
®
- +
=
- - 2)
4
6 lim1 3 3 2
2 3
x
B
®
=
+
-3) 7 lim3 22 3
x
B
®
+
-=
- + 4)
3
8 lim04 1 1
2 1 1
x
x B
x
®
+
-=
+ -5)
3
9 lim7 44 1 2
x
B
x
®
=
+ - 6)
3
10 lim0 1 2 2 1 3x
x
x B
x
®
7) 11 1 ( 1)(2 1)(32 1)(4 1) 1
lim
1
x
B
x
®
-=
8)
x
B
®
=
Trang 8Dạng 3: Tìm lim ( )
( )
x
f x B
g x
®±¥
= , trong đóf x g x ® ¥( ), ( ) , dạng này ta còn gọi là dạng vô định¥
¥
Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
lim k
x
x
x
®+¥
®-¥
= +¥ ; 2 1
x x
x +
®+¥
®-¥
= +¥ -¥
*
x
x
x
®+¥
®-¥
*
( )
k
f x
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
16 lim 3 2 5 1
x
A
®+¥
=
+ +
n
m
-®+¥
Giải:
1) Ta có:
2
3
x
A
x
2) Ta có:
17
lim
x a
A
x b
=
* Nếu
0 17
lim
a
a
b
* Nếu
17
a
( Vì tử®a0, mẫu®0)
* Nếu m n<
Trang 91 1
0 0 17
0 0
a b
b
ï
ïî
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)
x
A
x
®+¥
=
+ 2)
2
1 1
x
A
x
®-¥
=
+
-
Giải:
18
lim
2
x
A
x x
®+¥
=
+
2 1 lim
2
x
x
®+¥
+
19
2
lim
| |
x
x
A
x
x x
®-¥
=
2
3
| |
x
x
x x
®-¥
-
Ví dụ 3:Tìm các giới hạn sau
1)
x
A
x
®-¥
=
+
2)
2
x
A
x
®+¥
=
- +
Giải:
1) Ta có:
20
4
4
lim
4
x
x
A
x
x
®-¥
+
2)
2
21
lim
x
A
x
®+¥
(do tử® +¥, mẫu®32)
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau
1)
13 lim (2 1) ( 7 2)
(3 2 )
x
B
x
®+¥
=
- 2)
2
1
x
B
®-¥
-=
+ +
Trang 102
x
B
®+¥
=
4)
16 lim ln(1 3 4)
x
B
®-¥
=
Dạng 4 : Dạng vô định: ¥ - ¥và 0.¥
Phương pháp:
Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng¥
¥
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
x
®+¥
x
®-¥
Giải:
1) Ta có:
A
2 1
x
x A
®+¥
- +
+ +
2)
x
A
®-¥
=
lim
4
x
x
®-¥
+
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
x
®-¥
x
®+¥
Giải:
1) Ta có: 3x3 -3x2 + x2 -2x =(3x3 -3x2 -x) (+ x2 -2x x+ )
2 3
3
-24
2
A
-
2) Ta có:
2
2
x
-=
2
x
-=
Trang 11x
x A
®+¥
4
x
A
®+¥
Ví dụ 3: Tìm giới hạn: 26 lim [ (n 1)( 2) ( n) ]
x
®+¥
Giải:
Đặt y =n(x a x a- 1)( - 2) (x a- n)
y x
y - y - x x
-Þ - =
y x
y - y - x x
1
1
lim
n
x
n
x A
x
-®+¥
1 2
x
-= + + + + + + + =a1 +a2 + +a n
1
1
lim k n n k 1 0, , 1
x
x
1
x
x
-®+¥
26 a a a n
A
n
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau:
x
®+¥
18 lim ( 4 1 )
x
®-¥
x
®±¥
20 lim ( 8x 2x 2x)
x
B
®+¥
x
®+¥
x
®-¥
= - -
Trang 12Dạng vô định các hàm lượng giác
PP: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:
*
sin
sin
® = ® = , từ đây suy ra
tan
tan
* Nếu
sin ( )
( )
u x
u x
u x
0
tan ( )
( )
x x
u x
u x
Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: 27 lim01 cos2
x
ax A
x
®
Giải:
Ta có:
2 2
2
A
ax x
Chú ý: Kết quả trên chúng ta thường hay được sử dụng để giải một số bài toán khác
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
1) 28 lim01 sin cos
x
A
®
-=
+ - 2) 29 0 2
1 cos cos 2 cos 3 lim
x
A
x
®
Giải:
1) Ta có:
2 2
2 sin 2 sin cos
1 sin cos 2 sin 2 sin cos
+
x
x sin sin cos
m
+
=
+
x
lim lim lim
x
A
+
+
2) Ta có:
1 cos cos cos 2 (1 cos 3 ) cos (1 cos 2 )
-=
1 cosx cos cos 2x x1 cos 3x cosx 1 cos 2x
Sử dụng kết quả bài A ta có: 27
29 lim01 cos2 lim cos cos 20 1 cos 32 lim cos0 1 cos 22 3
Trang 13Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:
1) 30 lim01 cos 2
3
2 sin 2
x
x A
x
®
-= 2) 31 lim0 cos 2 cos 3
(sin 3 sin 4 )
x
A
®
-=
- 3)
2
32 lim0 tan 23
1 cos 2
x
x A
x
®
=
-Giải:
3 sin
sin
x
A
x
-
3)
3 3
2
32 lim0 tan 23 lim0tan 2 (1 cos 2 cos 2 )
1 cos 2
1 cos 2
x A
x x
3 3
2 0
3 3
0
tan 2 (1 cos 2 cos 2 ) lim
2 sin tan 2
2 lim ( ) ( ) (1 cos 2 cos 2 )
x
x
x
®
®
=
32 6
A
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau
1) 33 lim01 ncos2
x
ax A
x
®
-=
2)
34 lim0 cos cos2 cos 3 2 cos 4 cos 2008
x
A
x
®
=
Giải:
1) Ta có:
1 cos
n
ax
1 ncos ( cos )n ( cos )n n
a A
1
2) Ta có:
1
1( 1) cosk k 1( 1) (1k kcos )
Mà lim01 cos2 1 ( 1,2, ,2008) 34 0
2
k
x
x
®
Trang 14
Ví dụ 5: Tìm giới hạn
1)
2
35 lim0
1 sin 3 cos2
x
x A
®
=
+ - 2)
2
36 lim03 sin 24
cos cos
x
x A
®
=
-Giải:
1) Ta có: 35 0
2
1 lim
1 sin 3 cos 2
x
A
x
®
=
+ -
Mà:
0
x
x
®
Vậy:A35 2
5
=
2) Ta có:
(1 cos ) 1 cos
2 2
36 4 lim (0 sin 2 ) lim03 4 4.( 24) 69
A
Ví dụ 6: Tìm các giới hạn sau
1) 37 lim 1 sin( )
sin( )
m n x
x A
x
p p
®
= 2) 38
2
lim ( )tan 2
x
p
p
®
Giải:
1) Ta có: 37 lim1sin (1 )
sin (1 )
m n x
x A
x
p p
®
-=
-=
1
n
m
2) Ta có: 38
2
x x
x
p p
p
-
Ví dụ 7: Tìm các giới hạn sau:
1) 39 lim0 sin (1 0)
x
x
®
= > 2) 40 lim (sin 1 sin )
x
®+¥
-Giải:
1) Ta có:0 |x sin |1 x
x
0
x xa
® = Nên theo nguyên lí kẹpÞA39 = 0
Trang 152) Trước hết ta có: sinx x< " >x 0
Ta có:
1
1
+ + nênA = 40 0
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau
1) 23 lim0cos 3x cos 4x
cos 5x cos 6x
x
B
®
-=
- 2)
3
24 lim01 1 2sin2x
sin 3x
x
B
®
=
3) 25
2
cos 3 1 sin 3x lim
1 sin
x
x B
x
p
®
-=
- 4)
4
26 lim0sin 2x4
sin 3x
x
B
®
=
5) 27 0
1 sin( cos )
2 lim
sin(tan )
x
x B
x
p
®
-= 6) 28 lim 3 sin 2 cos
1
x
B
®+¥
+
=
+ +
7) 29 lim0 cos 2 cos
sin
x
B
x
®
3
1 cos x
x
B
®
=
-Giới hạn hàm số mũ và Lôgarít
Sử dụng giới hạn đặc biệt:
Từ đây ta có hệ quả:
Nếu
0
lim ( ) 0
x x u x
® = thì
( ) 1 ln(1 ( ))
u x
u x
e
+
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau
1) 41 lim0 ax bx
x
A
x
®
-= 2)
3
2 1 1 1 3
x
A
x
-®
Giải:
1) Ta có:A41 lim0 ax 1 lim0 bx 1
2) Ta có:
42 lim0 1 lim0 2 1 1 lim0 3 1 lim0 1 3x 1
x
A
x
-Mà
3
3
x
x
x
x x
®
+
-=
Trang 163
0
1 3x 1
-= - NênÞ A42 = + = 1 1 2
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
1) 44 lim0 x 1
x
a A
x
®
-=
2)
3
43 lim0ln | | ln( 3 1 1) | 1 1 |]
x
A
x
®
Giải:
ln
a
+
0
.ln
ln(1 )
t
t a
t
®
Chú ý : Ta có dạng tổng quát của A44như sau:
Nếu
( )
1
( )
u x
a
u x
2) Ta có:
3
( 3 1 1)( 1 1)
1 1
x
+ +
+ +
ln( 3x 1 1) | x 1 1 | ln | | ln( 3x x 1 1) ln( x 1 1)
3
45 lim0ln( 3 1 1) ln( 1 1)
x
A
x
®
3
ln(1 1 3x) ln 2 ln(1 1 ) ln 2
x
3
x
I J
-Mà
1 ln(1 ( 1 3 1))
2
x
I
x x
®
-
0
1 ln(1 ( 1 1))
2
x
J
x x
®
+
-Vậy 45 1 1 1
2 4 4
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:
1) 46 lim0(1 ) 1 ( 0)
x
x A
x
a
a
®
-= > 2) 47 lim x a
x a
A
x a
®
-=
-
Giải:
1) Ta có: (1+x)a - =1 ealn(1 )+x - 1
Trang 17ln(1 )
ln(1 )
x
a
+
+
ln(1 )
ln(1 )
x x
x e
A
a
+
®
+
Chú ý : Tổng quát ta có: Nếu
lim ( ) 0 lim
( )
u x
u x
u x
a
a
2) Ta có: ax x a a a a x a( 1) a a (1 x a)a 1
a
a
-1 47
1
1
a
x a
x a
a a
e
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
ln( 3 4 1)
x x x
A
x
-®
=
+ - 2)
3x+1 1
49 lim04 2 sin 3x
x
A
-®
-=
Giải:
1) Ta có:
2
2
4
2
4 2
2
ln( 3 4 1)
(2 1)
2
x x
x x
x
x x
+
Mặt khác :
2 2 2
ln(1 ( 3 4 2)) 2
x x
x
-và
lim
3
x
x x x
®
= +
-48 (1 3).1.( )2 7
A
2) Ta có:
Mà
3 1 1
0
x
+
-®
Trang 18
-2 2
3 sin ( )
2
x
2 2 0
x
®
- +
49 3 ln 2
A
Giới hạn 1¥
Phương pháp: Dựa vào các giới hạn đặc biệt sau:
*
1
0
lim (1 )x lim (1 )x lim (1 )x
* Nếu
0
lim ( ) 1
x x u x
0
lim ( ) ( )
x x v x
thì
1
( ) 1
lim ( ) v x lim 1 ( ( ) 1) u x u x v x
-® éë ùû = ® éë + - ùû
lim ( ( ) 1) ( ) 0
x x u x v x
e ®
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)
3 2
1
x x
x A
x
+
®+¥
æ + ö
+
è ø 2)
1
52 lim 21 x x) x
x
-®
Giải:
1) Ta có:
x
x
+
®+¥
+
2) Ta có:
lim
1
52 lim 1 (11 )
x
x
-®
Mà
2
1
- VậyA52 =e-1
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
53 lim (10 ) x
x
®
= + 2)
2 1 2
3
54 lim (0 2 1)
1
x x x
A
+
®
- +
=
+ +
Giải:
1) Ta có:
x
®
Trang 192) Ta có
2
- +
=
2
2
2(2 1)
x
=
-+ -+ 2
54 lim (10 2 2 )
1
x
x x
x
x
®
+ +
®
+ +
Ví dụ 3: Tìm giới hạn: tan
55
2
lim (sin ) x
x
p
®
=
Giải:
sin 1 lim
(sin 1)
sin 1 cot 55
2
x
x
p
p
®
-®
Mà
x x
2
sin( )
x
x
p
p
®
-
A =e =
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau