chuyen de khao sat ham so 12 day hoc 2015 khao sat ham so chuong 1

1

ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ

ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI TOÁN

Vấn đề 1 CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

 (sinx)' = cosx a (sinu)' = u' cosu

 (cos ) 'x = - sinx a (cos ) 'x = - u' sinu

x

=

coscot

sin

x x

2sin

11cos

12

t an

1

t t t t t t

cotx- tanx = 2 cot 2x

1 P n tr n lư ng giác cơ b n:

ïïïï

ìïïï

ïïïìï

 Đ t t = t anx ưa v phư n tr nh c hai th o t: (a- d t) 2 + b t + -c d = 0® t ® x

3 hư n tr nh i n n : a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx + c = 0 ( )3

 Đ t cos sin 2 cos ( ) ; 2

- Tha vào phư n tr nh ( )3 ta ược phư n tr nh c hai th o t ® t ® x

4 hư n tr nh i n n hư n tr nh i n n : a sinx ± cosx + bsinxcosx + c = 0 ( )4

a b x

a

ê =êê

ê =êë

a b x

a

ê =êê

ê =êë

P S

íï D >

ïïïï

P S

íï D >

ïïïï

=éê

5

 hư n tr nh ( )4 c n hi m ph n i t Û ( )5 c n hi m ư n ph n i t

000

P S

íï D >

ïïïï

> Û ì

ï - >ïïïî

 hư n tr nh ( )4 c n hi m ph n i t Û ( )5 c n hi m tr i u ho c ( )5 c n hi m k p

ư n

0 0 0

ac

S

<

é ê

= Û ì ï

= ïïî

B A

êí ³ïêïïìêï ³êïïîë

+

2

00

B

íï ³ïïïï

BÀI 1 TÍNH Đ N ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Chú ý: u kho n I ược tha i đo n ho c nử o n thì y = f x ( ) p ên tụ tr n

7

- ( )

: ( ) 0 ( )

+ Bước 3: Sắp p c c i m th o th t tăn n và l p n i n thi n t u y'= f x'( )

+ Bước 4: a vào n i n thi n k t lu n c c kho n ồn i n và n h ch i n c a hàm s

 C ba hàm s trên không thể luôn đ n đ u trên ¡

( )2 ( )2'

2' '

x

-=+

x y

Bài 4 T m c c kho n n i u c a c c hàm s sau

a/ y = x - sinx , x Î ê úéë0;pùû b/ y = 2 sinx + cos 2 ,x x Î ê úéë0;pùû

+ khi ta t m ³ g x( ) th a vào n i n thi n ta sẽ l i tr m ³ số ớn n ất tron n i n thi n

+ khi ta t m £ g x( ) th a vào n i n thi n ta sẽ l i tr m £ số n ỏ n ất tron n i n thi n

2

m x m m x m x

 Lưu ý 1: Tron trư n hợp ta chưa t ược u c af x'( )th ta t h x( )= f x'( ) và qua l i ti p t c t

u h x'( )… cho n khi nào t u ược th th i

 Lưu ý 2: u t n th c c hai i n th ta ưa t n th c v n f a ( ) < f b ( ) X t t nh n i u c a hàm s ( )tron kho n ( a b , )

+ u ài to n u c u t m t m tham s phư n tr nh c k n hi m ph n i t ta ch c n a vào n

i n thi n c nh sao cho ư n th n y = A m( ) nằm n an cắt ồ th hàm s y= f x( ) t i k i m ph n

i t

to n 2. T m m t phư n tr nh f x; m( )³ 0 ho c f x; m( )£ 0 c n hi m tr n

 ư c Đ c l p t ch m ra kh i i n s và ưa v n f x( )³ A m( ) ho c f x( )£ A m( )

 ư c p n i n thi n c a hàm s f x( ) trên D

 ư c a vào n i n thi n c nh i tr c a tham s m t phư n tr nh c n hi m

+ i t phư n tr nh f x( )³ A m( ) là nhữn m sao cho tồn t i ph n ồ th nằm tr n ư n

th n y= A m ,( ) t c là A m( )£ max f xD ( ) ( khi max f x $D ( ) )

+ i t phư n tr nh f x( )£ A m( ) là nhữn m sao cho tồn t i ph n ồ th nằm ư i ư n

th n y= A m ,( ) t c là A m( )³ min f xD ( ) ( khi min f x $D ( ) )

to n 3. T m tham s m t phư n tr nh f x( )³ A m( ) ho c f x( )£ A m( ) n hi m n " Î x D ? + t phư n tr nh f x( )³ A m( ) n hi m n " Îx D Û min f xD ( )³ A m( )

a Đ n ý 1: Gi s hàm s y = f x( ) li n t c tr n kho n ( a b ; ) É xovà c o hàm ( a b , ) \ { } xo

+ u f x'( ) i u t âm sang dương khi x i qua x o thì y = f x( ) t c c ti u t i x o

+ u f x '( ) i u t dương sang âm khi x i qua x o thì y = f x ( ) t c c i t i x o

o

y x x

Bài 2 T m c c tr c a c c hàm s sau

a/ 3 2

1

x y

4

123

+ T m t p c nh + Tính y'= f x m'( , )+ Đ hàm s t c c tr t i x = x0 thì: f x m'( ,0 ) = 0Þ m

Bài toán 2: Cho hàm s y = f x m( , ) T m tham s m hàm s t đ t i i m x = x0

+ T m t p c nh + Tính y'= f x m y'( , ); ''= f ''( ,x m)+ Đ hàm s t đ t i x = x0 thì: ( )

0 0

0 0

2 2

21

x =

DẠNG 3 IỆN LUẬN HOÀNH ĐỘ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Hàm s y = f x( ) c n tr  ó n n m p n t

M t số u ý to n

 L u ý 1: Hoành c c tr thư ng là nghi m c a phư n tr nh c o ta c n ph i nắm vững ki n

th c v phư n tr nh c như Đ nh lý i t so s nh n hi m phư n tr nh c 2 v i 1 s  b t kỳ c c i u ki n

có nghi m c a phư n tr nh … ồn th i n li n quan n m t s t nh ch t c a h nh h c ph n

 L u ý 2: Hàm s c a 3 2

y = ax + bx + cx + d và hàm hữu t

2

ax bx c y

hi Hàm ch có c c ti u khi a > 0 n hĩa là c c c ti u mà kh n c c c i Hàm s ch có c c i khi a < 0 n hĩa là c c c i mà kh n c c c ti u

T Đ x = – d/c

TCN: y = – a/c

T Đ x = – d/e

íï ¹ ïï

a

íï ¹ ïï

Û ì D £ ïïïî

0 2

ad

íï ¹ ïï

Û ì D £ ïïïî

Bài 1 T m i tr tham s m hàm s c c c tr

a/

11

y = mx - mx + mx- T m m hàm s c c c tr th a x1- x2 ³ 8

Bài 16 T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n

Bài 17 T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n

[ , ][ , ]

max min

ïï ïïî

b. nh ch t 2: u hàm s y = f x( )n h ch i n tr né ùê úa b, th

( ) ( ) ( ) ( )

[ , ][ , ]

max min

ïï ïïî

DẠNG 1

T M GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ

DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

1 P n p p

P n p p 1: n n i n thi n t m ma – min hư n ph p nà thư n n cho ài to n t m

GT và GTNN trên m t o n ( )a b, oặ nử đo n éa b, ) (, a b, ù

 Bước 1: Tính f '( )x

 Bước 2: X t u f '( )x và l p n i n thi n

 Bước 3: a vào n i n thi n k t lu n

P n p p 2: Thư n n khi t m ma – min c a hàm s li n t c tr n m t đo n é ùê úa b,

[ , ][ , ]

ïïïïî

Tha vào( )* ta ược hàm hữu t i s n ( )

2 2

1

,

íïïï Þ ìï ïïî

c n t m

 Lưu ý 5: Ta c th t m GT và GT c a hàm s ằn c ch n mi n i tr (đ ó n m)

Đặt v n đề: Tìm max – min c a hàm s y = f x( ) tr n m t mi n cho trư c

 Bước 1 G i y o là m t i tr t c a ( )tr n th h phư n tr nh ẩn x sau c n hi m

 Bước 2: T th o i u ki n c a h tr n mà ta c c c i u ki n tư n n Th n thư n i u

ki n sau khi i n i c n m £ y o £ M 3( ) Vì y o là m t i tr t kỳ c a ( )n n t ( )3 ta suy ra ược D

2

4

x y

x

=

2 2

x y

khi

khi 0;2

ïïïïî

c/

khi

khi 1;1

ïïïî

khi khi

-ïï ïïî

f/

( ) ( )

= khi

= khi

0;2 0;2

ïïïî

ïïïì

y = x - x + trên éê0; 3ùú

11

x y x

+

=

+trênéê- 1;2ùú

khi khi

-ïï ïïî

-ïïïïîe/

khi khi

-ïïïïî

-ïïïïîc/

-ïïïïïîe/

ïïï

ïïïî

a/ y = 2 sin2x + 2 sin x - 1 b/ y = cos 22 x - sin cos x x + 4

c/ y = cos4x + sin2x - 2 d/ y = sinx + 3 sin 2x

: lim ( )

= - ¥ ê

ê ê

o x

o o

c Đư n th n y = ax +b (a ¹ 0) ược i là đ n t m n ên c a ồ th hàm s y = f x( ) n u

t nh t m t tron c c i u ki n sau ược th a m n

( ) lim ; lim ( )

a/ 2 5

1

x y

y x

1

x y x

y x

-=+

Bài 3 T m c c ti m c n c a c c hàm s sau

a/ y = x2+ 3 b/ 1

1

x y x

+

=

3 1

x y x

+

= +

2

x y

-= +

Bài 10 T m m hàm s

2

1 1

33

DẠNG 2 ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1 T m i m u n c a ồ th c c hàm s sau

+ X c nh m t s i m c i t c a ồ th như iao i m c a ồ th v i tr c t a tron trư n hợp ồ

th kh n cắt c c tr c t a ho c t m t a iao i m ph c t p th c th qua oài ra ta t m th m m t s

-= + c/

1

x y x

+

=

- d/

2 1

x y

x

= -

Bài 4 h o s t và vẽ ồ th c a c c hàm s hữu t sau

a/

2

11

BÀI TOÁN 1 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

D ng 1: i t phương tr nh ti p tu n của đư ng cong ( )C : y = f x ( ) t i điểm M x y( o, o):

hương pháp:

 ớ 1 hư n tr nh ti p tu n c n Pttt : y = ktt ( x - xo) + yo ( ) * v ik tt = f '( )x o

 ớ 2: T nh y'= f '( )x Þ k tt = f '( )x o

 ớ 3: Thay x y ko, o, tt vào ( )* Þ hư n tr nh ti p tu n c n t m

D ng 2: i t phương tr nh ti p tu n của đư ng cong ( )C : y = f x ( ) i t ti p tu n đi qua điểm

ïïî

 ớ 3

+ Gi i phư n tr nh ( )2 tìm x0 sau tha vào phư n tr nh ( )1 t m ược k tt

+ Thay k ttvào ( )* ta ược Pttt c n t m

tt C

 ớ 3: Do Pttt i qua M n n ta tha t a M vào ( )1 Þ m

D ng 3: i t phương tr nh ti p tu n của đư ng cong ( )C : y = f x ( ) i t ti p tu n có hệ số góc k tt cho trước:

+ Gi i phư n tr nh ( )1 tìm x0 sau tha vào ồ th ( )C t m ược y0

+ Thay x0, y0 vào ( )* ta ược Pttt c n t m

C y = x - x + t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành tr c tun

Bài 3 i t phư n tr nh ti p tu nDc a ( )C i t rằn D ó số ó k ược ch ra

37

3 2

3

ox

3 2

3

ox

3

ox

Cho ( ) C1 : y = f x ( ), ( ) C2 : y = g x ( )

 hư n tr nh hoành iao i m c a ( ) C1 và ( ) C2 là f x( )= g x( ) ( )*

 Đ ( ) C1 cắt ( ) C2 t i n i m ph n i t Û phư n tr nh hoành iao i m phư n tr nh( ) * ] c n

n hi m ph n i t

Lưu ý 1: u m t tron hai ồ th tr n c n hữu t và c TXĐ D = ¡ \ { }a hi ( ) C1 cắt ( ) C2 t i

n i m ph n i t Û phư n tr nh hoành iao i m phư n tr nh( ) * ] c n n hi m ph n i t ¹ a

a d

Lưu ý 3: X m l i ph n Ôn t p phư n tr nh i s

Lưu ý 4: T m tham s ồ th hàm s c a n y = f x( )= ax3 + bx2 + cx + d ( )C cắt tr c hoành Ox

Û ìï

=ïïî

l c nà ồ th ( )C ti p c v i tr c hoành Ox )

 Đ ( )C cắt Ox t i i m u nh tÛ *( )ch c n hi m

( ) ( )

ĐS: m > - 3

Bài 3 ho hàm s y = x3- 3x2+ 4 ( )C

a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( ) C

h n minh rằn m i ư n th n i qua i m I ( 1, 2 ) v i h s c k k > - ( 3 ) u cắt ồ th hàm s ( ) C t i a i m ph n i t I ồn th i I là trun i m c a o n th n

x + x + x >

ĐS: m > 1

Bài 6 ho hàm s y = x3 + 2 mx2 + 3 ( m - 1 ) x + 2 c ồ th là ( )C m i m M ( 3,1 ) ư n th n d c phư n tr nh x + y - 2= 0 T m c c i tr c a m ư n th n d cắt ( )C m t i i m A( )0, 2 , ,B C sao cho tam i c M c i n t ch ằn 2 6

a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( ) C

T m msao cho tr n ồ th ( ) C c hai i m A x y ( A, A) , B x ( B, yB)kh c nhau và th a i u ki n

22

-= + c ồ th ( ) C G i D là ư n th n i qua i m I ( 2, 0 ) và c h s c m

T m tham s m Dcắt ( ) C t i i m ph n i t sao cho I là trun i m c a o n th n

+

= + ( )C

4 3

+

= +

+ Th ( ) ( ) ( )2 , 5 , 6 vào( )3 Þ v Þ a Þ u Þ b T vi t ược phư n tr nhD

b/ u ( )C1 và ( )C2 ti p c nhau t i i m c hoành x oth m t ti p chun c a ( )C1 và ( )C2 cũn là ti p

Bài 1 ho hàm s 1

2

mx y

-= +

a h n minh rằng " m Î ¡ hàm s lu n lu n ồn i n tr n m i kho n c nh c a n

-= + -

i/ i t TTT c a ( )C và vu n c v i ư n th n D:x + 9y - 4= 0j/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua B(3; 1- )

Bài 4 ho hàm s y = x3+ ax2+ bx + 1

a/ T m a và ồ th hàm s qua i m A( )1, 2 và B -( 2, 1- )

c/ h o s t và vẽ ồ th khi 1

2

a = - và b = 1d/ i t TTT c a ( )C t i i m c tun ằn

-b/ i t TTT c a ( )C t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành

c/ Đ nhm ( )C cắt ara ol 2

( ) : P y = - 2 x t i i m ph n i t d/ i t TTT c a( )C t i i m c hoành là n hi m c a phư n tr nh y''( )x = 8