chuyen de khao sat ham so va cac bai toan lien quan chuyen de khao sat ham so va cac bai toan lien quan

ïïî thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.. Tìm m để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trịA, B,C đồng thời các điểm A,B,C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.. aViết phương trình đường t

1

KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN

*******

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1)ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Định lí : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên khoảng K

 ( )f x đồng biến trên K Û f x'( )³ 0," Îx K

 ( )f x nghịch biến trên K Û f '( )x £ 0," Îx K

(chỉ xét trường hợp f x ='( ) 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng K )

2) NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM THỨC BẬC HAI

a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( ) = ax2+bx +c:

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi x Î ¡

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi \

2

b x

a

= - thì ( ) g x = 0

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài

khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a, (trong trái - ngoài cùng)

b) Tam thức g x( )= ax2 + bx + c a( ¹ 0)không đổi dấu trên ¡

2

y = x + x - x

-Tập xác định: D = ¡

ê =êë

Do x = - 1 là nghiệm bội 2 nên y' không đổi dấu khi x đi qua - 1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

3

sin6

Þ g x¢( )= - sinx + x > 0 với x > 0 g x đồng biến ( )  ( )g x > g(0)= 0với x > 0

hay f ¢( )x > 0 với x > 0  ( )f x đồng biến  f x( )> f(0)= 0với x > 0

3

Từ a) và b) Þ

3

sin6

a) Hàm số luôn đồng biến trên R

b) Hàm số luôn đồng biến trên khoảng (2; + ¥ )

TH1: Nếu D £ 0Û - 1£ m £ 0 thì hàm số đồng biến trên ¡ nên hàm số đồng biến trên (2; + ¥ )

TH2: Nếu D > 0Û m < - 1;m > (*) thì ( )0 f x có hai nghiệm x x1, 2, giả sử x1 < x2

ê

< - Û £ê

êê

< £ê

Dấu của 'y là dấu của biểu thức - m2- 7m + 8

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û y >' 0, x" Î D (không có dấu bằng)

Dấu của 'y là dấu của biểu thức - m2- 7m + 8

Hàm số đồng biến trên khoảng (3; + ¥ ) Û y >' 0, " Îx (3;+ ¥ )

g) y x

x

12

Bài 6 Cho hàm số 3 ( ) 2 ( )

a) Định m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; + ¥ )

b) Định m để hàm số đồng biến trên khoảng (- ¥ -; 1)

-=+ - Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Định lí 1: (Bổ đề Fermat)Cho hàm số y = f x( ) có đạo hàm trên khoảng ( , )a b và điểm x0 Î ( , )a b

Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0thì f x'( 0)= 0

Chú ý: Điều ngược lại không đúng Ví dụ hàm số

3 2

13

x

y = - x + x + có f '(1)= 0nhưng hàm số không đạt cực trị tại x = 1

ïïî thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Chú ý: Điều ngược lại không đúng Ví dụ hàm số y = x4+ 1 đạt cực tiểu tại x = 0nhưng f ''(0)= 0

f x = ax + bx = có ba nghiệm phân biệt

3 CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ

 Dạng 1: Hàm số 3 2

y = ax +bx +cx +d Chia y cho y' ta được: y = Q x y( ) '+ A x + B

Khi đó, y = A x + B là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

íï ¹ï

êë (1) Hàm số có ba điểm cực trị Û y =' 0 có ba nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

3

m m m m

íï ¹ïï

m m

é < ê

-ê < <

8

Vậy giá trị m cần tìm là 3

m m

é < ê

é =ê

ê =

Điều kiện đủ:

Với m = 1, ta có: y'= x2+ 4x + 4, y' = 0Û x = - 2 Bảng biến thiên

x - ¥ - 2 + ¥ '

x

é = ê

Bảng biến thiên

x - ¥ - 14 - 2 + ¥ '

-Theo giả thiết: 1 2 ( 1 2)2 ( 1 2)2 1 2

14

9

Kết hợp (*), ta suy ra 1; 3 29

8

m < - m > +

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x4- 2mx2+ m - 1 Tìm m để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trịA, B,C đồng

thời các điểm A,B,C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x4- 2mx2 + 2m + m4 (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1)

có ba điểm cực trị A B C, , đồng thời các điểm A B C, , tạo thành một tam giác vuông

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y'= 4x3- 4mx = 4 (x x2- m) 'y = 0 Û x2 0

é =êê

=

êë

Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A B C, , Û y =' 0 có ba nghiệm phân biệt Û m > 0 (*)

Khi đó y =' 0 có ba nghiệm phân biệt là x = 0, x = ± m

êë

So với (*) suy ra giá trị m cần tìm là m = 1

Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3- 3x2- mx + 2

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

b)Tìm m để 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị cách đều đường thẳng d y: = x- 1

Lời giải

a)TXĐ: D = ¡ Tính y’= 3x2- 6x - m

Hàm số có cực đại và cực tiểuÛ y'= 0có hai nghiệm phân biệt Û D > 0Û m > - 3

Chia đa thứcy cho y , ta được ’ ( 1) ' 2( 1) 2

íïï + =ïïï

Û ìïï - Û = - <

-¹ïïïî

ï = ïïî

32

Bài 8 Cho hàm số y = x3- (m+ 1)x2+ (3m- 4)x + 5 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

HD: m = 3

Bài 9 Cho hàm số y = x3- 3mx2 + 9x + 3m- 5 Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết

phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy

Bài 14 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + 3x2+ mx + m - 2 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai

phía đối với trục hoành

HD: m < 3

Bài 15 Tìm m để đồ thị hàm số y = - x3+ (2m + 1)x2- (m2- 3m + 2)x- 4 có các điểm cực đại và cực

tiểu nằm về hai phía đối với trục tung

HD: 1< m < 2

Bài 16 Tìm m để đồ thị hàm số y 1x3 m x2 (2m 1)x 3

3

= - + - - có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về

cùng một phía đối với trục tung

Bài 24 Cho hàm số y = -x3+ 3x2+ 3(m2- 1)x- 3m2- 1 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các

điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

y = x + m - x + - m Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B

sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng

HD:

Bài 26 Tìm m để đồ thị hàm số y 1x3 (m 1)x2 4(m 1)3

= - + + + có các điểm cực đại và cực tiểu nằm

về hai phía của đường tròn C( ) :x2 + y2- 4x + 3= 0

HD: m 1

2

<

Bài 27 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3- 3x2- mx + 2 có hai điểm cực đại và cực tiểu là A B, và đường

thẳng đi qua hai điểm A B, tạo với đường thẳng d x: + 4y - 5= 0 một góc 45 0

a) Lập thành 1 tam giác đều

b) Lập thành 1 tam giác vuông

c) Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 32

= + + - có ba điểm cực trị A B C, , sao cho:

a) DA BC là tam giác vuông

=

-13

Bài 31 Cho hàm số y = x4- 2mx2+ m2- 2 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của

đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông

Bài 34 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4- 2mx2+ 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường

tròn ngoại tiếp đi qua điểm D 3 9;

Bài 35 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4- 2mx2+ m - 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán

kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

HD: m 1;m 1 5

2

Bài 36 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4- 2mx2+ m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính

đường tròn nội tiếp bằng 1

HD: m = 2

Bài 37 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4- 2mx2+ m - 2 có ba điểm cực trị A B C, , và bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác A BC đạt giá trị nhỏ nhất

III KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) CÁC BƯỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

 Tính y

 Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định

 Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

 Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

 Tìm điểm đặc biệt của đồ thị (giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ Ox Oy, , các điểm đặc biệt

14

khác )

 Vẽ đồ thị: vẽ tiệm cận, các điểm cực trị, các điểm đặc biệt và cuối cùng vẽ đồ thị

 Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

Chú ý: Đối với hàm bậc ba tìm thêm điểm uốn Cách tìm như sau:

Tính y '' , giải pt y ''= 0 tìm x0 Þ y0 = f x( 0)Þ điểm uốn I x y( 0; 0)

=+

16

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (- ¥ -; 2 ; 0;) ( + ¥ ), nghịch biến trên (- 2; 0)

Hàm số đạt cực đại tại x = - 2;y CD = 0, đạt cực tiểu tại x = 0;y CT = - 4

Đồ thị hàm số đồng biến trên (- 1; 0 ; 1;) ( + ¥ , nghịch biến trên ) (- ¥ -; 1 ; 0;1) ( )

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y CD = - 3, đạt cực tiểu tại x = ±1; y CT = - 4

Điểm đặc biệt:

Đồ thị

17

Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

d) y x

x

2 1

=

Tập xác định D = ¡ \ { 1}-

3

+

Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định

Giới hạn:

x

y

1

lim

®

-= - ¥ ;

x

y

1

lim

+

®

-= + ¥ Þ x = - là tiệm cận đứng 1

Bảng biến thiên:

x -∞ -1 +∞

y ' - -

y -1 +∞

-∞ -1

Hàm số không có cực trị

Điểm đặc biệt

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cậnI ( 1; 1)- - làm tâm đối xứng

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y = x3- 3x2- 9x + 1 b) y = x3+ 3x2+ 3x + 5 c) y = - x3+ 3x2- 2

=

34

x y

x

-=-

d) 1 2

x y

-=+

III SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Cho hai đồ thị hàm số: y = f x và y( ) = g x( ).(có thể chứa tham số)

 Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình ( )

( )

y f x

y g x

íï =ï

ìï =ïî

 Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f x m( ; )= g x m( ; ) (1)

Do đó, số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số

Đặc biệt: Để tìm số nghiệm của phương trình bậc ba ngoài cách thông thường là nhẩm nghiệm rồi chia

đa thức (sơ đồ hoocne), ta còn hai cách sau:

 Cách 1: Biến đổi PT bậc ba f x m =( , ) 0 về dạng g x( )= h m( ) Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g x( ) và đường thẳng y = h m( )

 Cách 2: PT bậc ba f x m =( , ) 0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y = f x m( , ) phải có cực đại, cực tiểu và f CD CT.f < 0

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 2 1

x y x

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û ( ) ( )

Ví dụ 3 Cho hàm số y = mx3- x2- 2x + 8m có đồ thị là (C m) Tìm m đồ thị (C m)cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt

êë (2) (C m)cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Û (1) có ba nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 2Û 2

m m m

íïï ¹ïïïïï- < <

ìïïï

ïï ¹ ïïî

íï ¹ïïï

ìï- < <

ïïïî

Ví dụ 4 Cho hàm số y = x4- (3m + 4)x2+ m2 có đồ thị là (C m) Tìm m đồ thị (C m)cắt trục hoành tại

bốn điểm phân biệt

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2

x - m + x + m = (1) Đặt 2

t = x (t ³ 0)

Phương trình (1) trở thành: t2- (3m + 4)t + m2 = 0 (2)

(C m)cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û

2 2

20

Û

44

50

43

m m

íïï < - Ú > ïï

-ïï ¹ìïï

ïï > ïïî

Û

450

m m

íïï > ïïì

-ïï ¹ïïî

Ví dụ 5: Cho hàm số 1

2

mx y x

-=+ có đồ thị là (C m) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x - 1 cắt đồ thị

(C m) tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho A B = 10

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 2Û ( 3)2 8 0

m m

Theo định lý Viet ta có: 1 2

1 2

3212

ï = ïïïî

Đường thẳng d đi qua ( 1; 0)A - và có hệ số góc k nên có dạng: y = k x( + 1)  kx - y + k = 0

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:

t = x (t ³ 0), phương trình (1) trở thành: 2 2

t - m + t + m = (2) (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û

2 2

Û

44

50

43

m m

íïï < - Ú > ïï

-ïï ¹ìïï

ïï > ïïî

Û

450

m m

íïï > ïïì

-ïï ¹ïïî

(4) (5)

Từ (3) và (4) ta suy ra được 1

2

109(3 4)10

m t

m t

ï =ïïï

ï =ïïïî

m m

é =êê

ê = êë

Đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất Û m > - 3

Nhận xét: Trong bài toán trên, khi lập phương trình hoành độ giao điểm ta được phương trình bậc ba Do

không nhẫm nghiệm được nên ta phải chuuyển vế cô lập m và xét hàm số

-=+ và ( ) :d y = - 3x - 1 d) (C): y = x và ( ) :d y = x - 2

Bài 2 Tìm m để đường thẳng d y: = - x + m cắt đồ thị (C) của hàm số y x

=+ (C) cắt đường thẳng d y: = mx + 2m - 1 tại 2 điểm phân

biệt có hoành độ trái dấu

-23

Bài 8 Tìm m để đồ thị hàm số y = - x3 + (3m + 1)x2- 2(3m + 1)x + 8 cắt trục hoành tại ba điểm phân

biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân

Bài 17 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3- 3(m + 1)x2 + 3mx- m + 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

trong đó ít nhất một điểm có hoành độ âm

-=

- Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt

mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau

Bài 19 Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;1) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị hàm số y x

tại hai điểm M N, sao cho MN = 3 10

- tại hai điểm phân biệt

A B, sao cho trung điểm của đoạn thẳng A B nằm trên đường thẳng d : 2x + y- 4= 0

-=+ .Tìm những

điểm M thuộc đường phân giác thứ nhất sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất

+

=+ có đồ thị (C) Đường thẳng y = x cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B Tìm

m để đường thẳng y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

HD: m = 10

Bài 24 Tìm m để đường thẳng d y: = - x + m- 1 cắt đồ thị (C) của hàm số y x

=

- tại hai điểm phân

biệt A B, sao cho tam giác OA B nội tiếp đường tròn có bán kính R = 2 2

HD:m = - 1;m = 7

Bài 25 Tìm m để đường thẳng d y: = 1 cắt đồ thị của hàm số y = x3+ 3x2+ mx + 1 (1) tại ba điểm phân

biệt A(0;1), ,B C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B C, vuông góc nhau

Bài 27 Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y = x + 4 cắt đồ thị hàm

sốy = x3 + 2mx2+ (m + 3)x + 4 (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 với điểm K(1; 3)

Bài 30 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4- 2(m + 1)x2+ 2m + 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

A B C D, , , lần lượt có hoành độ x x x x1, 2, 3, 4(x1 < x2 < x3 < x4) sao cho tam giác A K C có diện tích bằng 4, biết rằng K (3; 2)-

điểm phân biệt A B, Tìm m để đoạn A B ngắn nhất

HD: m = 0

Bài 32 Tìm m để đường thẳng y = - 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y = x4- 2(m + 1)x2+ 3 tại đúng hai

điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8

HD: m = - 3

Bài 33 Chứng minh rằng đường thẳng d : 2 –x y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C): 1

1

x y x

Bài 35 Tìm m để đường thẳng d y: = m x( - 2)- 2 cắt đồ thị của hàm số y = x3- 3x2+ 2 (1) tại ba

điểm phân biệt A(2; 2), ,- B C sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B C,đạt giá trị nhỏ nhất

HD: m = - 1

IV TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f x( ) tại điểm M x y( 0; 0) có dạng:

y = f x x x + y với f x’( )0 là hệ số góc của tiếp tuyến

2 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ

Hai đồ thị (C): y = f x( )và (D): y = g x( )tiếp xúc với nhau Û hệ phương trình ( ) ( )

nghiệm và số nghiệm của hệ phương trình là số hoành độ của điểm tiếp xúc

3 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của (c) tại M x y( 0; 0)

26

 Thế vào phương trình tiếp tuyến y –y0 = f x’( )(0 x –x0)

Chú ý: Tiếp tuyến song song với : d y = ax+ b thì f x'( 0)= a

Tiếp tuyến vuông góc với d y: = ax +b thì f x'( ).0 a = – 1 hay f x'( 0) 1

a

=

- Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x y1; 1)

Ta chọn cách sau:

 Gọi M x( 0; y0) là tiếp điểm và tính y0 = f x( )0 và f x’( )0 theo x0

 Tiếp tuyến đi qua A( x y1; 1) nên y1 –y0 = f x’( )(0 x1 –x0)

 Giải phương trình tìm x0 thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến

é =ê

1

y x

-=-

Phương trình tiếp tuyến tại A là y = y'(0)(x - 0)- 3Û y = - x- 3

Phương trình tiếp tuyến tại B là y = y'(2)(x - 2)- 1 Û y = - x + 1

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y = - x - 3 và y = - x + 1

Ví dụ 2: Cho hàm số 2 1

2

x y x

2

y x

-=-

x

= -

-Û 0 0

13

x x

é =ê

ê =

Với x =0 1 Þ y = -0 3 : M1(1; 3)- Þ pttt: y = - 5x + 2Với x =0 3 Þ y =0 7 : M2(3; 7) Þ pttt: y = - 5x + 22