Khảo sát hàm số: Một số bài toán Max Min

Tài liệu thông tin đến các bạn và các em học sinh các bài toán về phương pháp hàm số cho bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và bất đẳng thức hai biến số.

Trang 1

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

Hoặc Trung tâm Km 10 Hương Trà

Hoµi niÖm Tù luËn:

KH¶O S¸T HµM Sè

MéT Sè BµI TO¸N MAX MIN

HuÕ, th¸ng 8/2020

Trang 2

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO BÀI TOÁN GTLN-GTNN VÀ

BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ

Kỹ thuật 1: Thế biến đưa về khảo sát hàm một biến

Bước 1: Rút 1 biến biểu diễn theo biến kia Xác định miền giá trị của biến được rút

Bước 2: Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết Khảo sát và đưa ra kết luận

Bài tập 1: Cho x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện y0, x2  x y 120 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy x 2y17

Bài giải:

Từ giả thiết ta có: 2  

12 0 4;3

yx  x    x Khi đó:  2   2  3 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 12 đạt được tại   x y;  1; 10 

Bài tập 2: (HSG Quốc gia 1998) Cho x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện 2x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2  2 2  2

Trang 3

2

33

93

1

2 3 14

5

;

Trang 4

Xét hàm số   9 9

5 1

5, ;

5 5

13

2,

x  y

Trang 5

Kỹ thuật 2: Xử lý biểu thức đối xứng hai biến

Bước 1: Từ điều kiện đặt t  x y (hoặc txy) rút xy theo t (hoặc xy theo t ) Tìm miền giá trị của t , giả sử tD

Bước 2: Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết được hàm số theo t , với tD

Bài tập 1: Cho x y, là các số thực không âm thỏa mãn thay đổi thỏa mãn điều kiện

.2

Trang 6

Bài tập 4: Cho , x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 12 2 12

Trang 7

Ta có:

1 1 1 1 1 1

1 33

x y  xy Như vậy nếu ta đặt t xy thì x y chưa thể rút theo t ngay

được vì x y có nhận giá trị âm và giá trị dương

Trang 8

GTLN của P là 13

2 , đạt được khi 1   1 3 1 3

1

2 22

; ;

x y

x y xy

Vậy GTLN của P bằng 20 đạt được tại x  3, y  6 hoặc x 3, y 0.

GTNN của P bằng  12 đạt được tại x 1, y  10.

Bài tập 9: Cho x y, là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

3

3 1

x xy y x P

2 2

1 1

x x

1

xy P

Trang 9

2

0 2

2 2

Vậy GTLN của P bằng 2 đạt được tại x y 1

Bài tập 12: Cho x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện 2  

1 y x xy . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

6 6

3 3

1

x y P

2

01

Trang 10

Bài tập 13: Cho x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện  2 2

2 x y xy 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 4

2 1

x y P

2 2 2 2

4 4

12

2

0 7

Trang 11

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải:

Đặt axy  x y 4a Suy ra x y, là nghiệm của phương trình:   2

Bài giải:

Đặt txy Từ giả thiết suy ra:  2

3  xy xy  xy xy  3 và 2 2

3 x y  3xy 3xyxy 1 Vậy t  3;1

Trang 12

Vậy GTLN của P bằng  16 đạt được khi x 0; y 8 hoặc x8, y0;

GTNN của P bằng  23 đạt được khi x y 3.

Trang 13

Bài tập 20: Cho x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện x y 2 x  2 y  1 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức     2 1 

Suy ra f t đồng biến trên 0 3/   ;  Do đó: f t/  f/ 0 0,  t  0 3;

Suy ra f t đồng biến trên 0 3   ;  Ta có: f 0  18, f 3  25

Vậy GTLN của P bằng 25 đạt được khi x 2, y 1, GTNN của P bằng 18 đạt được khi x 1, y  1.

Bài tập 22: Cho x y, là các số dương thỏa mãn điều kiện x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 14

Áp dụng BĐT: a b a b

b a   Lúc đó: 1    

1 , 0;11

x y

Bài tập 23: Cho x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2

2.

x y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức  3 3

Bài giải:

Trang 15

0; 2 ta có: A f x  2 Vậy GTLN của A bằng 2 đạt được khi x y 1.

Bài tập 26: Cho , x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 12 12

2 2

2 1

.4

S

x y

 

Bài giải:

Trang 16

2

x y

Kỹ thuật 3: Đổi biến đẳng cấp

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x xy y , với

2 2

0

x y 

Trang 17

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải:

Bài tập 2: Cho x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2

4x  2xyy  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px22xyy2

Trang 18

Xét hàm số   2

2

31

2 4 1 2 3

0

2 31

Kỹ thuật 4: Đánh giá kết hợp đổi biến

Trong nhiều bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức F mà các biến bị rằng buộc nhau bởi điều kiện dưới dạng BĐT, hoặc bản thân biểu thức F không có tính đối xứng, đẳng cấp; hoặc biểu thức F và điều kiện của bài toán chứa nhiều đại lượng phức tạp thì chúng ta cần xử lú biểu thức F thông qua một số đánh giá

Bài tập 1: Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y 6xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 1 3 2 1   

Trang 19

P , dấu "=" xãy ra khi 1

x y 

Bài tập 2: Cho , x y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2

x y y x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  3   

2

y x

y x    Cộng hai BĐT trên ta suy ra: 2 2

2 x 2 y y 2 x  2

Do đó, dấu "=" xãy ra

2

2 2 2

0 02

22

Trang 20

Suy ra hàm số f t đồng biến trên 0 2   ;  Do đó:    

Vậy GTLN của P bằng 9 , dấu "=" xảy ra khi x y 1

Nhận xét: Với cách giải trên, chúng ta không tìm được GTNN của biểu thức P Để tìm cả GTLN và

GTNN của P, ta tiến hành như sau:

Tương tự như trên ta có: 2 0 2 0

2 2

16

.2

Trang 21

20

Trang 22

P  Dấu "=" xãy ra

1

19

30

 , đạt được khi 1

3

a b 

Bài tập 6: Cho , a b là các số thực dương phân biệt, thoả mãn điều kiện: ab4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 23

Ta có:  

2 2

Bài tập 2: Cho , x y thoả mãn điều kiện: x2y2 11 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P x xy  2

Bài tập 3: Cho x y, thoả mãn điều kiện: x2y2  x y Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

3 3 2 2

M x y x y xy

Bài tập 4: Cho x y, thoả mãn điều kiện: x1, y1, x y xy  8 Tìm GTLN, GTNN của biểu

Bài tập 5: Cho x y, thoả mãn điều kiện: x1, y1, 3x y 4xy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 3 3

2 2

1 13

4 4 3 3 2 2

9 a b 16 a b 25 a b P

2

a b a b a b a b

a b b P

Trang 24

Bài tập 11: Cho x y, là các số thực lớn hơn 1 Tìm GTNN của biểu thức

f b b b  ,b   0 1; , dễ thấy được kết quả cần chứng minh

Bài tập 2: Cho x y, thoả mãn điều kiện: x2y2 11 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P x xy  2

Ta có yêu cầu bài toán: min P 16 khi x 2;y  7 và max P16 khi x2;y  7

Bài tập 3: Cho x y, thoả mãn điều kiện: x2y2  x y Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Trang 25

Bài tập 4: Cho x y, thoả mãn điều kiện: x1, y1, x y xy  8 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

x y  x y  xy x y     x y Suy ra 9

42

Trang 26

min M  khi a1; b3 hoặc a3; b1

Bài tập 8: Cho , a b là các số thực dương thoả mãn điều kiện:

2

a b a b a b a b

a b b P

Trang 27

3

x y

Trang 28

 , ta có kết quả: GTNN của P bằng 8 đạt được khi x y 2.

Bài tập 12: Cho , a b là các số dương thoả mãn điều kiện: a22b12 Tìm GTNN của biểu thức

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	1,37 MB