Tài liệu hỗ trợ môn Hình vi phân

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc p và pháp tuyến của mặt S có tham số hóa.. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc.[r]

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN – TIN HỌC

Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN

Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh

sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An

Học phần

Tp Hồ chí minh – 8/2008

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Mặt tham số

Cho U là tập mở trong ¡ , hàm véctơ 2

( ) ( )

3 :

r U

u v r u v

®¡

a là mặt tham số nếu r là ánh xạ khả vi

trên U Khi đó r U( ) là giá của mặt tham số

Hai mặt tham số r U: ®¡3, :r U~ ~ ®¡ là tương đương nếu tồn tại vi phôi 3 ~

j ® sao cho

~

0

r =r j, ký hiệu r : Nếu hai mặt tham số tương đương với nhau thì giá của chúng trùng nhau r~

2 Mặt đơn

Cho mặt ( )S có tham số hóa r , nếu r đơn ánh thì ( )S là mặt đơn

3 Mặt chính qui

Cho mặt ( )S có tham số hóa

( ) ( )

3 :

r U

u v r u v

®¡

a Khi đó M =r u v( 0, 0) là điểm chính qui của

mặt ( )S nếu hai véctơ r'u(u v0, 0), 'r v(u v độc lập tuyến tính Nếu mặt 0, 0) ( )S chính qui tại mọi

điểm M =r u v( ), , với ( )u v, ÎU thì ( )S là mặt chính qui Điểm không chính qui là điểm kỳ dị

Tính chính qui của mặt ( )S không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh)

Nếu tại điểm M =r u v( 0, 0) là điểm chính qui của mặt ( )S thì phương trình mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện tại điểm M x y z( 0, 0, 0)nhận r'u(u v0, 0), 'r v(u v làm cặp véctơ chỉ phương có 0, 0)

( ) ( ) ( )

x u v y u v z u v

x u v y u v z u v

-= Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm M =r u v( 0, 0) là pháp tuyến có

phương trình x x0 y y0 z z0

với a b c được tính bởi , , ( ) ( )

( 00 00) ( 00 00)

y u v z u v a

y u v z u v

( ) ( )

( 00 00) ( 00 00)

z u v x u v

b

z u v x u v

( 00 00) ( 00 00)

x u v y u v c

x u v y u v

( 0 0) ( 0 0)

'u , , 'v ,

r u v r u v tại điểm M =r u v( 0, 0) là không gian tiếp xúc với mặt ( )S tại điểm M ,

ký hiệu T M( )S Khi đó ( ) ( )

( ) M

M S

Î

= U là tập tất cả các không gian tiếp xúc

4 Đường trên mặt

Phaàn 1

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

( ) ( )

3 :

r U

u v r u v

®¡

a và ( )x là đường trong U có tham số

( )

( )

u u t

v v t

ì =

ï

í

=

ïî , t Î qua r cho ta đường cong I ( ) ( )x Ì S có

( ) ( ( ) ( ) )

3 :

,

I

t t r u t v t

j

j

®

=

¡ a

Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau

Trường hợp 1 v= tương ứng với đường v0 ( ) ( )

0

r

u u t

ì =

í

=

ïî có j( )t =(u t v( ), 0) Ta nói đây là họ tham số thứ nhất trên mặt ( )S Các tiếp tuyến của đường tham số thứ nhất có phương là

( )

'u ,

r u v

Trường hợp 2 u = tương ứng với đường u0

( ) ( )

u u

v =v t x

í =

ïî có j( )t =(u v t0, ( ) ) Ta nói đây là họ tham số thứ hai trên mặt ( )S Các tiếp tuyến của đường tham số thứ hai có phương là

( )

'v ,

r u v

5 Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

( ) ( )

3 :

r U

u v r u v

®¡

a , theo trên hai mặt tham số hóa gọi là tương đương nếu tồn tại vi phôi j:U ®U~ sao cho r =r~0j Như ta đã biết

~

~

u v

J

d u d v

du dv

d u d v

dv du

14243

, nếu J > thì 0 ( )S là mặt định hướng được

Cho mặt ( )S định hướng ta luôn có

' '

u v

u v

r r r r

r r

r r

Ù Ù Tại mọi điểm M =r u v( ), ta luôn có một véctơ đơn vị ( ) ' '

,

' '

u v

u v

n u v

Ù

=

Ù là véctơ pháp tuyến đơn vị của ( )S

6 Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

( ) ( )

3 :

r U

u v r u v

®¡

a Xét dạng toàn phương

( )

( )

:

,

M

I T S

a I a a a

®

=

¡

a Khi đó công thức dạng toàn phương cơ bản thứ nhất có dạng

( ) ( )2 ( )2

2

I a =E a + Fa a +G a với E F G được xác định bởi , , ( ( ) )2

'u ,

E= r u v ,

( ) ( )

'u , 'v ,

F =r u v r u v , ( ( ) )2

'v ,

G= r u v Đối với dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ta thường quen nhìn ở dạng

( ) ( )2 ( )2

2

I a =E du + Fdudv+G dv

7 Công thức tính độ dài cung trên mặt

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

( ) ( )

3 :

r U

u v r u v

®¡

a và đường cong ( )x có tham số

( )t r u t v t( ( ) ( ), ),t [ ]a b,

j = Î Khi đó công thức tính độ dài cung trên mặt là

( )2 ( )2

b

a

l =ò E u + Fu v +G v dt, với , , E F G được xác định như trên

8 Công thức góc giữa hai đường cong trên mặt

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

( ) ( )

3 :

r U

u v r u v

®¡

a và hai đường cong

( )x1 có j1( )t =r u t v t( 1( ) ( ), 1 ), 'j 1( )t =r'u1u'1+r'v1v'1

( )x2 có j2( )t =r u t v t( 2( ) ( ), 2 ), 'j 2( )t =r'u2u'2+r'v2v'2

(u u v v đều lấy đạo hàm theo biến t ) 1, 2, ,1 2

Khi đó công thức tính góc giữa 2 đường cong ( )x1 và ( )x2 là

·

( ) ( ) ( ) ( )

os

Eu u F u v u v Gv v c

E u Fu v G v E u Fu v G v

Trong trường hợp đặc biệt

Nếu ( )x1 có j1( )t =r u t v( ( ), 0), ( )x2 có j2( )t =r u v t( 0, ( ) ) thì j'1( )t =r u'u 't,

( )

2

' t r v'v 't

j = Khi đó cos( )·1, 2 F

EG

x x =

9 Ánh xạ Weingarten

Xét ánh xạ h T: M ( )S ®T M ( )S thỏa mãn ( )

( )

h

h

-ï í

-ïî

và aÎT M S( ):a=a r u 'u+a r v 'v¾¾h® =a a u(-n'u)+a v(-n'v)= -a n u 'u-a n v 'v

ta gọi ánh xạ h được xác định như trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng của ( )S ) Khi đó

[ ]

det h là độ cong Gauss của ( )S và các giá trị riêng của ma trận [ ]h gọi là độ cong chính

Nhận xét h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h không phụ thuộc vào tham số Ma trận của ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, llà giá trị riêng của ma trận h nếu

0

A-lI = Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp

10 Dạng toàn phương cơ bản thứ hai

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

( ) ( )

3 :

r U

u v r u v

®¡ a

( ) ( ) ( ) ( )

:

II T S T S

a b I a b h a b a h b

®

a là dạng song tuyến tính đối xứng Khi đó

( ), ( ) ( )

II a a =a h a =h a a là dạng toàn phương cơ bản thứ hai có công thức dạng

( ) ( )2 ( )2

2

II a = L a + Ma a +N a , với L M N được tính bởi , , L= -n'u( ) ( )u v r, 'u u v, ,

( ) ( ) ( ) ( )

'u , 'v , 'v , 'u ,

M = -n u v r u v = -n u v r u v , N = -n'v( ) ( )u v r, 'v u v,

Nếu mặt ( )S có tham số hóa dạng r u v( ), =(x u v( ) ( ) ( ), ,y u v z u v, , , ) thì L M N, , được tính

2

1

uu uu uu

EG F x y z

=

1

uv uv uv

EG F x y z

=

2

1

vv vv vv

EG F

=

-11 Độ cong pháp dạng

Lấy aÎT M ( )S :a=a r u 'u+a r v 'v Độ cong pháp dạng của ( )S tại điểm M theo phương a

được ký hiệu K M ( )a và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

M

L a Ma a N a

II a

K a

I a E a Fa a G a

Lưu ý K M( )l =a K M( )a

12 Phương chính

Giả sử h là ánh xạ Weingarten của mặt ( )S , aÎT M( )S ,a¹0 Ta nói a là phương chính của

mặt ( )S nếu a là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính h hay h a( )=la với llà độ cong

chính

Thấy rằng aÎT M ( )S :a =a r u 'u( )u v, +a r v 'v( )u v, ta sẽ xác định a a dựa vào định thức u, v

0

v u v u

a a a a

-=

Khi đó

2

2

LN M K

EG F

-=

2 2

H

-=

- là độ cong trung bình

Lưu ý Việc tính độ cong chính của mặt ( )S ta có thể dựa vào phương trình

( 2) 2 ( ) ( 2)

1 ,2

2

K =l l H = l l+

13 Phân loại điểm trên mặt

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

( ) ( )

3 :

r U

u v r u v

®¡

a và độ cong Gauss tại điểm

( ) ( ),

A=r u v Î S có công thức

2

2

LN M K

EG F

-=

- , độ cong chính tương ứng là l l1, 2 Nếu K > thì A là điểm Eliptic Nếu 0 K < thì A là điểm Hyperbolic Nếu 0 K = thì A là 0 điểm Parabolic

Nếu l1 = thì A là điểm rốn Nếu l2 l1=l2 ¹ thì A là điểm cầu Nếu 0 l1=l2 = thì A là 0 điểm dẹt

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1 Viết phương trình tham số hóa của các mặt tròn xoay sau trong ¡3

a) Mặt Elipxoit tròn xoay

b) Mặt Hyperboloit 1 tầng tròn xoay

c) Mặt Hyperboloit 2 tầng tròn xoay

d) Mặt Paraboloit tròn xoay

Giải

a) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( )0x có dạng

x y z

a + b +b =

Đặt

2

2 2 2

cos

sin

x y u

a b z u b

ì

ïï

í

ïî

Khi đó ta được

.cos cos cos sin sin

x a u v

y b u v

z b u

= ì

ï = í

ï = î

Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục ( )0x là

( ) (, cos cos , cos cos , sin )

Phương trình Elipxoit tròn xoay khi quay quanh trục ( )0 y có dạng

a +b + a = Tương

tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục

( )0 y là r u v( ) (, = a.cos cos , cos cos , sinu v b u v a u)

b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng tròn xoay có dạng

x y z

a -b + a =

Phaàn 2

Đặt

2

2 2

2

os

sin

x y

c u

a b z u a

ì

-ïï

í

ïî

Khi đó ta được

.cos os

.sin

x a u chv

y b c shv

z a u

= ì

ï = í

ï = î

Do vậy phương trình tham số hóa

của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là r u v( ) (, = a.cos u chv b, cos u shv a, sinu)

c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng tròn xoay có dạng

x y z

a -b -b =

Đặt

2

2 2 2

ch u

z

sh u

a

ì

-ïï

í

ïî

Khi đó ta được

x a chu chv

y b chu shv

z b shu

= ì

ï = í

ï = î

Do vậy phương trình tham số hóa của

Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là r u v( ) (, = a chu chv b chu shv a shu , , )

d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng x2+ y2 =2pz

Đặt

2 1 2 os c sin

y u

p

x u

v v

ì

ï

ïï

í

ï ==

î

=

ï

ï

Khi đó phương trình tham số hóa của Paraboloit tròn xoay là

.c , sin , ,

2

os

p

Bài 2 Cho U =[0, 2p] [´ 0, 2p] và hai hàm véctơ r U: ® ÌI ¡3, :r U~ ~ = ®U ¡ xác định bởi 3 công thức

( ) ( ( ) ( ) )

, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin , 2 cos cos , 2 cos sin ,sin

ï

î

a) Chứng minh rằng r và r là các mặt tham số hóa và ~ ( ) ~ ~

r U r Uæ ö

= ç ÷è ø

b) r và r có tương đương không? Vì sao? ~

Giải

a) Dễ dàng kiểm tra được r , r là 2 ánh xạ khả vi vì các hàm ~ cos, sinulà các hàm số sơ cấp

Do U =U~nên ( ) ~ ~

r U r Uæ ö

= ç ÷è ø

b) Giả sử r và r tương đương tức là tồn tại phép biến đổi tham số ~ j: U~ ® sao cho U ~

0

r=rj

Khi đó j là vi phôi bảo toàn hướng từ U~lên U tức là det Jj > với 0

J

j

=

Ta lại có ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ 2 ~ ~

0

r u væç ö÷= rj æçu vö÷Ûr u væç ö÷=ræçj æçu vö÷ j æçu vö÷ö÷

j

ï

Ûíçè + ÷ø =çè + çè ÷ø÷ø çè ÷ø

ï

=

ïî

Suy ra

1

2

, ,

u v v

u v u

j j

ì æç ö =÷

ïï è ø í

î

1 0

Jj æ ö

è ø có detJj = - < (mâu thuẫn) 1 0

Vậy ta có điều cần chứng minh

Bài 3 Cho U mở trong ¡, mặt ( )S có r U: ®¡3 xác định bởi ( ) ( 2 2)

r u v = u v u -v , với mọi

( )u v, Î U

a) Chứng minh r là tham số hóa chính qui

b) Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm A=r( )0,1 với mặt ( )S

Giải

a) Xét tại điểm tùy ý A=r u v( ), Î U

Lấy đạo hàm theo biến , u v cho ta r'u( ) (u v, = 1, 0, 2u r), 'v( ) (u v, = 0,1, 2- v)

Suy ra (r'uÙr'v) ( ) (u v, = -2 , 2 ,1u v )

'u 'v , 4 4 1 0, ,

r Ùr u v = u + v + ¹ " u v ÎU

Do đó 2 véctơ r'u( )u v r, , 'v( )u v độc lập tuyến tính ,

Vậy r là tham số hóa chính qui hay ( )S là mặt chính qui

b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại A=r( ) ( )0,1 Î S có dạng là

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

' 0,1 ' 0,1 ' 0,1

x x y y z z

-= (3.1), trong đó

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' 0,1 1, ' 0,1 0, ' 0,1 0 ' 0,1 0, ' 0,1 1, ' 0,1 2

A r x y z

-ï

í

-î

Thế vào (3.1) ta được

x y- z+

=

hay 2y+ - = z 1 0

Do vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p là 2y+ - = z 1 0

Lấy ( ) ( )

x u

M x y z r u v y v

z u v

ì = ï

ï = -î

Khi đó mặt ( ) 2 2

:

S z= x - y

Từ đó cho ta

ì = -í

+ - =

1 0

1 0

x y

y z

x y

y z

éì + - = í

î ê

êì - + =

êî ë

Do vậy giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( )p với ( )S là cặp đường thẳng có phương trình

1 0

1 0

y z

y z

éì + - =

í

ê + - =

î

ê

êì - + =

êí + - =

êî

ë

Bài 4 Trong ¡3với mục tiêu trực chuẩn 0xyz cho ( ) 2

: 0,

P y = z =ax

a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ra khi ( )P quay quanh trục 0z

b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm tùy ý của mặt tròn xoay

Giải

a) Quay ( ): 2 1

0

x z

y

ì = ï í

ï = î

quanh trục 0z cho ta mặt tròn xoay ( )S có phương trình 2 2 1

a

b) Phương trình tham số hóa của mặt ( )S là ( ) ( 2)

, cos , sin ,

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm A=r u v( 0, 0) ( )Î S có dạng

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x u v y u v z u v

x u v y u v z u v

-= (4.1)

'u , ' , ' , 'u u u cos ,sin , 2

( 0 0) ( ) ( 0 0 0 0 )

'v , ' , ' , 'v v v sin , cos , 0

r u v = x y z = -u v u v

Thế vào (4.1) cho ta mặt phẳng ( )p là ( 2 ) ( 2 ) 3

2au cosv x+ 2au sinv y-u z-au =0

Bài 5 Cho f là hàm trơn trên tập mở 2

U Ì¡ và mặt ( )S có tham số hóa r U: ®¡ xác định 3 bởi r u v( ), =(u v f u v, , ( ), ), với mọi ( )u v, ÎU

a) Tìm dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của r

b) Tính độ cong Gauss K của ( )S tại một điểm tùy ý

Giải

a) Dạng cơ bản thứ nhất của r có dạng ( ) ( )2 ( )2

2

I a =E a + Fa a +G a (5.1)

'u , 1 'u

E= r u v = + f , F =r'u( ) ( )u v r, 'v u v, = f ' 'u f v

( )

G= r u v = + f

I a = +é f ù a + f f a a + +é f ù a

Dạng cơ bản thứ hai của r có dạng ( ) ( )2 ( )2

2

II a = L a + Ma a +N a (5.2)

Với

( ) ( )

'' 1

uu uu uu

u

f

( ) ( )

'' 1

uv uv uv

uv

f

( ) ( )

'' 1

vv vv vv

vv

f

Thế vào (5.2) ta được ( )

( ) ( ) ( ( )2 ( )2)

1

u u uv u v v v

b) Độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo công thức

2

2

K

-=

- theo câu a) ta

( ) ( )

2

'' '' ''

u v uv

f f f K

-=

Bài 6 Cho U =[0, 2p] [´ 0, 2p] và mặt xuyến ( )S có r U: ®¡3 xác định bởi công thức

( ) (, ( 2 cos )cos , 2 cos( )sin ,sin )

r u v = + u v + u v u

a) Xác định các đường tọa độ r u v( , 0) (, r u v của r 0, )

b) Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng tiếp xúc tại 2 điểm ( )0, 0 , , 0

2

A=r B ræp ö

= çè ÷ø

Giải

a) Với v= tương ứng với đường v0 ( ) ( )

0

r

u u t

ì =

í

=

ïî Với mọi điểm MÎ( )x cho ta

( )

( )

0

0

2 cos cos

2 cos sin suy ra

sin

x v y v

z u

ï =

î

Do vậy họ tham số v= là những đường thẳng có phương trình v0 sin 0 cos 0 0

x v y v

z u

ì

0

v thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ nhất

Với u = tương ứng với đường u0

( ) ( )

u u

v =v t x

í =

ïî Với mọi điểm MÎ( )x cho ta

( )

( )

0

0

0

2 cos cos

2 cos sin

sin

ï

í

ï =

î

0

0

2 cos

z u

ì + = + ï

í

ïî Do vậy họ tham số u = là những u0 đường tròn giao giữa mặt phẳng z-sinu0 = và mặt trụ Khi 0 u thay đổi các đường thẳng 0

này tạo thành lưới tọa độ thứ hai

b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )pA tại điểm A=r( ) ( )0,0 Î S có dạng

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

' 0, 0 ' 0, 0 ' 0, 0 0

' 0, 0 ' 0, 0 ' 0, 0

x x y y z z

-= (6.1) với

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0, 0, 0 3, 0, 0 ' 0, 0 0, 0,1 ' 0, 0 0,3, 0

u

v

x y z r

r

ï

= í

î

Thế vào (6.1) cho ta phương trình mặt phẳng là x- = 3 0

Tương tự phương trình mặt phẵng tiếp xúc( )pB tại điểm , 0 ( )

2

B=ræp öÎ S

è ø là x+ - = z 3 0

0, 2 0, 2

U = p ´ p Ì¡ và mặt giả cầu ( )S có r U: ®¡ xác định bởi công thức 3

( ), sin cos , sin sin , cos ln tan

2

u

a) Xác định dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt ( )S

b) Tính độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính của ( )S

c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của ( )S

Giải

a) Dạng cơ bản nhất của mặt ( )S có dạng ( ) ( )2 ( )2

2

I a = E a + Fa a +G a (7.1)

Với ( ( ) )2 2 2 ( ) ( ) ( ( ) )2 2 2

E= r u v =a an u F =r u v r u v = G= r u v =a u