hinh vi phan hoan chinh 2016

chuyên đề hình học vi phân được soạn thảo và kiểm tra bởi rất nhiều sinh viên và giảng viên, được xuất phát từ đại học sư phạm thành phố hồ chí minh. Đặc biệt hoàn toàn là file word nên dễ dàng chỉnh sữa và sao chép và nghiên cứu .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lời nói đầu

Hình học là một trong những phân nhánh chủ yếu và quan trọng của toán học Ở trường phổthông hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclide Trong đó các vật thể hìnhhọc được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu, quan hệ so sánh giữa các vật thể hìnhhọc được thực hiện bởi các phép dời hình Ở bậc dại học,đại số tuyến tính và hình học giảitích thì đối tượng được xét đến là các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng vàcác mảnh bậc 2 tổng quát Các quan hệ so sánh ở đây được xét như các phép biến đổi tuyếntính hoặc affin Đối với hình học đại số, bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cứu cácđường, mặt hoặc siêu mặt bậc 3 hay tổng quát hơn cho bậc bất kì Và phép biến đỏi đượcdùng ở đây là các phép biến đổi đa thức hoặc song hữu tỉ

Tất cả những quan điểm nói trên được phát triển trong cùng một ngữ cảnh của hình học viphân, trong đó các vật thể được cấu tạo từ các mảnh tham số hóa Và phương pháp nghiêncứu chủ yếu của hình học vi phân là sử dụng các phép tính vi tích phân trong không gian

Euclide kết hợp vớic các phương pháp topo, topo đại số, phương pháp tổ hợp, phươngtrình vi phân, để tìm ra tính chất của các đối tượng hình học

Trong bài tiểu luận này chúng tôi chỉ trình bày một mảng kiến thức nhỏ trong hình học

vi phân đó là kiến thức về đường cong và một số tính chất của chúng Bài tiểu luận gồm cácchưong sau:

Chương 1: Nhắc lại một só kiến thức về hàm véctơ và một số phép toán của hàmvéctơ

Chương 2: Nghiên cứu lý thuyết về đường cong trong không gian Euclide-n chiều

như đường và biểu diễn giải tích của đường cong

Chương 3,4,5,6: Một số tính chất của đường cong như độ dài cung, độ cong , độ

xoắn, tiếp tuyến, mặt phẳng mật tiếp của đường cong…

Chương 7: Những kiến thức cơ bản về tam diện Frenet

Chương 8: Một số bài tập về đường cong trong tài liệu hình học vi phân củaDorcamo

Chương 9,10: Một số bài tập và ứng dụng chủ yếu của hình học vi phân trong toán

Chúng em vô cùng cảm ơn TS Nguyễn Hà Thanh đã cung cấp cho chúng tôi những kiến thức

và tài liệu quý báu để hoàn thành bài tiểu luận này Mặc dù đã có hiều cố gắng trong việc biên soạn nhưng bài tiểu luận cũng không tránh khỏi những sai sót, vì vậy chúng tôi rất mong nhận được được những ý kiến đóng góp của thầy và bạn đọc để bài tiểu luận được hoàn thi

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN n-CHIỀU VÀ HÀM VÉCTƠ 8 Lí thuyết 8

Không gian 8

Các khái niệm 8

Các định lý 9

Các phép toán của hàm véctơ 9

Đạo hàm và công thức tính đạo hàm của hàm véctơ 10

Bài tập 11

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐƯỜNG CONG 23

1. Lý thuyết 23

1.1. Tham số hoá đường cong 23

1.2. Đường tham số chính quy 26

1.3. Đường tham số tương đương 27

1.4. Đường tham số tự nhiên 29

1.5 Biểu diễn giải tích cuả đường cong 33

1.51 Đường cong phẳng 33

1.51a Biểu diễn tham số 34

1.51b Biểu diễn tường minh 34

1.51c Biểu diễn ẩn 35

1.52 Đường cong trong không gian 36

1.52a Biểu diễn tham số 36

1.52b Biểu diễn tường minh 37

1.52c Biểu diễn ẩn 37

2. Bài tập 37

CHƯƠNG 3: ĐỘ DÀI CUNG 58

1. Lý thuyết 58

2. Bài tập 59

CHƯƠNG 4: TIẾP TUYẾN VÀ MẶT PHẲNG PHÁP TUYẾN 64

1. Lý thuyết 64

1.1 Tiếp tuyến và pháp tuyến 64

1.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến 67

1.21 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong có biểu diễn dạng tham số 67

1.22 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong có biểu diễn dạng tường minh .68

1.23 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong có biểu diễn dạng ẩn 69

2 Bài tập 71

CHƯƠNG 5: MẶT PHẲNG MẬT TIẾP 82

1. Lí thuyết 82

a) Đường cong song chính quy và mặt phẳng mật tiếp 82

a.1 Định nghĩa a.2 Định lí b) Ý nghĩa hình học 83

2. Bài tập 84

CHƯƠNG 6: ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN 88

1. Lý thuyết 88

a) Độ cong 88

b) Độ xoắn 90

2. Bài tập 100

CHƯƠNG 7: TAM DIỆN FRENET 107

1. Tam diện frenet của đường tham số 107

2. Sự thay đổi của tam diện frenet qua phép biến đổi tham số 113

3. Đường cong định hướng tam diện frenet của đường cong định hướng 114

CHƯƠNG 8: ĐỊNH LÍ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT 116

1. Sự biến đổi của tam diện frenet qua phép dời hình 116

2. Định lí duy nhất 118

3. Định lí tồn tại 119

CHƯƠNG 9: BÀI TẬP BỔ SUNG 123

CHƯƠNG 10: ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN 149

TÀI LIỆU THAM KHẢO 166

CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG

GIAN n – CHIỀU VÀ HÀM VECTƠ.

Phép tính vi phân là một trong các công cụ chủ yếu của hình học vi phân Trong đề mục này ta

nhắc lại một số khái niệm, định lý cơ bản của phép tính vi phân trong không gian và nghiêncứu các tính chất của hàm vectơ

3. Hàm được gọi là khả vi tại nếu các hàm khả vi tại

4. Hàm được gọi là khả vi trên nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc

5. Hàm được gọi là thuộc lớp nếu các hàm có đạo hàm riêng

liên tục đến cấp

3. CÁC ĐỊNH LÝ:

a) Định lý 1: (Biểu thức tính đạo hàm nhờ đạo hàm riêng)

Cho khả vi tại Khi đó

tồn tại các đạo hàm riêng và ta có:

b) Định lý 2: (Tiêu chuẩn khả vi)

đạo hàm riêng của đều tồn tại trên một tập mở chứa và liên tục

tại thì hàm khả vi tại

c) Định lý 3: (Định lý hàm ẩn địa phương)

Cho là tập mở trong và Giả sử

khả vi liên tục sao cho và Khi đó tồn tại các lân cận

sao cho: để Ở đây

là hàm khả vi và được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình

d) Định lý 4: (Định lý hàm ngược địa phương)

Cho là tập mở trong và khả vi liên tục và là điểm chính qui của

Khi đó tồn tại các lân cận mở sao cho

là một vi phôi lớp Tức là tồn tại hàm ngược

gọi là hàm ngược địa phương của trong lân cận của điểm

II. BÀI TẬP:

hàm khả vi Chứng minh các kết quả sau đây:

Bài 3: Xác định kết quả sau đây có đúng không?

e Nếu và thì nằm trên mộtđường

c. Ta có: có phương không đổi tồn tại vectơ không đổi và hàm số để:

Suy ra cùng phương (vì cùng phương với )

Ta có với suy ra: mặt khác

cùng phương tức là tồn tại sao cho

do nhân hai vế với ta có:

Suy ra: Vậy có phương không đổi (đpcm)

e. Ta có: suy ra cùng phương, theo c) thì

có phương không đổi, tức là: với là vectơ hằng khác vectơkhông

Lấy tích phân hai vế, ta được: với là vectơ hằng

Suy ra ảnh nằm trên một đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là (đpcm)

Bài 6: Cho các vectơ Tìm giá các vectơ sau:

Xét trường hợp cùng phương với .

Xét không cùng phương với thì:

Suy ra: thuộc mặt phẳng

Trên chọn mục tiêu thì , suy ra: trên điểm

chạy trên một parabol

Xét cùng phương với Suy ra: , từ (1) suy ra:

Suy ra: thuộc đường thẳng

Đặt Suy ra điểm chỉ chạy trên nữa đường thẳng thuộc đường thẳng

b. Ta có:

Xét không cùng phương với thì:

Suy ra: thuộc mặt phẳng

Trên chọn mục tiêu thì Suy ra: trên

điểm chạy trên một elip

Xét cùng phương với Suy ra: , từ (2) suy ra:

Suy ra: thuộc đường thẳng

Đặt Suy ra điểm chỉ chạy trên một

đoạn thẳng thuộc đường thẳng

c. Ta có:

Xét không cùng phương với thì:

Suy ra: thuộc mặt phẳng Trên chọn mục tiêu thì

Suy ra: trên điểm chạy trên một

hybebol

Xét cùng phương với Suy ra: , từ (2) suy ra:

Suy ra: thuộc đường thẳng

Giải:

Ta có:

là một mặt phẳng

Trong mặt phẳng chọn sao cho: sao cho :

d) Ta có:

Do độc lập tuyến tính nên không cùng phương

Khi đó:

Trên (P) chọn mục tiêu :

Ta có: (paraboloic eliptic)suy ra : Trên (P ) điểm M chạy trên một paraboloic eliptic

Câu 10: Lập phương trình tham số của:

Mặt trụ hyperbolic:

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐƯỜNG.

Cho là khoảng của

2. Trong trường hợp không mở ta giả sử :

+ Thuộc lớp trong phần trong của

+ Mọi đạo hàm đến cấp có giới hạn phải hoặc trái hữu hạn tại các điểm đầu mút của

(nếu các điểm này thuộc )

3. Đường tham số được gọi là Compact, nửa mở hay mở nếu là Compact, nửa mở hay

mở (tương ứng)

Định nghĩa 1.2:

Ta nói một đường tham số compact là - từng khúc nếu tồn tại một

phân hoạch: của đoạn sao cho hạn chế của

trên các khoảng compact thuộc lớp

 Ghi chú:

Ta có thể chứng minh:

1. Đường tham số là - từng khúc nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây cùng thỏa:

(i) Tập { không tồn tại } là hữu hạn

(ii) liên tục trên

(iii) có giới hạn phải và giới hạn trái là hữu hạn tại mọi điểm của S

2. Khi nói đường tham số lớp thì k được hiểu là đủ lớn để các phép toán có nghĩa

3. Ảnh được gọi là giá của đường

tham số

Nếu thì ta nói đường tham số đi qua

điểm a khi hay a là điểm của đườngtham số

 MỘT SỐ VÍ DỤ:

1 Cho là các vectơ hằng và Đường tham số

a/ Đường tham số chính quy

Định nghĩa 1.3:

Đường tham số được gọi là đường tham số chính qui tại điểm nếu

Đường tham số gọi là chính qui trên nếu nó chính qui tại mọi điểm thuộc

Ví dụ:

1. Cho đường tham số

Ta có: nên là đường tham số chính qui

2. Cho đường tham số

Với và

Ta có:

Vậy không chính qui tại , suy ra nó không chính qui trên

b/ Đường tham số tương đương

Định nghĩa 1.4:

Cho là hai đường tham số Ta nói là hai đường

tham số tương đương nếu tồn tại vi phôi biến sao cho

Rõ ràng khả vi trên và ánh xạ ngược

cũng là hàm khả vi trên Nên là một vi phôi

Vậy là hai đường tham số tương đương

2. Cho hai đường tham số:

Hai đường tham số không tương đương Giả sử chúng tương đương Khi đó tồn tại

vi phôi sao cho

+) biến thành và biến đổi biến thành

và biến

c Đường tham số tự nhiên

Định nghĩa 1.5:

Trong các đường tham số tương đương với một đường tham số cho trước, có một đường tham

số có ý nghĩa lý thuyết đặc biệt Nó làm đơn giản nhiều chứng minh liên quan đến đường cong mà

ta gọi là đường tham số tự nhiên

Đường tham số là tham số tự nhiên nếu (ta còn gọi là tham số độ dàicung)

Nhận xét:

Ta thấy rằng đường tham số tự nhiên khả vi (trơn) là chính qui, vì

Mệnh đề 1.6: ( cách tìm đường tham số tương đương với )

Với đường tham số chính qui bất kỳ, luôn tồn tại một đường tham số tự nhiên tương đươngvới nó

Chứng minh

Cho là một đường tham số tự nhiên, , và:

Vì nên hàm tăng nghiêm ngặt trên Vì vậy ảnh của nó là một khoảng

tương đương với đường tham số đã cho

Giải:

Ta có: suy ra

số tương đương với nó.

Giải:

Suy ra

3) Đường tham số với:

là đường tham số tự nhiên

2.Định nghĩa dường cong

Định nghĩa 2.1:

Tập con được gọi là đường cong chính quy nếu:

Với mọi ,tồn tại đường tham số chính quy có giá là một lân cận mở trong M

của điểm a, hay với U là một lân cận mở trong và ánh xạ: là một

phép đồng phôi tương ứng với tôpô của không gian con của

Đường tham số có tính chất trên gọi là tham số địa phương của đường cong M quanh điểm a

Khi đường cong M có tham số địa phương là toàn cục hay thì ta nói M là đươngcong đơn

3. Đường tròn trong là một đường cong không đơn vì không có khoảng mở nào đồng

phôi với đường tròn (đây là tập con compact của )

Ghi chú:

1. Trực giác ta thấy rằng: đường cong chính quy chẳng qua là dán các giá của đương tham sốlại với nhau

2. Không phải mọi đường tham số chính quy nào cũng được dùng như là tham số địa phương

của đường cong vì đường tham số bất kì với chưa chắc là đơn ánh vì vậykhông thể là tham số địa phương

Ngay cả khi là đơn ánh thì nó chưa chắc là phép đồng phôi vì hàm liên tục vàsong ánh thì ánh xạ ngược của nó chưa chắc liên tục Chẳng hạn:

Xét đường tham số với và với có giá làđường tròn đơn vị nhưng ta không thể nói nó là đường cong đơn vì nó không là phép đồngphôi do nó không đơn ánh (do tính tuần hoàn)

3 BIỂU DIỄN GIẢI TÍCH CỦA ĐƯỜNG CONG

a ĐƯỜNG CONG PHẲNG:

Một đường cong M gọi là đường cong phẳng nếu như nó được chứa trong một mặt

phẳng nào đó Trong phần này ta giả sử là mặt phẳng

Ta có:

Hệ thức trên chứng tỏ M nằm trên mặt phẳng qua C có cặp vectơ chỉ phương là

2. Cho đường tham số với

Chứng minh rằng giá của là đường cong phẳng

Vậy giá của nằm trên mặt phẳng có phương trình x-4y+2z+1=0.

a.1 BIỂU DIỄN THAM SỐ:

Cho với là tham số địa phương của đường cong Khi đó giá

là tập con mở của đường cong Như vậy mọi điểm a của đường cong có một lân cận mở làgiá của một đường cong tham số

(1)

Ta gọi (1) là phương trình tham số của đường cong trong lân cận điểm a

a.2 BIỂU DIỄN TƯỜNG MINH:

Cho là một hàm số khả vi với là khoảng mở của Khi đó đồ thị của là

là một đường cong đơn có tham số toàn cục là

(2)

Ta gọi phương trình (2) là phương trình tường minh của ( )

a.3 BIỂU DIỄN ẨN:

Cho là một hàm khả vi xác định trên miền và

(gọi là tập mức 0 của hàm )

Trong trường hợp tổng quát, không là đường cong chính quy (đây chỉ là một tập con đóng của

mặt phẳng).Tuy nhiên nếu lấy điểm mà vectơ grad , ví dụ như

, thì theo định lí hàm ẩn:

Tồn tại:

• Một lân cận mở U của điểm trong

• Một hàm khả vi xác định trên lân cận mở I của trong sao cho

Nếu tại mọi điểm của thì là một đường cong chính quy

Ví dụ:

Ta có

là một đường cong.

Ghi chú:

Điều kiện là điều kiện đủ để phương trình là biểu diễn của một đường

cong Nếu tại một điểm ta cũng không thể kết luận phương trình biểudiễn hay không biểu diễn cho đường cong trong lân cận của điểm này Chẳng hạn như xét phươngtrình:

Ta có

Kí hiệu: thì tại mọi điểm của Nhưng là mộtđường cong (đường thẳng)

b ĐƯỜNG CONG TRONG KHÔNG GIAN:

b.1 BIỂU DIỄN THAM SỐ:

Tương tự như trường hợp đường cong phẳng, ta biểu diễn đường cong dưới dạng:

Và gọi là biểu diễn tham số của đường cong

b.2 BIỂU DIỄN TƯỜNG MINH:

Nếu là hai hàm số khả vi cùng xác định trên một khoảng mở I thì tập hợp

là một đường cong đơn với tham số toàn cục

Hệ gọi là phương trình dạng tường minh của đường cong

b.3 BIỂU DIỄN ẨN:

Cho xác định trên miền Xét tập hợp:

hay là tập hợp nghiệm của hệ

Trong trường hợp tổng quát, không là đường cong chính quy Tuy nhiên nếu tại điểm A=

hạng của ma trận Jacobi bằng hai thì tồn tại một lân cận

mở của điểm sao cho (tập hợp nghiệm của (4) trong U) là một đườngcong

Thật vậy , giả sử Thì theo định lý hàm ẩn, tồn tại một lân cận sao

cho có thể viết dưới dạng

Ở đây W là lân cận mở của trong với là các hàm khả vi xác định trên W.

Rõ ràng là đường cong đơn và với là biểu diễn toàn cục của

nó Nếu hạng của ma trận (5) bằng hai mọi nơi trong U thì C là một đường cong nhưng khôngnhất thiết phải là đường cong đơn

Vậy phương trình (3) xác định cho ta một đường cong chính quy mọi nơi ngoại trừ điểm

Ta gọi đường xác định bởi hệ (3) là đường Viviani và (1) là phương trình dạng ẩn của nó

Mặt khác xét đường tham số ở đây

Ta có:

Dễ thấy rằng giá của đường tham số trên chính là đường Viviani và điểm không phải làđiểm kì dị của nó mà chỉ là điểm tự cắt mà thôi

Bài 1: Cho đường thẳng d chuyển động nhưng luôn luôn tạo với hai trục tọa độ một tam giác có

diện tích không đổi.Từ gốc O, ta hạ đường vuông góc với d tại M Tìm tập hợp điểm M

Giải:

Gọi là góc định hướng tạo bởi trục Ox và vectơ

Bài 2: Cho hai điểm nằm trên trục và đối xứng nhau qua gốc tọa độ Tìm tập hợp

những điểm sao cho tích khoảng cách từ đến bằng Tập hợp những điểm

đó gọi là đường Lemniscate Bernoulli

Giải:

Giả sử và

Lúc đó:

Theo đề ta có: