076 đề hsg toán 8 nam từ liêm 22 23

Chứng minh rằng a là số chính phương Bài 2.. Gọi M là trung điểm của AB 1 Chứng minh rằng HA HC.. Gọi I là giao điểm của AD và BH.. Tìm vị trí điểm C trên tia Bx Sao cho diện tích ABIlớ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 NĂM 2022-2023 Bài 1 (6,0 điiểm)

1) Giải phương trình sau trên tập số thực      

2

x x x 

2) Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa mãn đồng thời các điều kiện

Tính giá trị của biểu thức

3 3

6 6 1

x y E

x y



 3) Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn điều kiện a2b2 2ab 7a2b 1 0 Chứng minh rằng a là số chính phương

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Cho các số nguyên dương a; b(a>b) thỏa mãn điều kiện ab 1chia hết cho

& 1

2 b 1

chia hết cho a2 b2

2) Cho 2019 số nguyên dương phân biệt a a1; ; ;2 a2019lớn hơn 1 Chứng minh rằng tích  2   2   2 

không chia hết cho tích  

2

1 2 2019

a a a

Bài 3 (3,0 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c  1

Chứng minh rằng

9

a bc b ca c ab

   Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 4 (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB Kẻ tia BxABtại B Trên tia Bx lấy điểm C (C khác B) Kẻ BH AC, điểm H thuộc AC Gọi M là trung điểm của AB

1) Chứng minh rằng HA HC. HB2

2) Kẻ HD vuông góc với BC (D thuộc BC) Gọi I là giao điểm của AD và BH Chứng minh rằng 3 điểm C, I, M thẳng hàng

3) Giả sử AB cố định, điểm C thay đổi trên Bx Tìm vị trí điểm C trên tia Bx Sao cho diện tích ABIlớn nhất

Bài 5 (1,0 điểm) Xét 15 số nguyên dương lớn hơn 1, không vượt quá 2019 và đôi một

nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng trong 15 số đó luôn có ít nhất 1 số là số nguyên

tố

ĐÁP ÁN Bài 1 (6,0 điiểm)

4) Giải phương trình sau trên tập số thực      

2

x x x 

Ta có :      

2

2 2

2

2

1

4 5 0

4 5

5

4 12

4 12 0( )

x

x

   



 

  



5) Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa mãn đồng thời các điều kiện

Tính giá trị của biểu thức

3 3

6 6 1

x y E

x y





Ta có :

2

2

3

2

y

y

x







;

6) Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn điều kiện a2b22ab 7a2b 1 0 Chứng minh rằng a là số chính phương

Ta có :

2 2

2

1 3

a b

a

 

Vậy a là số chính phương

Bài 2 (4,0 điểm)

3) Cho các số nguyên dương a; b(a>b) thỏa mãn điều kiện ab 1chia hết cho

& 1

2 b 1

chia hết cho a2 b2

Ta có :

     

2

1

    





Gọi





Vậy (a;b) nguyên tố cùng nhau

Gọi

a b k

 

 





Mà 2a2b k  26k, mà a, b nguyên tố cùng nhau nên 2 k

2

2 2

1

1 1



  



  







 ;   2 1 2 2 , ` 2 2 2 1

UCLN a b a b   k k b  a  b ma k b 

Vậy  2  2 2

2 b 1 a  b

4) Cho 2019 số nguyên dương phân biệt a a1; ; ;2 a2019lớn hơn 1 Chứng minh rằng tích  2   2   2 

không chia hết cho tích  

2

1 2 2019

a a a

Ta có :

1 2 2019

1 2 2019

Xét

2

1

1

a



vì a11.Cmtt A2  A2019Z

Mà a a1; ;2 a2019là các số dương phân biệt lớn hơn 1 nên A1A2  A2019 

1 2 2019

nguyên

  2   2   2 

1 1 2 1 2019 1

không chia hết cho tích  

2

1 2 2019

Bài 3 (3,0 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c  1

Chứng minh rằng

9

a bc b ca c ab

Ta có :

( )( )

  

Tương tự :

;

b ca b c a b c ab b c c a

VT

Dấu bằng xảu ra khi

1 3

a b c  

Bài 4 (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB Kẻ tia BxABtại B Trên tia Bx lấy điểm C (C khác B) Kẻ BH AC, điểm H thuộc AC Gọi M là trung điểm của AB

I D

M

H C

4) Chứng minh rằng HA HC. HB2

Xét HABvà HBCcó : H 90 ; HABHAC(cùng phụ với góc ABH)

Do đó

HA HB

HB HC

5) Kẻ HD vuông góc với BC (D thuộc BC) Gọi I là giao điểm của AD và BH Chứng minh rằng 3 điểm C, I, M thẳng hàng

Ta có   I1 I2 I3180  A M1 1  180  A2 H  180  H C1

  0

360 A 180 A 180

        

Vậy 3 điểm I, M, C thẳng hàng

6) Giả sử AB cố định, điểm C thay đổi trên Bx Tìm vị trí điểm C trên tia Bx Sao cho diện tích ABIlớn nhất

Để diện tích AIB lớn nhất thì diện tích ABH lớn nhất

ABH ABC BHC AIB

S S  S  AB BC HC HB S

lớn nhất khi AB=AC Vậy C thuộc BC sao cho AB BC dfcm ( )

Bài 5 (1,0 điểm) Xét 15 số nguyên dương lớn hơn 1, không vượt quá 2019 và đôi một nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng trong 15 số đó luôn có ít nhất 1 số là số nguyên tố

Giả sử n n1; ; 2 n15là các số nguyên lớn hơn 1 đều là hợp số Gọi pi là ước nguyên tố nhỏ nhất của ni (i=1;2;….15)

Gọi p là số lớn nhất trong các số p p1; 2; ;p15 Do các số n n1; ; 2 n15đôi một nguyên tố cùng nhau nên các số p p1; 2; ;p15khác nhau tất cả

Số nguyên tố thứ 15 là số 47 (2,3,5, , 47).ta có p 47

Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thi p n  np2 472 2019(vô lý) Vậy trong 15 số đó luôn có ít nhất 1 số là số nguyên tố