068 đề hsg toán 8 hà nam 22 23

5,0 điểm Cho hình vuông ABCD, gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, dựng hình vuong AMHN.. Đường thẳng AH cắt DCtại F a Chứng minh rằng BM DN b Tứ g

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM

KỲ THI THÀNH LẬP CÁC ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức 3 2  

x



a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q

b) Tìm x khi

1 3

Q 

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q

Bài 2 (6,0 điểm)

1) Giải phương trình :  

2 2

2

2) Cho hai đa thức M x( )x5 9x36x1; ( ) 3Q x  x22x1 Gọi x x x x x1, , , ,2 3 4 5là các nghiệm của M x .Tính giá trị của Q x Q x 1 ,  2 ,Q x 3 ,Q x 4 ,Q x 5

3) Cho f x x2px q với p Z q Z ,  Chứng minh rằng tồn tại số nguyên kđể

  2019  2020

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Cho abc 1và

Chứng minh rằng a b c 

2) Cho a b c, , là các số nguyên khác 0, a c sao cho

2 2

2 2





 Chứng minh rằng

2 2 2

a b c không phải là số nguyên tố

Bài 4 (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC Trong nửa mặt

phẳng bờ AB chứa điểm C, dựng hình vuong AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH tại E Đường thẳng AH cắt DCtại F

a) Chứng minh rằng BM DN

b) Tứ giác EMFN là hình gì ?

c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC

Bài 5 (2,0 điểm) Cho a b c, , 0,a b c  3 Chứng minh rằng 2 2 2

3

b  c  a 

ĐÁP ÁN

Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức 3 2  

x



d) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q

 

 

 

2 2

1

x



e) Tìm x khi

1 3

Q 

2

2( )







Vậy để

1

3

Q 

thì x=2

f) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q

2 2

3

4

x

Vậy

Max Q  x

Bài 2 (6,0 điểm)

4) Giải phương trình :  

2 2

2

ĐKXĐ: x0;x1

 

 

 

 

 

3

2

1

2



 





Vậy phương trình có tập nghiệm là

1

;1 2

S   

5) Cho hai đa thức M x( )x5 9x36x1; ( ) 3Q x  x22x1 Gọi x x x x x1, , , ,2 3 4 5là các nghiệm của M x .Tính giá trị của Q x Q x 1 ,  2 ,Q x 3 ,Q x 4 ,Q x 5

Ta có : Q x 3x22x 1 x1 3  x1

Vì x x x x x1, , , ,2 3 4 5là các nghiệm của M(x) nên

         

         

( )

649 243

         

         

 

5

649

243

Q x Q x Q x Q x Q x



6) Cho f x x2px q với p Z q Z ,  Chứng minh rằng tồn tại số nguyên kđể

  2019  2020

Ta có :

             

 

 

 

2

9

Với k20192p.2019 q 2019Z

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Cho abc 1và

Chứng minh rằng a b c 

Ta có :

           

           

     

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1

1 1

0

1

a b b c c a

a b c

a b b c c a

c a

a b

Do abc







0

0

a b

a b c

c a









4) Cho a b c, , là các số nguyên khác 0, a c sao cho

2 2

2 2





 Chứng minh rằng

2 2 2

a b c không phải là số nguyên tố

2 2

2 2

2 2





Giả sử a2b2c2là số nguyên tố thì một trong hai nhân tử a c b  hoặc a-c+b bằng 1 hoặc –

1

   

2 2

1

1

b

a c







 



1

1

b

a c





 



Vậy a2b2c2không phải là số nguyên tố

Bài 4 (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, dựng hình vuong AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH tại E Đường thẳng AH cắt DCtại F

O F E

H

N

C

B A

D

M

d) Chứng minh rằng BM DN

Xét ABM&ADNcó : ABAD gt( ),BAM DAM (cùng phụ với MAD AM); AN gt( )

( )

ABM ADN c g c

  

e) Tứ giác EMFN là hình gì ?

 N, D, F thẳng hàng

Xét EOM&FONcó : EOM FON 90(tính chất đường chéo hình vuông) OM=ON (tính chất đường chéo hình vuông)

  (hai góc so le trong do EM / /AB CD/ / )

( )

EOM FON g c g EM NF

Tứ giác EMFNcó EM / /NFvà EM = NF nên là hình bình hành

Lại có EF MN(tính chất đường chéo hình vuông) nên EMFN là hình thoi

f) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC

Vì EMFN là hình thoi nên MF=FN, lại có BM=DN (cmt)

Nên Chu vi MFC MF MC CF   FN MC CF  FD DN MC CF  

2

Do BC không đổi nên chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC

Bài 5 (2,0 điểm) Cho a b c, , 0,a b c  3 Chứng minh rằng 2 2 2

3

b  c  a 

2 2

2

1

3

a

a b c

3

hay

Dấu bằng xảy ra khi a b c  1