166 đề hsg toán 8 bắc ninh 22 23

Cho hình vuông ABCD, gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH tại E.Đường thẳng AH cắt

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GD&ĐT BẮC NINH

ĐỀ THI HSG8 SỐ 63

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2018 – 2019 TOÁN 8Thời gian làm bài:90 phút Bài 1: (2,0 điểm)

Cho ba số a,b,c khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn điều kiện

a b b c c a

Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1

A

        

     .

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Giải phương trình: 2  2

2

x x  x 

.

2 Cho hai đa thức P x( )x5 5x34x1,Q x  2x2 x 1.Gọi x1, x2, x3,x4,x5là các nghiệm của P x .Tính giá trị của Q x Q x Q x Q x Q x         1 2 3 4 5 .

Bài 3:(4,0 điểm)

1 Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho n 2 2là ước số của n 6 206.

2 Cho a,b,clà các số nguyên khác 0, a c sao cho





 Chứng minh rằnga2 b2 c2không phải là số nguyên tố.

Bài 4:(7,0 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD, gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d

song song với AB, d cắt AH tại E.Đường thẳng AH cắt DCtại F.

a) Chứng minh rằng BM ND

b)Tứ giác EMFN là hình gì?

c)Chứng minh chu vi tam giác MFCkhông đổi khi M thay đổi trên BC.

2 Cho tam giác ABCcó BAC 90 ,0 ABC20 0 Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC, ABsao cho ABE 100và ACF 30 0 Tính CFE.

Bài 5:(3,0 điểm)

1 Cho các số thực a b c , , 1.Chứng minh rằng

3

2a1 2 b1 2 c1 a b b c c a    

2 Cho hình vuông ABCDvà 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng

2 3 Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm.

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN

SỞ GD&ĐT BẮC NINH Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm)

Cho ba số a,b,c khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn điều kiện

a b b c c a

Tính giá trị của biểu thức:

1 a 1 b 1 c

A

        

     

Lời giải

Nếu a b c  0thì a b c b c,  a c a,  b

a b b c c a

   A a b b c c a 1

a b b c c a a b b c c a

 

Do đó, a b 2 ,c b c 2 ,a c a 2b a b c  , trái giả thiết

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Giải phương trình: 2  2

2

x  x  x 

2 Cho hai đa thức P x( )x5 5x34x1,Q x 2x2 x 1 Gọi x1, x2, x3,x4, x5 là

các nghiệm của P x 

Tính giá trị của Q x Q x Q x Q x Q x         1 2 3 4 5

Lời giải 2.1 Điều kiện x0;x1

x x  x    x   x  x 

 

2 2

2 2

1

0 1

x





x

   3 3

1

2

x

x









Vậy tập nghiệm của phương trình là

1 1;

2

S   

 

2.2

P x x  x  x  x x x x x x x x x x

  2 1  1 

2

Q x    x   x

Do đó:Q x Q x Q x Q x Q x         1 2 3 4 5

2

         

               

 1 x1  1 x2  1 x3  1 x4  1 x5

           

Bài 3:(4,0 điểm)

1 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 2 2 là ước số của n 6 206.

2 Cho a,b,clà các số nguyên khác 0, a c sao cho





2 2 2

a b c không phải là số nguyên tố

Lời giải 3.1

2 2

6

206

n

2

198

2 4

2

n

Điều nảy xảy ra khi n 2 2là ước nguyên dương của 198 2.3 11 2 gồm:

2;3;6;9;11;18; 22;33;66;99;198

Từ đó ta tìm được n 1;2;3;4;8;14

3.2





Mà a2b2c2 a2ac c 2 a22ac c 2  b2 a c 2 b2 a c b a c b      

Ta thấy a2b2c2 3do đó nếu a2b2c2là các số nguyên tố

thì xảy ra các trường hợp sau:

1)a c b  1;a c b a   b c  a b c 2a2c1

a 12 c 12 b2 1 a c 1,b 1 (ktm)

         

2)a c b  1,a c b a   b c  a b c 2a2c1

a 12 c 12 b2 1 a c 1,b 1 (ktm)

3)a c b  1,a c b   a b c  a b c 2a 2c1

a 12 c 12 b2 1 a c 1,b 1 (ktm)

         

4)a c b  1,a c b   a b c  a b c 2a 2c 1

a 12 c 12 b2 1 a c 1,b 1 (ktm)

Bài 4: (7,0 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD, gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng

bờ AB chứa C, dựng hình vuông AMHN. Qua M dựng đường thẳng d song song với

AB, d cắt AH tại E Đường thẳng AH cắt DC tại F.

b)Tứ giác EMFN là hình gì?

c)Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC.

2 Cho tam giác ABC có BAC90 ,0 ABC20 0 Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho ABE 100 và ACF 30 0 Tính CFE.

Lời giải 4.1

M

1

1 2

2

3

1 2

O

F

H

B A

a) Do ABCD là hình vuông A1MAD 90 (1)0

mà AMHNlà hình vuông A2MAD 900 (2)

Từ    1 ; 2

suy ra A1A2

Do đó, ANDAMB c g c  B D  1900

b) Do ABCDlà hình vuông  D 2 900

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AH MN, của hình vuông AMHN.

O

AH

  và FM FN (3)

Từ    3 ; 4  EM NE NF FM  MEMFlà hình thoi (5)

c) Từ (5)suy ra FM FN FD DN

Mà DN MB  MF DF BM

Gọi chu vi tam giác MCF là pvà cạnh hình vuông là a

MC MB CF FD BC CD a a 2a

Do đó, chu vi tam giác MCF không đổi khi M thay đổi trênBC

4.2

E

F G

B

A

Xét ABCcó BAC90 ,0 ABC200  ACB700

ACF

 có CAF 90 ,0 ACF 300  FC2.AF

Gọi D là trung điểm của BCvà G là điểm trên AB sao cho GDBC

Khi đó,

BD BA ABC DBG

BG BC

 ”   

GCB GBC   GCF 

Do đó CG và BElần lượt là tia phân giác của BCFvà ABCnên:

;

FC BC BA AE

FG BG BC EC

Do đó,

2FC 2BC

FG  FG  BG BG BC EC  FG EC

Từ đó suy ra CG EF/ / (Định lý Talet đảo)

CFE GCF

Bài 5: (3,0 điểm)

1 Cho các số thực a b c , , 1. Chứng minh rằng

3

2a1 2 b1 2 c1 a b b c c a    

2 Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng

2

3 Chứng minh rằng có ít

nhất 3 đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm

Lời giải

5.

1 Ta cóa 12 0 a22a1 a2 2a1 2

2a 1 a



1 1 1

3

VT

a b ab  a b a b  a b  a b  a b

Tương tự ta có: 2 2

2

b c  b c ; 2 2

2

a c  a c

Suy ra:

3

a b c  a b b c a c    

Do vậy:

3

2a1 2 b1 2 c1 a b b c a c    

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia b c  1

5.2

Các đường thẳng đã cho không thể cắt các cạnh kề nhau của hình vuông, bởi vì nếu thế chúng chia hình vuông thành một tam giác và ngũ giác (chứ không phải chia hình vuông thành hai tứ giác)

Do đó, mỗi đường thẳng (trong số chín đường thẳng) đều cắt hai cạnh đối của hình vuông

và không đi qua một đỉnh nào của hình vuông cả

Giả sử một đường thẳng cắt hai cạnh đối BCvà ADtại các điểm M và N

F J

M E

C B

A

Ta có:

1

1

2

ABMN

MCND

AB BM AN





(ở đây E và F là các trung điểm của ABvà CDtương ứng)

Gọi E F P Q, , , tương ứng là các trung điểm của AB, CD, BC, AD Gọi J J J J1, , ,2 3 4là các điểm sao cho J J1, 2nằm trên EF J J, ,3 4nằm trên PQvà thỏa mãn:

3

2 3

PJ

J F J F J Q J P 

J 4

J 3

J 2

J 1

Q

P

F E

D

C B

A

Khi đó từ đó lập luận trên ta suy ra mỗi đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu của

đề bài phải đi qua một trong 4 điểm J J J J1, , ,2 3 4nói trên Vì có 9 đường thẳng, nên theo nguyên lý Dirichle phải tồn tại ít nhất một trong 4 điểm J J J J1, , ,2 3 4sao cho nó có ít nhất

ba trong 9 đường thẳng đã cho đi qua

Vậy có ít nhất 3 đường thẳng trong 9 đường thẳng đã cho đi qua một điểm

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =