037 đề hsg toán 9 sơn hòa 21 22

gì để BD2CE2đạt giá trị nhỏ nhất... Chứng minh rằng AH3 BC BD CE.. Hỏi tam giác vuông ABCcó thêm điều kiện gì để BD2 CE2đạt giá trị nhỏ nhất.

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 04/01/2022

Câu 1 (4,00 điểm) Cho biểu thức

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm xđể P 1

Câu 2 (4,00 điểm) Giải phương trình x22015x 2014 2 2017 x 2016

Câu 3 (4,00 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên nthì n2 12n 2022không thể là số chính phương

b) Cho A   1 2 2 2  2  2023  2 2024 Chứng minh Achia hết cho 31

Câu 4 (4,00 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH

a) Tính AH BH, biết BC 50cmvà

3 4

AB

3

.

gì để BD2CE2đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất của BD2CE2

Câu 5 (4,00 điểm)

a) Với mọi số thực x y, Chứng minh rằng x10 y10 x2 y2  x8 y8 x4 y4

b) Cho 2 số dương a b, thỏa mãn a  5 b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1

Q

a b

 

ĐÁP ÁN

Câu 1 (4,00 điểm) Cho biểu thức

P

d) Rút gọn biểu thức P

0

4; 9

3

x

P

x







e) Tìm xđể P 1

4

3

P

x



Kết hợp với điều kiện, ta có M 1khi0 x 9,x4

f) Tìm các giá trị nguyên của xđể Pcó giá trị nguyên

1

3 (4) 1; 2; 4 16;25;49;1

P

          

Câu 2 (4,00 điểm) Giải phương trình x22015x 2014 2 2017 x 2016

Điều kiện :

2016 2017

x 

Phương trình đã cho tương đương với :

   

2

2 2

2 1 2017 2016 2 2017 2016 1 0

1 0

2017 2016 1 0

x

x

 





c) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên nthì n  12n 2022không thể là số chính phương

2

12 2022

k n k n   2022

Do đó

 

     

2

4 2

k n

k n k n

k n

















mà 2022 4  và 12 4n

2

12 2022 4

d) Cho A   1 2 22 2  2023 22024 Chứng minh Achia hết cho 31

1 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

31 1 2 2 31

A      

Câu 4 (4,00 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH

E D

H

A

B

C

d) Tính AH BH, biết BC 50cmvà

3 4

AB

 2  2 2 2

3

3 , 4

k AB k AC k AC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

e) Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của Htrên AB và AC Chứng minh rằng AH3 BC BD CE .

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có :

   

   

3

AH BH CH AH BH CH BD AB CE AC BD CE AB AC

BH CE AH BC AH BC BD CE

f) Giả sử BC  2alà độ dài cố định Hỏi tam giác vuông ABCcó thêm điều kiện gì để BD2 CE2đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất của

Áp dụng định lý Pytago ta có :

3

Gọi O là trung điểm của BC ta có : AH AO a nên BD2CE2  4a2 3a2 a2

Vậy Max BD 2 CE2a2  ABC

vuông cân tại A

Câu 5 (4,00 điểm)

c) Với mọi số thực x y, Chứng minh rằng x10 y10 x2 y2  x8 y8 x4 y4

Ta có :

   

2

0 0

0

x y x y x y x y

x y x y x y

x y x y x x y y

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy ta có đpcm

d) Cho 2 số dương a b, thỏa mãn a  5 b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1

Q

a b

 

 

max

1 1 1 5 5 5

5

2

Q

b a

a b

        

       

      