025 đề hsg toán 9 tuy hòa 21 22

Chứng minh rằng nếu ylà tổng của ba số chính phương thì xviết được dưới dạng tổng của bốn số chính phương Câu 3.. 4,0 điểm Cho tam giác đều ABCcó cạnh bằng a.Gọi D là trung điểm AC, trên

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP TUY HÒA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

LỚP 9 – NĂM HỌC 2021-2022

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 18/01/2022

Câu 1 (3,0 điểm) Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  1.Chứng minh rằng

   

2

)1

a a  a b a c 

2 )

b

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng n3 2021nchia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n

b) Cho x y, là các số nguyên thỏa mãn x2 3y22xyvà y0;x y 0 Chứng

minh rằng nếu ylà tổng của ba số chính phương thì xviết được dưới dạng

tổng của bốn số chính phương

Câu 3 (3,0 điểm) Giải phương trình x2 x 2 3 x2 2 x4

Câu 4 (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABCcó cạnh bằng a.Gọi D là trung điểm AC, trên CBlấy điểm Esao cho

2 , 5

CE CB AE

cắt BD tại F

a) Tính diện tích tam giác DEF theo a

b) Gọi Hlà hình chiếu của Dtrên AB.Chứng minh DA HF. DF DB.

Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC  có các đường cao AD BE, ,CF

Trên đường cao ADlấy điểm Ksao cho BKC 90  Trên đoạn CFlấy điểm Psao cho BP BK

a) Chứng minh ABPlà tam giác vuông

b) Trên tia đối của tia EBlấy điểm Qsao cho CQ CK Gọi T là giao điểm của

BPvà CQ Chứng minh rằng PQAT

Câu 6 (3,0 điểm) Cho hai số x y, thỏa mãn x1,y1và x2y2 2x y 10

a) Chứng minh rằng x y  2 2 1  

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

xy P

x y







ĐÁP ÁN Câu 1 (3,0 điểm) Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca   1.Chứng minh rằng

   

       

2

)1

VT a bc ca ab a c a b a a b a c a b VP dfcm

2 )

b

Chứng minh tương tự câu a, có :

b   b c b a c    c a c b 

       

           

2

Có :

     

2

a b a c b c

Câu 2 (3,0 điểm)

c) Chứng minh rằng n3 2021nchia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n

   

   

d) Cho x y, là các số nguyên thỏa mãn x2 3y2 2xyvà y0;x y 0 Chứng minh rằng nếu ylà tổng của ba số chính phương thì xviết được dưới dạng tổng của bốn số chính phương

     

x y x y

x y ktm





Ta có điều phải chứng minh

Câu 3 (3,0 điểm) Giải phương trình x2 x 2 3 x2 2 x4

 

2

2

2

x







Vậy S   2

Câu 4 (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABCcó cạnh bằng a.Gọi D là trung điểm

,

AC trên CBlấy điểm Esao cho

2 , 5

CE CB AE

cắt BD tại F

N M

P

H

D A

C

B

E

c) Tính diện tích tam giác DEF theo a

CD CE  DE CD CE  CE CD  

Kẻ

CD CB

/ /

Kẻ

FM EN MN FD  EM EN 

2 2

     

DEF

DF FE DE

p  

d) Gọi H là hình chiếu của Dtrên AB.Chứng minh DA HF DF DB.

DH AB HADvuông tại H  

1

a AH

AH AD

AB

 

BD

Từ    1 , 2  HF/ /AD HFD90

Xét DAB&FDHcó: BDAHFD90 , BADHDF 60

DA DB

FD FH

  ∽     

Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC   có các đường cao AD BE, ,

CF Trên đường cao ADlấy điểm Ksao cho BKC90 Trên đoạn CF lấy điểm

Psao cho BP BK

T

Q

P

K

E

D F

A

B

C

c) Chứng minh ABPlà tam giác vuông

Xét BKCvà APBcó AB BC PD BK KC ,  , BP

d) Trên tia đối của tia EBlấy điểm Qsao cho CQ CK Gọi T là giao điểm của BPvà CQ Chứng minh rằng PQAT

Xét ADCcó : ADC90

90 90

Câu 6 (3,0 điểm) Cho hai số x y, thỏa mãn x1,y1và x2y2 2x y 1 0

c) Chứng minh rằng x y  2 2 1  

Đặt t x y  có t2 x2y22xy

2

2

d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

xy P

x y







2

2

max

xy

x y



