031 đề hsg toán 9 thanh hóa 21 22

6,0 điểm Cho nửa đường tròn O R; đường kính ABvà C là điểm thay đổi trên nửa đường tròn đó Ckhác A và B.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ các tia tiếp tuyến A

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2021-2022 Ngày thi : 26/12/2021 MÔN THI: TOÁN – THCS

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu I (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức :

.

P



     với x0,y0,x4,x1 2) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c  2 abc 1.Tính giá trị biểu thức

Câu II (4,0 điểm)

1) Giải phương trình    

5 2

3x  6x 6 3 2   x  7x 19 2  x

2) Giải hệ phương trình

2 2

2

4 2

2

2 6

1

x x



  











Câu III (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a b, thỏa mãn phương trình

3 4

4 b 4 4 b b 4 4 b b

2) Cho ba số tự nhiên a b c, , thỏa mãn a b là số nguyên tố và ab bc ca   3c2 Chứng minh 8c 1là số chính phương

Câu IV (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn O R; đường kính ABvà C là điểm thay đổi trên nửa đường tròn đó Ckhác A và B) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB

chứa nửa đường tròn vẽ các tia tiếp tuyến Axvà By Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt các tia Ax By, theo thứ tự tại D E, Gọi I là giao điểm của AEvà BD,

CI cắt ABtại H

1) Chứng minh CHsong song với BEvà I là trung điểm của đoạn thẳng CH

2) Đường tròn nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với cạnh ABtại K Chứng minh rằng KA KB CH CO 

3) Qua C vẽ đường thẳng song song với ABcắt tia Bytại F Gọi M là giao điểm của AFvà BC Xác định vị trí của điểm Ctrên nửa đường tròn O R; sao cho tam giác ABMcó diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R

Câu V (2,0 điểm) Cho a b, là các số thực dương Chứng minh rằng :

2

3

ĐÁP ÁN Câu I (4,0 điểm)

3) Rút gọn biểu thức :

.

P



     với x0,y0,x4,x1

.

2 2

2

P

x

y









4) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c  2 abc 1.

Tính giá trị biểu thức

Ta có 1  b 1  c  1  b c bc a 2 abc bc   a bc2  a bc

Tương tự ta cũng có : 1 c 1 a  b ca ; 1 a 1 b  c ab

Do đó Q a  abc b  abc c  abc abc2020 2021

Câu II (4,0 điểm)

5 2

3x  6x 6 3 2   x  7x 19 2  x

ĐKXĐ:

 2 2

1 3

x



Đặt

2

2

2

x b

x b

 



5 2

2 2

8 ( )

1( )













Vậy phương trình có nghiệm x 1

4) Giải hệ phương trình

2 2

2

4 2

2

2 6

1

x x



  









 ĐKXĐ: y 0 Cộng theo vế các phương trình của hệ ta có :

2

1 0

3

1

6 0 ( )

y

                     



  





  















Vậy hệ phương trình có tập nghiệm  ;  0;1 ; 2;1 ;  2;1

3

 

Câu III (4,0 điểm)

3) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a b, thỏa mãn phương trình

3 4

4 b 4 4 b b 4 4 b b

Đặt 3 2 b x, 23  b y Vì

2

x

  Ta có :

3 3

2 2

3

4

4 b 4 4 b b 4 4 b b x y xy x y



2 2

3 3 3

4

3

a

a

a

  

Vì b là số nguyên nên a3  4 3a a3  4a 4 a a1; 2; 4

Với a  1 4  b  1 b 3

Với

2

4

a

a





 

 thì b không là số nguyên

Vậy a b ,  1;3

4) Cho ba số tự nhiên a b c, , thỏa mãn a b là số nguyên tố và ab bc ca   3c2

Chứng minh 8c 1là số chính phương

Ta có ab bc ca  3c2  ab bc ca c   2 4c2  a c b c    4c2 *

Giả sử

b c d















Vì a b là số nguyên tố nên

1

d





  



  





  



      , thay vào (*) ta có        

y y a b  c  y y là số chính phương, mà yvà y 1là hai số tự nhiên liên tiếp nên

2

y  b c   c   c

Khi đó 8c  1 1là số chính phương

2

2 2 2

a c m

b c n

  





 

nguyên tố, mà m n m n    m n 1

Kết hợp với  * ta có      

2

2c mn n n   1  8c  1 4n n 1 1   2n 1 là số chính phương

Câu IV (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn O R; đường kính ABvà C là điểm thay đổi trên nửa đường tròn đó Ckhác A và B) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ ABchứa nửa đường tròn vẽ các tia tiếp tuyến Axvà By Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt các tia Ax By, theo thứ tự tại D E, Gọi I là giao điểm của AEvà BD,CI cắt ABtại H

K

J H

I

E

D

B O

A

C

4) Chứng minh CH song song với BEvà I là trung điểm của đoạn thẳng CH

Áp dụng định lý Ta-let ta có :

/ /

Mặt khác

DAEABD DA  hay I là trung điểm của CH

5) Đường tròn nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với cạnh ABtại K Chứng minh rằng KA KB CH CO 

Đường tròn  J nội tiếp ABCtiếp xúc với AB BC CA, , lần lượt tại K Q P, , Ta có

Tương tự ta cũng có :

6) Qua C vẽ đường thẳng song song với ABcắt tia Bytại F Gọi M là giao điểm của AFvà BC Xác định vị trí của điểm Ctrên nửa đường tròn

O R; sao cho tam giác ABMcó diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R

Kẻ MN ABtại N Dễ dàng chứng minh được BHCFlà hình chữ nhật Đặt BH x

Ta có

MN



Áp dụng bđt Cosi, ta có :

  2 2 2  1  

x R x

Suy ra 2

R

MN 

Diện tích ABM lớn nhất khi MN lớn nhất (vì ABcố định), hay 2

R

MN 

Dấu bằng xảy ra khi

2

2 2

3

R

Điểm C nằm trên nửa đường tròn (O) sao

cho

2

2

.2

AMB

Câu V (2,0 điểm) Cho a b, là các số thực dương Chứng minh rằng :

2

3

2

      Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có:

2

1

 

Áp dụng bất đẳng thức phụ x y z  23xy yz zx   ta có :

   Tương tự ta cũng có :

2

1

2

 

Từ  1 và (2) suy ra    

2

3

     Dấu bằng xảy ra khi 1