037 đề HSG toán 8 hoằng hóa 2014 2015

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm học: 2014-2015 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 16/03/2015 Bài 1 (4,5 điểm)

x



b) Tìm x khi

1 3

Q 

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q

Bài 2 (4,5 điểm)

2

1

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 2x2  x2

c) Tìm các giá trị ,x y nguyên dương sao cho : x2 y2 2y13

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Cho abc  và 1

b) Cho số tự nhiên n  Chứng minh rằng nếu 3. 2n 10a b a b  , ,0 b 10

thì tích ab chia hết cho 6

Bài 4 (5,0 điểm)

AD  BE  CF 

c) Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF

d) Gọi M N P Q I K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , ,, , , , , BC CA AB ,

EF FD DE Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ NI PK đồng quy tại một , , điểm

Bài 5 (1,0 điểm)

 2

b a  a b

Bài 6 (1,0 điểm)

Cho , ,a b c0;a b c   Chứng minh rằng: 3 2 2 2

3

ĐÁP ÁN Câu 1.

   

2

Q

b)

   

2 2

1

2

1 3

x

x





So sánh với điều kiện suy ra x  thì 2

1 3

Q 

1

; 1

Q

x x



2

Q đạt GTLN  x2 x đạt 1 2 1 3 1 

Lúc đó

4 3

Q 

Vậy GTLN của Q là

4 3

Q 

khi

1 2

x 

Câu 2 a) ĐK:

;

x x

2

2

0 ( )

1

2







 



b) Ta có

             

c) Ta có:

 

2

Do x y  1 x y  1 2y là số chẵn và ,2 x y   nên * x y   1 x y 1.Do đó

1

Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp : x y   và 1 6 x y  1 2

4

x

  và y  Vậy 1. x y ;  4;1

Câu 3.

a) Từ

Do đó:

Suy ra : a b b c c a     a b b c c a  2 2 2  

a b c

a b b c c a a b c      2 2 2 1 0

a b b c c a     0

Suy ra a b c 

Thật vậy , từ đẳng thức 2n 10a b  2n có chữ số tận cùng là b

Đặt n4k r k r  , ,0 r 3 ta có: 2n 16 2k r

Nếu r  thì 0 2n 2r 2 16r  k 1 10 2n

tận cùng là 2r Suy ra b2r  10a2n  2r 2 16r  k  1 3  a3 ab3

Từ  1 và  2 suy ra ab6

Câu 4.

K I

Q

M

H F

E

D

A

b) Ta có:

1 2

2

HBC

ABC

HD BC

S  AD BC AD

Tương tự

;

ABC ABC

BE S CF S

Do đó:

1

HBC HAC HAB ABC

c) Chứng minh được AEF ABC c g c   AEF ABC

Tương tự: DEC ABC  Do đó: AEF DEC

Mà AEF HEF DEC HED   900nên HEF HED

EH

Do đó H là giao các đường phân giác của tam giác DEF

1 2

EM  BC

(trung tuyến ứng với cạnh huyền), Tương tự:

1 2

FM  BC

MQ

Hoàn toàn tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường trung trực của tam giác

DEF nên ba đường thẳng MQ NI PK đồng quy tại một điểm, ,

Câu 5.

H

D A

B

C

Vẽ BH là đường cao của tam giác ABC

2

AD

AH

Tam giác ABC có BD là đường phân giác, ta có:

2

DA



Tam giác HAB vuông tại H, theo định lý Pytago ta có:

4

AD

Tam giác HBC vuông tại H, theo định lý Pytago, ta có:

2 2

2

2

4

AD

AD

Từ (1) và (2) ta có:

   

2

1 1

b a b a

Vậy bài toán dược chứng minh

Câu 6.

Do ,a b  và 0 1b2 2bvới mọi b nên:

b   b   b  

Mà a b c   nên 3 1 2 1 2 1 2 3 2 (1)

Cũng từ a b c   3 a b c  2 9

Mà a2 b2 2 ;ab b2 c2 2 ;bc c2 a2 2acnên a2 b2 c2 ab bc ca  Suy ra 3ab bc ca    9 ab bc ca  3 2 

Từ    1 , 2 suy ra 2 2 2

3

dfcm