Toan 9 ha hoa (21 22)

Trong một một cuộc thi đấu cờ quốc tế của trường THCS Nguyễn Du có hai bạn họcsinh lớp 8 và nhiều bạn học sinh lớp 9 tham gia.. Tính số học sinh lớp 9 đã tham dự, biết rằng số này là số

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2021- 2022 Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 3 trang)

Ghi chú:

- Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan chỉ có một lựa chọn đúng

- Thí sinh làm bài thi (cả phần trắc nghiệm và tự luận) trên tờ giấy thi (không làm bài

trên đề thi)

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1 Kí hiệu   x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Tìm số dư khi chia

3 5 2 3 5 2 2022

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua điểm A   2;3  và vuông góc với đường thẳng y3x22 có phương trình là

y x B 1 11

y x C 1 11

y x D 1 11

y x .

Câu 3 Rút gọn biểu thức 1 1 : 2 1 2

1

P

x



với x  ,0 1

4

x  và x  ta được1

A P x x 1

x

x

x

x

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm a để ba điểm M  2;1 ,  P    1; 8 ,  Q   4; a  1  thẳng hàng

Câu 5 Cho x y0; 0 là nghiệm của hệ 3

x y





 Số giá trị nguyên của m để

0

0

x

y



 nhận giá trị nguyên là

Câu 6 Bình xăng của một xe ô tô con là một hình hộp chữ nhật có kích thước

48cm56cm20cm Cho biết mức tiêu hao nhiên liệu của chiếc xe đó đi 100km đường hỗn hợp hết 8,7 lít xăng Hỏi khi đổ đầy bình thì chiếc xe đó có thể chạy được bao nhiêu km

đường hỗn hợp? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất theo đơn vị km)

A 613,9km B 615,9km C 614,9km D 617,9km

Trang 1/3

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 7 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD Giả sử trực tâm H là trung điểm của AD.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A cosAcos cos B C B cosAsin sin B C

C sinAcos cos B C D cosAcos sin B C

Câu 8 Số giá trị nguyên của m để phương trình  m  2  x2  4 x m    1 0 có 2 nghiệm phân biệt là

Câu 9 Cho các điểm A  2;4 ,  B   3;9  nằm trên đồ thị hàm số 2

y x Tính diện tích tam giác OAB.

A S OAB 10 B S OAB 15 C S OAB 25 D S OAB 30

Câu 10 Cho tam giác ABC có BAC   90 ;0 BC a C  ,      450 Vẽ trung tuyến AD, qua

A vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt đường thẳng BC tại K Tính độ dài CK.

A

2 2

cos

1 2sin

a





2 2

cos

1 2sin

a





2 2

sin

1 2sin

a





2 2

sin

1 2sin

a







Câu 11 Gọi T là tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

x  m  x m    có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn 2

1 1 2

3x  x  x Tính T

A 25

8

4

6

2

T  

Câu 12 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB,

BC Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I Tính diện tích tam giác CIN theo a.

A

2

8

CIN

a

2

12

CIN

a

2

20

CIN

a

2

18

CIN

a

Câu 13 Cho tam giác ABC nhọn có BAC   75 ;0  ACB  60 ;0 BC a  Tính độ dài đường cao

AH theo a.

2

a

AH    B 3 3

2

a

AH    C 1 3

2

a

AH    D 1 3

2

a

Câu 14 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Tỉ số r

BC lớn nhất bằng

A 2 2

2



2



2



2





Câu 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O cm ; 5  Tính độ dài cạnh BC biết

BAC 

A BC5cm B BC5 3 cm C 5 2 cm D 10 3 cm

Trang 2/3

Câu 16 Trong một một cuộc thi đấu cờ quốc tế của trường THCS Nguyễn Du có hai bạn học

sinh lớp 8 và nhiều bạn học sinh lớp 9 tham gia Theo điều lệ của cuộc thi, hai kỳ thủ bất kì phải đấu với nhau một ván cờ: người thắng được 1 điểm, người thua được 0 điểm, nếu hòa thì mỗi người nửa điểm Tính số học sinh lớp 9 đã tham dự, biết rằng số này là số lẻ, các bạn học sinh lớp 9 tham gia đều có số điểm bằng nhau và khác 0, còn hai bạn học sinh lớp 8 nhận được tổng cộng 10 điểm

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm):

a) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn 1 2 1

x  y  b) Cho 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 Chọn từ 625 số đó ra 311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625 Chứng minh rằng: Trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương

c) Một số tự nhiên được gọi là số “may mắn” nếu các chữ số của nó được chia thành 2

nhóm có tổng các chữ số bằng nhau Có tồn tại hay không số M để cả 3 số M M; 1;M 2

đều là số may mắn

Câu 2 (3,5 điểm):

a) Giải hệ phương trình:







b) Giải phương trình: 2x53x4 4x3 7x26x 2 0

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O R ;  có dây BC cố định Hai

đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên các đường phân giác trong và đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC Các tiếp tuyến

của  O R ; tại B, C cắt nhau tại P, AP cắt  O R ; ở Q khác A.

a) Chứng minh rằng MN là trung trực của EF.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng AP, MN, EF đồng quy.

c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC thì đường thẳng MN luôn đi qua

một điểm cố định

Câu 4 (1,0 điểm):

Cho x y z , , 0 thỏa mãn 1

2

xyz  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S x y z xy yz zx 2021

- HẾT

-Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

Cán bộ coi thị không giải thích gì thêm.

Trang 3/3

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

HƯỚNG DẪN:

Câu 1 Kí hiệu   x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Tìm số dư khi chia

3 5 2 3 5 2 2022

HD:

3

2022

1011

3 5 2 3 5 2 5 5 m m  1



Mặt khác 51011 125337  1  337 mod 7  51011 7 k 1  k    2

Từ     1 , 2  5 m  7 k  1  5  m  3   7  k  2   m   3 7 t

Chọn D

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua điểm A   2;3  và vuông góc với đường thẳng y3x22 có phương trình là:

y x B 1 11

y x C 1 11

y x D 1 11

y x .

HD: Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y3x22 có dạng 1

3

y  x b  Do d

qua A   2;3 nên 3 1 2   3 2 11 : 1 11

Trang 4/3

Câu 3 Rút gọn biểu thức 1 1 : 2 1 2

1

P

x



với x 0 ,

1

4

x  và x 1 ta được

A P x x 1

x

x

x

x

HD:

: 1

1 :

1

P

x

x x

x

x







2 1 1

x



=> chọn C

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm a để ba điểm M  2;1 ,  P    1; 8 ,  Q   4; a  1 

thẳng hàng

HD: Viết được phương trình MP y :  3 x  5 Vì ba điểm M  2;1 ,  P    1; 8 ,  Q   4; a  1  thẳng hàng nên a  1 3 4      5  a  16  chọn A.

Câu 5 Cho x y0; 0 là nghiệm của hệ 3

x y





 Số giá trị nguyên của m để

0

0

x

y



 nhận giá trị nguyên là

HD: Tính được 0

0

1 2

 





 



m

Câu 6 Bình xăng của một xe ô tô con là một hình hộp chữ nhật có kích thước

48cm56cm20cm Cho biết mức tiêu hao nhiên liệu của chiếc xe đó đi 100km đường hỗn

Trang 5/3

hợp hết 8,7 lít xăng Hỏi khi đổ đầy bình thì chiếc xe đó có thể chạy được bao nhiêu km

đường hỗn hợp? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất theo đơn vị km)

A 613,9km B 615,9km C 614,9km D 617,9km

HD: Thể tích bình xăng là 48.56.20 53760 cm3 53,760 l

Do đó số km đi đường hỗn hợp: 53,76 :8,7 617,9 km     chọn D.

Câu 7 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD Giả sử trực tâm H là trung điểm của AD Khẳng định nào sau đây đúng?

A cosAcos cos B C B cosAsin sin B C

C sinAcos cos B C D cosAcos sin B C

HD: Theo ĐL Menelaus

AE CB DH

AE CB EC BD

EC BD HA

cosA cos cosB C

Câu 8 Số giá trị nguyên của m để phương trình  m  2  x2  4 x m    1 0 có 2 nghiệm phân biệt là

HD: Phương trình  m  2  x2  4 x m    1 0 có 2 nghiệm phân

2 0

' 0

m



 

 1;0;1 

m

Câu 9 Cho các điểm A  2;4 ,  B   3;9  nằm trên đồ thị hàm số 2

y x Tính diện tích tam giác OAB.

A S OAB 10 B S OAB 15 C S OAB 25 D S OAB 30

HD: Lấy C   3;0 ,  D  2;0 

15

Câu 10 Cho tam giác ABC có  BAC  90 ;0 BC a C  ,      450

Vẽ trung tuyến AD, qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt

đường thẳng BC tại K Tính độ dài CK

A

2 2

cos

1 2sin

a





2 2

cos

1 2sin

a





2 2

sin

1 2sin

a





2 2

sin

1 2sin

a







ADC



Chứng minh được cos2    1 2sin2

Trang 6/3

H E

B A

K

D C

B A

Do đó

2

2 2

cos

Câu 11 Gọi Tlà tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

x  m  x m    có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn 2

1 1 2

3x  x  x Tính T

A 25

8

4

6

2

T  

Câu 12 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB,

BC Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I Tính diện tích tam giác CIN theo a.

A

2

8

CIN

a

2

12

CIN

a

2

20

CIN

a

2

18

CIN

a

HD: Chỉ ra được CIN   900

Ta có

2

2 2

4

CIN

CIN CBM

a

a

a

 chọn C

Câu 13 Cho tam giác ABC nhọn có BAC   75 ;0  ACB  60 ;0 BC a  Tính độ dài đường cao

AH theo a.

2

a

AH    B 3 3

2

a

AH    C 1 3

2

a

AH    D 1 3

2

a

HD: Ta có

BC AH

B



Trang 7/3

M

B A

B

A

 

1

3

a

Câu 14 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Tỉ số r

BC lớn nhất bằng

A 2 2

2



2



2



2





HD:

r

Theo Py-ta-go: b2 c2 a2, theo Cauchy-Schwarz:  b c  2  2  b2  c2  2 a2 b c a   2

2 1

2

r

a



  Dấu đẳng thức xảy ra khi ABC vuông cân tại A. chọn C

Câu 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O cm ;5  Tính độ dài cạnh BC biết

BAC 

A BC5cm B BC5 3 cm C 5 2 cm D 10 3 cm

2

 chọn B

Câu 16 Trong một một cuộc thi đấu cờ quốc tế của trường THCS Nguyễn Du có hai bạn học

sinh lớp 8 và một số bạn học sinh lớp 9 tham gia Theo thể lệ của cuộc thi, hai kỳ thủ bất kì phải đấu với nhau một ván cờ: người thắng được 1 điểm, người thua được 0 điểm, nếu hòa thì mỗi người nửa điểm Tính số học sinh lớp 9 đã tham dự, biết rằng số này là số

lẻ, các bạn học sinh lớp 9 tham gia đều có số điểm bằng nhau và khác 0, còn hai bạn học sinh lớp 8 nhận được tổng cộng 10 điểm.

HD: Gọi x là số HS lớp 9 tham dự và y là số điểm mà mỗi HS lớp 9 đạt được với

Từ giả thiết ta có  2   1 

10 2

xy

  Từ đó tìm được  x y  ;   9;5 

 chọn D

Trang 8/3

60°

10cm

120°

D

C B

A

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

1 a) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn 1 2 1

ĐK: x  1; y  2

Khi đó

   

0,25

0,25

Vìx y , nên x 4;y 8 Ư  18 

Từ đó tìm được

14; 7 ; 5; 6 ; 2; 5 ; 2;1 ; 3;10 ; 5; 26 ;

;

6; 17 ; 7; 14 ; 10; 11 ; 13; 10 ; 22; 9

0,5

b) Cho 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 Chọn từ 625 số đó ra

311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625 Chứng minh rằng:

Trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương

1,0

Ta chia 625 số tự nhiên đã cho thành 311 nhóm như sau:

Nhóm A311 gồm 5 số chính phương 49, 225, 400,576;625 

Các nhóm A A A1; ; ; ;2 3 A310 mỗi nhóm gồm 2 số hạng k; 625 k tức là

mỗi nhóm có hai số hạng có tổng bằng 625 sao cho kA311

0,25

Nếu trong 311 số được chọn không có số nào thuộc nhóm A311 thì cả 311

Theo nguyên tắc Dirichlet trong 311 số đó tồn tại ít nhất một cặp gồm hai

số thuộc cùng một nhóm Hai số này có tổng bằng 625 => Điều này mẫu

thuẫn với giả thiết

0,25

Vậy trong 311 số được chọn phải có ít nhất một số thuộc nhóm A311 Số

c) Một số tự nhiên được gọi là số “may mắn” nếu các chữ số của nó được

chia thành 2 nhóm có tổng các chữ số bằng nhau Có tồn tại hay không số

M để cả 3 số M M; 1;M 2 đều là số may mắn

1,0

Nếu một số là số “may mắn” thì tổng các chữa số của nó luôn là số chẵn

Giả sử cả 3 số M M; 1;M 2 đều là số may mắn

0,25

Trang 9/3

Ta kí hiệu S X   là tổng các chữ số của số tự nhiên.

  2;  1 2;   2 2 

Ta có M và M 1 là số may mắn

Nếu M có chữ số tận cùng khác 9

 1    1  1 2 

       (vì S M    2 ) mâu thuẫn với

 1 2 

S M    M tận cùng là 9 (1)

0,25

Ta có M 1 và M 2 là số may mắn

Nếu M 1có chữ số tận cùng khác 9

 2   1  1  2 2 

        (vì S M    2 ) mâu

thuẫn với S M   2 2    M  1tận cùng là 9 (2)

0,25

Từ (1), (2)  M M ,  1 cùng có tận cùng là 9  vô lý  Giả sử ban

đầu sai

Vậy không số M để cả 3 số M M; 1;M 2 đều là số may mắn

0,25

2

a) Giải hệ phương trình:







1,5

ĐKXĐ: 3 2 2

x









0,25

Biến đổi

3 3

2 2

2

2

3

x

        

0,5

Với ĐK

2 2

3

Dấu đẳng thức xảy ra khi

2

1 0 2

y

















(loại)

0,25

Do đó x y  1 0  y x 1 , thay vào PT thứ hai của hệ được 0,5

Trang 10/3

   

2 2

để (*) có nghiệm thì dấu bằng phải đồng thời xảy ra  x  3  t m / 

Từ đó tìm được  x y  ;   3;2 

b) Giải phương trình: 2x53x44x3 7x26x 2 0 2,0

1,0

x

 



 



0,25

2

Với x42x33x2 2x 2 0

=> Phương trình vô nghiệm vì x2x2x 12x2   1 0 x R

Vậy tập nghiệm của PT là 1

2

S    

 

0,5

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O R ; 

có dây BC cố định Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi M, N thứ

tự là hình chiếu vuông góc của H trên các đường phân giác trong và

đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC Các tiếp tuyến của

 O R ; tại B, C cắt nhau tại P, AP cắt  O R ; ở Q khác A.

a) Chứng minh rằng MN là trung trực của EF.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng AP, MN, EF đồng quy.

c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC thì đường thẳng

MN luôn đi qua một điểm cố định.

Trang 11/3

a) Chứng minh rằng MN là trung trực của EF. 1,5

Có  AFH   AEH   AMH   ANH  900  E F M N , , , cùng thuộc

đường tròn đường kính AH.

Chỉ ra N A E M H F, , , , , cùng thuộc đường tròn đường kính AH

0,5

2

Do AM và AN là các đường phân giác góc trong và góc ngoài tại A của

tam giác ABC nên NAM   900

0,5

Vì tứ giác ANFM nội tiếp đường tròn đường kính AH nên

Tương tự tứ giác ANME nội tiếp đường tròn đường kính AH nên

Do đó  MNF  MNE c h c g v     EN  FN   2

Từ     1 , 2  MN là trung trực của EF

0,5

b) Chứng minh rằng các đường thẳng AP, MN, EF đồng quy. 1,5

Gọi S là trung điểm của EF; Giả sử AP cắt EF tại S’

Chỉ ra: AFS' đồng dạng AQB '   3

'

'

AES

 đồng dạng AQC '   4

'

0,5

Mặt khác theo TC phân giác BQ QC   5

Từ       3 , 4 , 5  FS ' ES'   S' S 

c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC thì đường thẳng MN

luôn đi qua một điểm cố định

1,0

Trang 12/3

S H I

Q

K O

P

N

M F

E

C B

A

Gọi I là trung điểm của AH  I là tâm của đường tròn đi qua các điểm

, , , , ,

Gọi K là trung điểm của BC  KE KF (tính chất tam giác vuông)

0,5

 IK là đường trung trực của FE ;

Mặt khác MN là đường trung trực của FE Do đó đường thẳng MN đi qua

K cố định

0,5 Câu 4 (1,0 điểm):

Cho x y z , , 0 thỏa mãn 1

2

xyz  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1,0

Theo BĐT Cauchy-Schwarz

2

x y z

2

1

2

0,25

Mặt khác

4

x xyz x y z x yz x yz x yz x yz

0,25

Làm tương tự có

4

y xyz x y z xy z x y z x yz x y z

4

z

Từ đó suy ra

2

2

xyz x y z

0,25

Trang 13/3

(Vì 1  2 2 2  1  2 2 2 2 2 2

2021

Dấu đẳng thức xảy ra khi 31

2

x y z   

Vậy maxS 2021 khi 31

2

x y z   

0,25

Lưu ý:

- Tổng điểm chấm tính đến 0,25, không làm tròn

- HS làm đúng theo cách khác đáp án vẫn cho điểm tối đa ứng với phần làm đúng

Hết

-Trang 14/3