012 đề hsg toán 9 tây ninh 21 22

Tìm các giá trị nguyên của mđể  P cắt d tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số dương.. Tính ABC b Cho hình vuông ABCD.Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC, và Elà

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH TÂY NINH MÔN TOÁN – LỚP 9 – NĂM HỌC 2021-2022 Câu 1 (4,0 điểm)

a) Cho x y, là các số tự nhiên sao cho x2y22xy x 3y2là một số chính phương Tính giá trị của biểu thức S 5x 5y2022

b) Cho a b c, , là các số tự nhiên thỏa mãn a b c   30 Tìm dư của phép chia

5 5 5 2022

a b c  cho 30

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho parabol  P y: 3x2và đường thẳng  d :y10 4 m x  3m 7mlà tham số) Tìm các giá trị nguyên của mđể  P cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số dương

b) Giải phương trình 2x1 4 x2 4x 3 4x21

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Cho xlà số thực thỏa mãn

2

2

3 x Rút gọn biểu thức :

3 2 4 3 2 3 2 4 3 2

T  x  x  x  x

b) Cho a b c, , lần lượt là độ dài các cạnh của một tam giác và thỏa mãn

1

a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  27a2 b2 c2 108abc

Câu 4 (4.0 điểm)

a) Cho tam giác ABCvuông tại A có trọng tâm Gvà BDlà đường phân giác của

ABC D AC

  Biết GDC 90  Tính ABC

b) Cho hình vuông ABCD.Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC,

và Elà giao điểm của CM DN, .Chứng minh tam giác AEDcân

Câu 5 (4,0 điểm)

a) Cho điểm Anằm ngoài đường tròn  T ,tâm O Từ điểm Avẽ các tiếp tuyến

,

AB ACvới  T ,(Bvà C là các tiếp điểm) Gọi M là trung điểm của AB CM, cắt  T tại điểm D (D khác C) Tính 2

.

CD CM BC

b) Cho tam giác ABC AB AC  có trọng tâm Gvà có diện tích bằng 2022.Xét đường thẳng dthay đổi đi qua điểm Gvà cắt các cạnh AB AC, của tam giác lần lượt tại Dvà E Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BDE

và CDE

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

c) Cho x y, là các số tự nhiên sao cho x2y22xy x 3y2là một số chính phương Tính giá trị của biểu thức S5x 5y2022

Đặt M x2y22xy x 3y2

Ta có M x22xy y 2 M x y 2

Mà M x2y22xy4x4y 4 M x y 22

Ta lại có : x y  2, x y 1 , 2 x y 22là các số chính phương liên tiếp

Suy ra M x y 12  x y 1

Do đó S 5x 5y2022 2027

d) Cho a b c, , là các số tự nhiên thỏa mãn a b c  30 Tìm dư của phép chia

5 5 5 2022

a b c  cho 30

Ta có a5  a a a  4  1a 1 a a 1 a2  1

Do a1 a a1chia hết cho 6

Nếu achia cho 5 được dư 1;0;4thì a1 a a1chia hết cho 5

Nếu achia cho 5 dư 2 thì a2 1 a 2 a25chia hết cho 5

Nếu achia cho 5 được dư là 3 thì a2 1 a 3 a310chia hết cho 5

Do 5;6 1nên a5 a b; 5 b c; 5 cđều chia hết cho 30

Khi đó a5 b5 c5  2022 a5  a  b5  b  c5  c 68.30 12 

Vậy dư của phép chia a5 b5 c5  2022cho 30 là 12

Câu 2 (4,0 điểm)

c) Cho parabol  P y: 3x2và đường thẳng  d :y10 4 m x  3m 7mlà tham số) Tìm các giá trị nguyên của mđể  P cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số dương.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình

3x  10 4  m x 3m 7  3x  2 5 2  m x 3m  7 0 *

Yêu cầu bài toán được thỏa khi  * có hai nghiệm phân biệt đều dương Điều này xảy ra khi :

 

 

2

5

2 5 2

0

2 3

m

m S

 



 









Do m nguyên nên từ (2) suy ra m2,m1,m0,m1,m2

Lần lượt thay m2,m1,m0,m1,m2vào  1 ta thấy m2,m1,m0thỏa mãn

d) Giải phương trình 2x1 4 x2 4x 3 4x2 1

Điều kiện

1 2

x 

Phương trình đã cho tương đương với :

2

2

2

2

1 2

2



 



Vậy

1 2

2

Câu 3 (4,0 điểm)

c) Cho xlà số thực thỏa mãn

2

2

3 x Rút gọn biểu thức :

3 2 4 3 2 3 2 4 3 2

T  x  x  x  x

Ta có T  3x 2 4 3 x 2 4  3x 2 4 3 x 2 4

 3x 2 22  3x 2 22 3x 2 2 3x 2 2 3x 2 2 3x 2 2

Do

2

3  x x  

Vậy T  3x 2 2 2   3x 2 4

d) Cho a b c, , lần lượt là độ dài các cạnh của một tam giác và thỏa mãn

1

a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  27a2 b2 c2 108abc

Ta có : a2 b c 2 a2  a b c a b c      a2

Tương tự : b a c b a c       b2, c a b c a b       c2

Từ đó suy ra abca b c b c a c a b           Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b c  Do a b c   1nên ta có :

1 4

9 9

2

M  a b c   ab bc ca    ab bc ca 

Hay M 15 6 ab bc ca  

2 3

a b c   ab bc ca  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

3

M   a b c   M  khi a b c  

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 13

Câu 4 (4.0 điểm)

c) Cho tam giác ABCvuông tại A có trọng tâm Gvà BDlà đường phân giác của ABC D AC  .Biết GDC 90  Tính ABC

E

D

G

M

A

B

C

Đặt Mlà trung điểm của BCvà E là trung điểm của AG

Do

1

2

EG AG

nên EADcân tại E, suy ra EDAEAD 1

Do

1

2

AM  BC

nên MACcân tại M, suy ra MACMCA 2

Từ (1) và (2) suy ra EDAMCA Khi đó

1 / /

2

DA EA

ED MC

DC EM

Do tính chất phân giác, ta có .

AB DA

BC DC Suy ra

1 2

AB

BC  hay ABC 60 

d) Cho hình vuông ABCD.Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh

,

AB BCvà Elà giao điểm của CM DN, .Chứng minh tam giác AEDcân

P H

N

M

C

D A

B

Đặt Plà trung điểm của CD H, là giao điểm của APvà DN

Ta có tứ giác APCM là hình bình hành (vì AM CPvà AM / /CP)nên PH/ /CE

Suy ra PHlà đường trung bình của tam giác CDEhay H là trung điểm của DE

Do đó AHlà đường trung tuyến của tam giác AED(3)

Ta lại có PADNDC(vì PADNDC)mà PAD APD90

Suy ra NDC APD 90 hay AH DE 4

Từ (3), (4) suy ra AEDvừa là trung tuyến vừa là đường cao nên AEDcân tại H

Câu 5 (4,0 điểm)

c) Cho điểm Anằm ngoài đường tròn  T ,tâm O Từ điểm Avẽ các tiếp tuyến AB AC, với  T ,(Bvà C là các tiếp điểm) Gọi M là trung điểm của

,

AB CM cắt  T tại điểm D (D khác C) Tính 2

.

CD CM BC

E

D M

C

B

O

A

Đặt Elà điểm đối xứng của C qua M

Do ACEBEC(BCAElà hình bình hành) và ACECBD(cùng chắn cung CD). CBDBEChay CBD∽ CEB

2

2

BC CD CE BC CD CM

d) Cho tam giác ABC AB AC  có trọng tâm Gvà có diện tích bằng 2022.

Xét đường thẳng dthay đổi đi qua điểm Gvà cắt các cạnh AB AC, của tam giác lần lượt tại Dvà E Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BDEvà CDE

K I

Q T

H P

G

M

A

B

C

Đặt M là trung điểm của BC Kẻ BI CK, cùng song song với d I K , AM.Kẻ

, , ,

BP AH MT CQcùng vuông góc với d (P H T Q d, , ,  ).dt: diện tích

Ta có : MIBMKC MI MK Ta lại có :

2

3

AB AC AI AK AM IM AM MK AM

S S  DE BP CQ DE MT  DE AH S

.

ABC



Mà

2

  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

AD AE

AB AC

ABC

S



2696

/ / 3

AD AE

AB AC

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BDE CDE, bằng

2696 3