Chứng minh rằng cả ax by hai số x,y đều chia hết cho P.. 5,0 điểm Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì thuộc đường kính AB E khác A và B.. Vẽ đường tròn O’ đường k
Trang 1http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN PHÙ NINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2011 - 2012
Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 07/02/2012
Bài 1 (4 điểm)
1 Rút gọn biểu thức A = 3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
2 Cho biểu thức B = x 2 4 x
Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng
Bài 2 (3,0 điểm):
Tìm x biết : 2 1 2 1 1 3 2
x x x x x x
Bài 3 (1,5 điểm)
Bài 4 (1,5 điểm)
Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2là số nguyên tố chia hết
cho 8 Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn 2 2 chia hết cho P Chứng minh rằng cả
ax by
hai số x,y đều chia hết cho P
Bài 5 (5,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì thuộc đường kính
AB (E khác A và B) Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) tại I Chứng minh rằng:
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng
b) HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
c) ∆CHO = ∆HIO’
d) 2 2 2 2 không đổi khi E chuyển động trên đường kính AB
HA + HB + HC + HD
Bài 6 (2,0 điểm)
Cho (O; R) và hai điểm A, B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R 2 Tìm vị trí điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+ 2MB đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 7 (1,0 điểm)
Bài 8 ( 1,0 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có: x22 y22 z22 2x22 2y22 2z2 2
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN PHÙ NINH HD HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9 CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI
NĂM HỌC 2011 - 2012 Ngày thi: 07/02/2012 Bài 1 (4 điểm)
1 Rút gọn biểu thức A = 3 5 3 5 (2 điểm)
2 2 3 5 2 2 3 5
2 Cho biểu thức B = x 2 4 x
Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng (2 điểm)
Bài 1 (4 điểm)
1/ (2 điểm)
A = 3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
Nhân tử và mẫu mỗi phân thức cho 2 ta có:
A= 2(3 5) 2(3 5) ……… ………….0,5 đ
4 6 2 5 4 6 2 5
2
4 ( 5 1) 4 ( 5 1)
A= 3 5 3 5 ……….…0,25 đ
A = (3 5)(5 5) (3 5)(5 5) ……….…0,25 đ
2
(5 5)(5 5)
A = 15 3 5 5 5 5 15 3 5 5 5 5……… 0.25 đ
2
25 5
A = 2.20
20
A = 2 ……… … 0,25 đ
2/ Cho biểu thức: B = x 2 4 x
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B và giá trị x tương ứng(2 điểm)
Với điều kiện xác định: 2 x 4 Ta có B 0 ……….….…0,25 đ
B2 = 2 +2 (x 2)(4 x)……….… 0,25 đ
( x 2 4 x) 0
x – 2 + 4 – x 2 (x 2)(4 x)………0,25 đ
Do đó: B2 =2 + 2 (x 2)(4 x) 2+2 ………0,25 đ B2 4……… 0,25 đ
B 2………0,25 đ
Vậy B lớn nhất là bằng 2……….0,25 đ
khi x - 2 = 4 - x x = 3……….………… 0,25 đ
Trang 3http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 3
Bài 2 (3,0 điểm): Tìm x biết : 2 1 2 1 1 3 2
x x x x x x
Bài 2 (3,0 điểm):
x x x x x x
(2 ) (2 1)
x x x x x x
……… … 0,25 đ
4x 1 2 4x 4x 1 (x 1)(2x 1)
……….…….0,25 đ
(2x 1)(2x 1) 2 2x 1 (x 1)(2x 1)
Vế trái không âm, x2+1 dương nên 2x+1 không âm……….…….0,25 đ
……….……0,25 đ
(2x 1)(2x 1) 2(2x 1) (x 1)(2x 1)
……….0,25 đ
(2x 1)(2x 1) (x 1)(2x 1)
……….0,25 đ
(2x 1) (x 1)(2x 1)
2x 1 (x 1)(2x 1)
(2x 1)(x 1 1) 0
2x+1=0 hoặc x2 =0……… 0,25 đ
x = hoặc x = 0 (thỏa điều kiện)………0,25 đ
2
Bài 3: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình : 1 1 1 1
ĐKXĐ của hệ phương trình x y z; ; 0
Đặt 6 x 1 3 y 1 2 z 1 xyz 1 =a
3
0,5
3
Nếu xyz=1 thì x=y=z=1
Nếu xyz=-1 thì x=y=z=-1
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y;z) là: (1;1;1),(-1;-1;-1) 0,5
Bài 4: (1,5 điểm) Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2là số nguyên tố
Pa b
chia hết cho 8 Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn chia hết cho P Chứng
5
ax by
minh rằng cả hai số x,y đều chia hết cho P
Đặt P=8k+5 ( k là số tự nhiên)
Ta có 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 8 4 4 2 8 4
4 2 4 2 8 4 4 2 8 4 8 4
.
Trang 4Mà 4k 2 4k 2 2 2k 1 2 2k 1 2 2 và b<P
*
-Nếu trong hai số x,y có một số chia hất cho P thì từ (*) ta suy ra số
- Nếu cả hai không chia hết cho P , theo định lý Fec- ma ta có
mâu thuẫn với (*)
Vậy cả hai số x,y cùng chia hết cho P 0,5
Bài 5 (5,0 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì thuộc
đường kính AB (E khác A và B) Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O)
và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’)
tại I Chứng minh rằng:
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng
b) HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
c) ∆CHO = ∆HIO’
d) 2 2 2 2 không đổi
HA + HB + HC + HD
khi E chuyển động trên đường kính AB
H
I
O' O
E
D
C
B A
0,5đ
a) (1,5đ) Tứ giác ACED là hình thoi (vì hai đường chéo vuông góc và cắt nhau
tại trung điểm) => AC // DE
Mà AC BC => DE BC (1)
I thuộc (O’) => EI IB hay EI BC (2)
Từ (1) và (2) => D, E, I thẳng hàng (đpcm)
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ b) (1,0đ)
Vì HID HDI và O ' IB Bmà DB (cùng phụ với BCD ) HID O ' IB
Do đó: 0, suy ra HI là tiếp tuyến của (O’)
HIO 90
0,5đ 0,5đ c) (1,0đ)
Xét 2 tam giác vuông HCO và IHO’ có HC = HI (vì cùng = HD) (3)
Ta có OC =R(O)
HO’ = HE + EO’ = 1/2AE + 1/2EB = 1/2.2R(O)= R(O)
=> OC = HO’ (4)
Từ (3) và (4) => ΔHCO = ΔIHO' (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
0,5đ
0,5đ d) (1,0đ)
Ta có: HA2 + HB2 = AC2 ; HC2 + HD2 = BD2
Mà BD = BC (do AB là đường trung trực của CD)
Nên HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = AC2 + BC2
Mặt khác: ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB ACB vuông tại C
AC2 + BC2 = AB2 = 4R2
Vậy, tổng HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 không đổi khi E chuyển động trên
đường kính AB
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 6 (2,0 điểm): Cho (O; R) và hai điểm A, B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho
OA = R 2 Tìm vị trí điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+ 2MB đạt giá trị nhỏ nhất?
Trang 5http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 5
Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng OA với (O; R)
Trên đoạn OC lấy điểm N sao choOC
2
ON
Suy ra OC OM OA 2suy ra ~
ON ON OM MOA NOM
(c.g.c)
MA
MN
(không đổi)
Dấu “=” xẩy ra khi M thuộc đoạn NB Vậy M là
giao điểm của đoạn NB với đường tròn (O; R)
B
C A N
M
O
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
Bài 7 (1,0 điểm) Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng a b c 2
Chứng minh tương tự ta được
;
0,25
2
a b c
Dấu bằng xảy ra 0(Trái với giả thiết)
Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm
0,5
Bài 8 ( 1,0 điểm) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn Chứng
minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có: x22 y22 z22 2x22 2y22 2z2 2
Vì a 2 b 2 c 2 0ta có:
2 2 2
a b c
0,5 (*)
Giả sử a b c thì 2 2 2 2 Với cạnh c lớn nhất
c a 0; c b 0 ACB
nhọn (gt) do vậy kẻ đường cao BH ta có 2 2 2 2 2 2 2 từ đó suy ra
c BH HA BC CA a b
biểu thức (*) là không âm suy ra điều phải chứng minh 0,5