Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 1PHềNG GD&ĐT PHÙ NINH
đề thi CHỌN học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2011 - 2012 Môn: Toán
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,0đ):
a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố
A = n3 + n - n2 -1 b/ Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số chính phương chẵn
B = x2 2x 199 +2
Bài 2 (4,0đ).
Rút gọn các biểu thức
a/ M = 2 3 2 2 3 2 2 3
b/ N = (với 2 ;x 3)
1 2
2 2 1
x
x x
Bài 3 (4 ,0 đ):
Giải các phương trình sau
a/ (x +2) x 3 = 0
b/ ( x2 - x +2011)3 = x6 - (x -2011)3
Bài 4 (6,0đ)
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC vuông góc với BD, hạ BH vuông góc với CD (H CD).
a/ Nếu AB // CD và qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC tại E Khi đó tính độ dài
AC biết BH = 4cm ; BD = 5cm
b/ Nếu AB = CD ; AO = AC, Tính diện tích tứ giác ABCD biết diện tích tam giác
2
1
3 1
AOB bằng 4cm2 (O là giao điểm của AC và BD)
Bài 5 (2,0đ):
Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn: x3 + y4 x 2 +y3
Chứng minh rằng: x2 + y3 x + y 2
Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh : Phòng thi
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2PHềNG GD&ĐT PHÙ NINH Năm học 2011 - 2012 Bài 1 (4đ):
a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố
A = n3 + n - n2 -1 b/ Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số chính phương chẵn
B = x2 2x 199 +2 Hướng dẫn:
a/ A = (n -1)(n2+1)
Vì n- 1< n2 +1 nên để A có giá trị là số nguyên tố thì
từ đó => n=2 => P= n2 +1 =4+1 = 5
P
n
n
1
1
1
2
Đáp số: n= 2 ; P =5
b/ Ta đặt B = (2n)2 = x2 2x 199 +2 (n N)
4.n2 = 2 +2 + 2 14 +2 =16
) 1 (
n2 4 n 2 n 0 ; 1 ; 2 x 15 ; 3 ; 1 ; 13
Đáp số: x 15 ; 3 ; 1 ; 13
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
Bài 2 (4,0đ).
Rút gọn các biểu thức: a/ M = 2 3 2 2 3 2 2 3
b/ N = (với 2 ;x 3)
1 2
2 2 1
x
x x
Hướng dẫn:
a/ M = 2 3 22 ( 2 3 ) = ( 2 3 )( 2 3 ) = 4 3=1
b/ Đặt : x 2 = a, a 0; x = a 2+ 2 => a # 1
1
)
1
a
a
1
1
a a
+/ Nếu : a 1 x 2 ,x 3 ; M = 1
1
1
a a
+/ Nếu : 0 a 1 2 x<3 ,; M = =-1
1
) 1 (
a a
Đáp số: a/ M = 1
b/ N =
3 0
1
3 ,
2 1
x neu
x neux
2,0đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
Bài 3 (4 ,0 đ):
Giải các phương trình sau
a/ (x +2) x 3 = 0
b/ ( x2 - x +2011)3 = x6 - (x -2011)3
Hướng dẫn:
a/ Điều kiện : x 3
Từ pt đã cho ta có: x +2 = 0 hoặc x 3= 0
x = -2 (Loại ) hoặc x= 3
vậy nghiệm phương trình là x =3
0,5đ
1,5đ
Trang 3b/ áp dụng hằng đẳng thức :
(a- b)3 = a3 -3a2b +3ab2 -b3 = a3 -3ab(a -b) -b3
Ta có: VT= [(x2 -(x-2011)]3 = x6 -3x2(x-2011)( x2 - x +2011)- (x-2011)3
Pt x6 -3x2(x-2011)( x2 - x +2011)- (x-2011)3 = x6 - (x -2011)3
3x2(x-2011)( x2 - x +2011) = 0 x= 0 hoặc x= 2011
x2 - x +2011 = 0 vô nghiệm vì :x2 - x +2011 =(x- )2 +2010 >0
2
1
4 3
Vậy nghiệm phương trình là : x= 0 hoặc x= 2011
0.5đ
0.5đ
0,5đ 0,5đ
Bài 4 (6,0đ)
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC vuông góc với BD, hạ BH vuông góc với CD (H CD).
a/ Nếu AB // CD và qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC tại E.Khi đó tính độ dài
AC biết BH = 4cm ; BD = 5cm
b/ Nếu AB = CD ; AO = AC , Tính diện tích tứ giác ABCD biết diện tích tam giác
2
1
3 1
AOB bằng 4cm2 (O là giao điểm của AC và BD)
Hướng dẫn:
a/ Ta có : Tứ giác ABEC là hình bình
hành và AC BD => BD BE tại E,
và AC = BE ,áp dụng hệ thức lượng
trong tam giác vuông BDE ta có:
2
1
1
1
BE
AC = BE = cm
3 20
4cm2
5cm
4cm
O
C D
E
H
0,5đ 1,0đ
b/ Vì AB = .CD ; AO = AC =>AO = OC
2
1
3
1
2 1
OC
AO
CD AB
2 1
=> => ABO CDO (Cạnh huyền -Cạnh góc vuông)
CO
CD
=> = => SCOD = 4.SAOB = 4.4 =16 cm2
CDO
AOB
S
S
4
1
+ Vì OC = 2.OA => SBOC = 2.4 = 8cm2 ; SAOD = 16 = 8 cm2
2 1
Vậy: SABCD = 16 + 8 +8 + 4 = 36cm2
0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ
1,0đ
Bài 5 (2,0đ):
Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn: x3 + y4 x 2 +y3
Chứng minh rằng: x2 + y3 x + y 2
Hướng dẫn:
Bài toán Cho C D Chứng minh :A B
Ta CM: (B - A )+ (C - D) 0
Thật vậy :
Xét : x + y2 - (x2 + y3) + x3 + y4 -(x2 +y3.)
= x.(x2 -2x +1) + y2.(y2 -2y +1) = x.(x-1)2 + y2.(y-1)2 0
x + y2 - (x2 + y3) 0 x 2 + y3 x + y 2
0,5đ 0,5đ
1,0đ
