Toan 9 phu ninh (21 22)

Có bao nhiêu dây của đường tròn tâm O đi qua C có độ dài là một số nguyên: A.. Người ta đào một con mương có thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy và cạnh bên có cùng độ dài l

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 03 trang)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm)

Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm

Câu 1 Cho x 3 3 2 2 33 2 2 ; y 317 12 2 317 12 2 Khi đó giá trị của biểu thức 3 3

P x y  x y  bằng:

A P 2059. B P 2060. C P 2061. D P 2062.

Câu 2 Tích các nghiệm của phương trình 1 4 2 3

x x x x

là

A 75. B 45. C 90. D 150.

Câu 3 Biểu thức 2

1

x P

x





 xác định khi:

A   1 x 2 B   1 x 2 C x  1 và x 2. D   1 x 2.

Câu 4 Tổng các giá trị nguyên của m để phương trình m x (2 1) 5 có nghiệm lớn hơn 1 và nhỏ hơn 3là:

A 10 B 9 C 8 D 7.

Câu 5 Hình thang cân ABCD có đáy AB 25cm, cạnh bên AD 15cm Đường chéo AC

vuông góc với cạnh bên BC Diện tích của hình thang ABCD bằng:

A 192cm2 B 408cm2 C 384cm2 D 246cm2

Câu 6 Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O, AC 4cm, BD 5cm, AOB 600 Diện tích của

tứ giác ABCD bằng:

A 2 3cm2 B 5cm2 C 10 3cm2 D 5 3cm2

Câu 7 Giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng

( ) :d y(m3)x m 5 (với m là tham số và m 3) bằng 2 là:

A    

3 3; 5

m B    

5 3; 3

3 3; 5

5 3; 3

m

Câu 8 Với giá trị nào của a thì các đường thẳng ( ) :d1 y5(x1); ( ) :d2 y ax 3 và

3

( ) :d y3x a đồng quy:

A.a 10. B a 10. C a 12. D a 13.

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÃ ĐỀ THI:108

Câu 9 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2( 3) 3

P

A  2. B 1 C 4 D 8.

Câu 10 Tam giác ABC có AB9cm AC; 18cm, phân giác AD (D BC ), trọng tâm G Độ dài đoạn thẳng DGlà:

A 2cm B 2,5cm C 3cm D 3,5cm

Câu 11 Cho tam giác ABC, điểm Q AB , trung tuyến CM Đường thẳng qua Q song song với CM cắt BC tại Rvà cắt AC tại P sao cho QA QB QP QR  Khi đó số đo ACB bằng:

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

Câu 12 Cho đường tròn ( ;25O cm)và điểm C cách O là 7cm Có bao nhiêu dây của đường tròn tâm O đi qua C có độ dài là một số nguyên:

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 13 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB18cm AC, 24cm và đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABC Khi đó độ dài đoạn thẳng AI bằng:

A 6cm. B 8cm C 6 2cm D 3 2cm.

Câu 14 Cho tam giác ABC vuông tại A có AC120cm BC, 169cm AB, 119cm BD là đường phân giác của ABC, BNlà đường phân giác của ABD Khi đó tan ABN bằng:

A 1 .

10

Câu 15

Người ta đào một con mương có thiết diện cắt ngang là

một hình thang cân, đáy và cạnh bên có cùng độ dài là a

(như hình vẽ) Độ dài đáy lớn (bề ngang của mặt mương)

của hình thang là bao nhiêu để diện tích mặt cắt là lớn

nhất (cho lưu lượng thoát nước lớn nhất)

A 3 a B 2 a

C 3 2

a

D 5 2

a

Câu 16 Cho 2

1 ( ) :d y(m 1)x 2m; ( ) :d2 y(m3)x m  2 với m là tham số Giá trị của

m để ( ),( )d1 d2 cắt nhau tại điểm A x y( ; )0 0 thỏa mãn P2021 (x y0 02) đạt giá trị nhỏ nhất là:

A m 3 B m 1 C m 2 PD m 4

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: x3 y3xy8

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì giá trị của biểu thức

6 4 2 3 2 2

P n  n  n  n không phải là số chính phương

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Cho các số thực a b c, , và x y z, , , (xyz 0) thỏa mãn:

a b c   x y z   và a b c 0

x y z  Tính giá trị của biểu thức: M ax2by2cz2

b) Giải phương trình: 5x24x x2 3x18 5 x

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC( < ) có AD là tia phân giác của BAC Gọi M

và N lần lượt là hình chiếu của D trên ABvàAC, E là giao điểm của BNvà

DM , Flà giao

điểm của CM vàDN

a) Chứng minh EF song song BC

b) Gọi Hlà giao điểm của BNvà CM Chứng minh và Hlà trực tâm

AEF

2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, ABAC 2a Vẽ đường tròn ( ; )A a cắt ,

AB AC lần lượt tại D E, Điểm M di chuyển trên cung nhỏ DE (M D M, E) Tìm vị trí điểm M để tổng: MB 2MC đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4 (1,5 điểm)

Cho a b c, , là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

2 2 2

b  c  a         

Hết

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh SBD

UBND HUYỆN PHÙ NINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2021 – 2022

Môn:Toán HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Hướng dẫn chấm có 06 trang

I. Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án – thang điểm

1 Phần trắc nghiệm khách quan (8,0 điểm)

Mã đề thi 108 Mã đề thi 106 Mã đề thi 104 Mã đề thi 109

II Phần tự luận (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: x3 y3 xy8

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì giá trị của biểu thức

6 4 2 3 2 2

P n  n  n  n không phải là số chính phương

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu Gợi ý Điểm

1

a)

(1,5)

3 3 8

x  y xy

3 (x y) 3 (xy x y) xy 8

0,25

Đặt a x y b xy  ; 

3 8 3

3

3

( 8) (3 1)

0,25

3 3

(27 216) (3 1)

(27 1 215) (3 1)

M M 3

2

(27 1 215) (3 1)

(3 1)(9 6 1) 215 (3 1)

215 (3 1)

a

M

M M

Do đó 3a      1 { 1; 5; 43; 215}

0,5

Do 3a – 1 chia cho 3 dư 2 nên 3a   1 { 1;5; 43;215}

Ta có:

3

8

1 3

a b

a







Chú ý rằng (x y )2 4xy0 nên a24b0, do đó trong bốn trường

hợp trên chỉ có a 2;b 0 Ta được: x – y = 2; xy = 0

Đáp số: (0 ; -2) và (2 ; 0)

0,5

b)

(1,5)

6 4 2 3 2 2 2( 1) (2 2 2 2)

Với n N n ; 1 ta có (n1)2 n2 2n 2 n2

Suy ra n2 2n2 không là số chính phương

Suy ra P không là số chính phương

0,75

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Cho các số thực a b c, , và x y z, , , (xyz 0) thỏa mãn:

a b c   x y z   và a b c 0

x y z 

Tính giá trị của biểu thức: M ax by cz

b) Giải phương trình: 5x2  4x x2  3x 18 5  x

2

a)

(1,5)

Từ x y z   0 x2 y z 2;y2 z x 2;z2 x y 2

a b c 0 ayz bzx cxy 0

x yz     

0,5

Ta có M a y z  2b z x  2c x y  2

ay22ayz az 2bz22bzx bx 2cx22cxy cy 2

0,5

ax2 by2 cz2 M

b)

(2,0)

0,25

2

2

( ) 2

2 9( ) 3 ( ) 4

x tm





























 



;9 2

x   

0,5

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC( < ) có AD là tia phân giác của BAC Gọi M

và N lần lượt là hình chiếu của D trên ABvàAC, E là giao điểm của BN và

DM , Flà giao

điểm của CM vàDN

a) Chứng minh EF song song BC

b) Gọi Hlà giao điểm của BNvà CM Chứng minh và Hlà trực tâm

AEF



2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, ABAC 2a Vẽ đường tròn ( ; )A a cắt ,

AB AC lần lượt tại D E, Điểm M di chuyển trên cung nhỏ DE (M D M, E) Tìm vị trí điểm M để tổng: MB2MC đạt giá trị nhỏ nhất

1a

Chứng minh được AMDN là hình vuông

Chứng minh FM DB

FC DC

0,25

Chứng minh DB MB

DC MA

0,25

Chứng minh AM DN MB MB

MA DN

Chứng minh MB EM

DN ED

0,25

Suy ra FM EM

AN DN

AB AB

Chứng minh DN CN

AB CA

0,25

Chứng minh CN FN

CA AM

0,25

Chứng minh AM AN FN FN

AM AN

Từ đó suy ra AN FN

AB AN suy ra ANB đồng dạng với NFA

0,25

Suy ra NBA FAN suy ra NBA BAF 900

Suy ra EH AF tương tự FH AE suy ra đpcm

0,25 2

Gọi F là trung điểm của AD

Chứng minh AFM đồng dạng với AMB

0,5 Suy ra BM  2FM

Suy ra MB2MC2(FM MC )

0,5

Mà FM MC FC  (FC không đổi)

Dấu “=” xảy ra khi , ,F M C thẳng hàng

Suy ra M là giao điểm của FCvà cung nhỏDE

0,5

Câu 4 (1,5 điểm)

Cho a b c, , là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

2 2 2

(1,5) Ta có:

2 2

2

Tương tự :

b2 b c c 2 b2 c2 bc

0,75

c2 c a a 2 c2 a2 ca

Cộng vế với vế ta được

2 2 2

2

Lại có

(II)

0,5

Từ (I) và (II) suy ra

2 2 2

0,25

Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa