071 đề hsg toán 9 quảng ninh 21 22

Đường thẳng BHcắt đường thẳng DKvà AClần lượt tại E và F a Chứng minh E thuộc O R; và HKsong song với BC b Hạ DLvuông góc với AB L AB  .Chứng minh đường thẳng KLđi qua trung điểm củ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2022

Môn thi: Toán – bảng A Ngày thi: 23/02/2022

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn điều kiện xy yz zx  3

Tính giá trị biểu thức 2 3 2 3 2 3

A

b) Cho hai hàm số y x 2và y2m1x m  5(m là tham số)

Hãy tìm các giá trị của mđể đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm

phân biệt

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình : x2 6 x2 2x4 5 x 3x 2

b) Giải hệ phương trình :  







Câu 3 (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình x3 y3 2y23y1

b) Tìm tất cả các số nguyên mđể phương trình x3 3mx2 mx 2có nghiệm là số hữu tỉ

Câu 4 (6,0 điểm) Cho đường tròn O R; và dây BCcố định không là đường kính của  O Lấy điểm Atrên cung lớn BCsao cho AB AC và ACB 90  , D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.Từ B hạ BH vuông góc với AD(H thuộc AD), từ D hạ

DKvuông góc với AC K AC Đường thẳng BHcắt đường thẳng DKvà AClần lượt tại E và F

a) Chứng minh E thuộc O R; và HKsong song với BC

b) Hạ DLvuông góc với AB L AB  .Chứng minh đường thẳng KLđi qua trung điểm của đoạn thẳng BC

c) Chứng minh đường thẳng AEluôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi

Adi chuyển trên cung BC nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài

Câu 5 (1,0 điểm) Trên bảng người ta viết 2022số nguyên dương liên tiếp

1;2;3; ;2022và thực hiện các thao tác sau : Xóa đi hai số bất kỳ (trong 2022 số

trên) rồi lại viết lên bảng một số bằng tổng của hai số vừa xóa, cứ tiếp tục làm như

vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số Hỏi số còn lại trên bảng là số chẵn hay số lẻ, vì sao ?

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

c) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn điều kiện xy yz zx  3

Tính giá trị biểu thức

2 3 2 3 2 3

A

Ta có :

0

A

d) Cho hai hàm số y x 2và y2m1x m  5(m là tham số)

Hãy tìm các giá trị của mđể đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Ta có hoành độ giao điểm của hai hàm số trên là nghiệm của phương trình

Để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì

1

m

m

 





Câu 2 (5,0 điểm)

c) Giải phương trình : x2 6 x2 2x4 5 x 3x 2

ĐKXĐ:

2 3

x 

Phương trình tương đương x2 5x 6 x2 2x 4 3x 2 0

2

2

2

2

3 1

x

x

ktm















Vậy phương trình có tập nghiệm S=2;3

d) Giải hệ phương trình :  







Từ phương trình x22y2 3 0 3x22y2thay vào phương trình

x x   y  Ta có :

 



Vậy hệ phương trình có nghiệm x y   ;    1; 1 ; 1;1   

Câu 3 (4,0 điểm)

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình

3 3 2 2 3 1

Phương trình tương đương : x3 y32y23y1 Ta có :

y3  2y2  3y 1  y3  3y2  3y 1  5y2    2 0 y3  2y2  3y  1 y 13

3

3





Vậy x y   ;    1; 1 , 1;0    thỏa mãn bài toán

d) Tìm tất cả các số nguyên mđể phương trình x3 3mx2 mx 2có nghiệm

là số hữu tỉ

Giả sử đa thức ( ) n 1 n 1 2 n 2 1 0

P x x a x  a x  a x a

      , trong đó a n1 ;a n2 ; ;a0là các

hệ số nguyên.Nếu P x( )có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) đều là số

nguyên và là một trong các ước số của hệ số a0

Trở lại bài toán, phương trình x3 3mx2 mx  2 0có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm hữu

tỉ đó sẽ là x    2; 1;1; 2 Lần lượt thay vào phương trình

Ta có m 1thỏa mãn bài toán

Câu 4 (6,0 điểm) Cho đường tròn O R; và dây BCcố định không là đường kính của  O Lấy điểm Atrên cung lớn BCsao cho AB AC và ACB 90 , D

là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.Từ B hạ BH vuông góc với AD(H thuộc AD), từ D hạ DKvuông góc với AC K AC Đường thẳng BHcắt đường thẳng

DKvà AClần lượt tại E và F

L

E F

K I

H

D O

A

B

C

d) Chứng minh E thuộc O R; và HKsong song với BC

Vì D là điểm chính giữa cung BC nên BADCAD AH, BF ABFcân tại A

180

     nên tứ giác DHFKnội tiếp

     tứ giác ABDEnội tiếp hay E thuộc đường tròn (O)

Vì ABFcân tại A nên ADlà đường trung trực của đoạn BF.

Suy ra FKH FDH BDH BCA HK/ /BC

e) Hạ DLvuông góc với AB L AB  .Chứng minh đường thẳng KLđi qua trung điểm của đoạn thẳng BC

Gọi I là giao điểm của BCvới KL

Ta có ALD AKD 180 nên tứ giác ALDKnội tiếp

    nên tứ giác BLDInội tiếp

90

f) Chứng minh đường thẳng AEluôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi Adi chuyển trên cung BC nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài

Ta có ALDAKD(cạnh huyền – góc nhọn) nên DL DK AL AK ,  ,suy ra AD là đường trung trực của đoạn KL

Do đó

180 2

BAC

Vì BC cố định nên BACkhông đổi, suy ra ABEkhông đổi Do đó sd AE không đổi nên AE không đổi

Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ O đến AE, suy ra OM không đổi mà O cố định

Vậy AEluôn tiếp xúc với một đường tròn O OM; cố định

Câu 5 (1,0 điểm) Trên bảng người ta viết 2022số nguyên dương liên tiếp

1;2;3; ;2022và thực hiện các thao tác sau : Xóa đi hai số bất kỳ (trong 2022 số trên) rồi lại viết lên bảng một số bằng tổng của hai số vừa xóa, cứ tiếp tục làm như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số Hỏi số còn lại trên bảng là

số chẵn hay số lẻ, vì sao ?

Ta có tổng của 2022 số trên bảng là

2022.2023

2

là một số lẻ mỗi lần thực hiện xóa đi hai số ,

a bbất kỳ và thay vào đó số mới bằng a b thì tổng các số trên bảng không đổi Do

đó số còn lại trên bảng là số lẻ