3 3 tính giới hạn bằng định lí kẹp

Chứng minh dãy  b n có giới hạn và tìm giới hạn đó.. Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh... 1Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n2, thì phương trình có một nghiệm dươ

3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP

Bài 1 Tìmlim

n

1

!

n

n

Hướng dẫn giải

Trước hếtta chứng minh bất đẳng thức : n! > (

3

n

) n(*) ( n N*)

Bằng phương pháp qui nạp Thật vậy : với n =1, ta có1 >1

3 (đúng)

Giả sử(*) đúng vớin = ktức là : k! > (

3

k

)k. Ta đi chứng minh (*) đúng với

n = k+1

Ta có(k+1)! = k!(k+1) >(

3

k

) k (k+1) = ( 1

3

k

)k+1 3

1 (1 )k

k



> ( 1 3

k

)k+1

Bất đẳng thức cuối này đúng vì :

(1+1

k )

k

=1+k

k +

( 1) 2!

k k

2

1

( 1)( 2) ( 1)

!

k

1k

k =

= 1+1+ 1 (1 1)

2! k +.+ 1 (1 1)(1 2) (1 1)

!

k



2! +… +

1

!

n <1+1+

1

2+.+ 1

1

2n <

<1+1+1

2+.+ 1

1

2n +.< 1+

1 1 1 2



= 3

Vậy (*) đúngvới n k 1 Do đó !

3

n

n

    ,

từ đây ta suy ra !

3

=> 0 < 1

!

n

n <

3

n

Vìlim

n

3

n = 0

Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra:lim

n

1

!

n

n = 0

Vậy lim(2014 1 )

!

n

n

Cho dãy số  x n thoả mãn

 

5

; 4

n n

n

x

x















Tính I limx n

Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương

Đặt y n log2 x n, ta có dãy 1 2 *

2 n 5 n 2 n;



Lại đặt y n z n2, ta có dãy 1 2 *

   

























z

z z

1 2

2 1

5 2

1 ,

2

Tìm được số hạng tổng quát của dãy là 4 1

2

Từ đó ta có limy n  2 limx n 4

Bài 2 Cho dãy (a n n)1: a1 1; 1 2 5 10,

5

n

n

a

a





  n 1 a)Chứng minh dãy (a n) hội tụ và tính lima n

, 2

n

n

1

n

 

Hướng dẫn giải

a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 1 3,

2

n

a

  n

2

và xét hàm

2

5 10 10

Suy ra

 2

10

5

f x

x



3 1; 2

     , như vậy f x( ) nghịch biến trên đoạn 1;1

2

 

k k







2 1

2

lim

lim

k k





Kết hợp công thức xác định dãy ta được

2

2

5 10

5 5 5

2

5 10

5

b

c

c

b



 



Vậy lim 5 5

2

n

b) Nhận xét: 1;5 5

2

  thì t f t( ) 5 5.

Dẫn đến a2k1a2k  5 5,  k 1

5 5

2

Như vậy bất đẳng thức đúng với n2k

Trường hợp n2k1, chú ý 2 1 5 5

2

k

 , kết hợp với (1) thu được:

5 5

2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 3 Cho dãy số thực   1

1

2

n

1

n n

u n

u e

e

  .Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu

hạn, tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

Chứng minh  1 u n   0, n 2 1 

1

1

e u

e

Giả sử  1 đúng với n k 2, ta chứng minh  1 đúng với n k 1

n

1

n n

n

u

u

u e e

e

1

1 u n

n

e

1

n

n n n

u

n

n u

u e

n

    (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

Xét hàm  

1

x x

xe

f x

e



 trên ; 0.Ta có    

1 '

1

x

e

 



Hàm g x   1 x e x có g x'  1 e x 0 với mọi x  ;0nên hàm này đồng biến trên ; 0

Suy ra g x g 0 0, suy ra    

1

1

x

e

 

hay hàm f x nghịch biến trên   ; 0

Ta có

2

1

e

e u

 

2 1

3

2 1

2 1

, 1

e e

e e

e e e u

e











u u

Suy ra f u 4  f u 2 u5 u3  0 u1

Quy nạp ta được dãy u2n1 giảm và dãy  u 2n tăng

Hơn nữa  1 u n   0, n 2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử limu2n a,limu2n1b a b,   1;0 , lấy giới hạn hai vế ta được

 2

1 1

1 1

a a

b

ae b

a

a

be

a

e

ae

b

e









 



Đặt e a t t 1;1

e

  

   

t t

Hàmh t  2 1t ln 1  t 1 tlnt t lnt nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, nhận

thấy 1

2

t  là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất

Suy ra ln1

2

a , thay vào được ln1

2

Vậy lim ln1

2

n

Bài 4 Cho dãy số  a n ,n1thỏa mãn 1 1, 2 3 1, 2

2

n



   và dãy  b n ,n1 thỏa mãn

1

n

i



  Chứng minh dãy  b n có giới hạn và tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

Ta có 2na n 2n3a n1a n1 2n1a n1na n,n1

1

n

i



        

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng na n 1 ,n 1

n

Thật vậy:

- Với n = 1, ta có a1 1 nên khẳng định đúng

- Giả sử khẳng định đúng với n n1 Ta có  

  1



      , ta cần chứng

minh

n

4n 4n 1 n 1 4n 1 3n

Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n1

Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh

1

Theo nguyên lí kẹp thì dãy  b n có giới hạn và limb n 2

Bài 5 Cho dãy số  b n được xác định bởi:

1

2 1

1 2

u

 







Chứng minh dãy số hội tụ và tìm lim n

x u



Hướng dẫn giải



Thật vậy: n1 : 1 11cot 1 1 1



 (*) đúng với n1

Giả sử (*) đúng tới n k ,k*, nghĩa là có : 1 cot

1

u







Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1 Thật vậy 2

1

    

2





2

1





1

cot

sin 2

k







( vì khi k  thì 1 0; sin 0

2k



2





 (*) cũng đúng với n k 1



1

cos

u





Vậy dãy hội tụ và có lim n 2

x u



 

Bài 6 Cho phương trình: x nx2  x 1 0 với nN, n2

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n2, thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất x n 2)Xét dãy số sau đây: Un n x n1, n2,3, 4, Tìm limU ?n

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: f x  x nx2x10, với n nguyên, n2(1)

+) Ta có:   1

f x nx  x Do n2, nên khi x1 thì f’ x 0 Vậy f x là hàm số đồng biến   trên 1;

Lại có: f  1   2 0 ;  2 2 – 7 0n

f   ( vì n nguyên và n 2 n3)

Ta có: f    1 f 2 0 và f x liên tục, đồng biến nên phương trình   f x 0 có nghiệm duy nhất trên

1;

+) Mặt khác với 0 x 1 thì x n x2 ( do n2 ) suy ra f x 0 với mọi 0 x 1

Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n2

Gọi x n là nghiệm dương duy nhất của phương trình n – 2 – –1 0

Bây giờ xét dãy  U n với U n nx n 1, n3, 4,5,

Ta có: n  n2  n 10

n n

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

n

sô n n n n

n

n

1 1

2 2

1

1 1 1 1













n

x x

so n n

1

2

1

1

1  





(2)

(Chú ý rằng ở đây 1x n nên x n2 x n 11, vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng)

+) Mặt khác do x n 2, nên x n2 x n 6, nên từ (2) có:

n

Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n3 và lim6 0

n nên từ (3) ta có:limx n 1

+) Ta có: n  n2 n 1

n

n n

x

x x n

ln

1

ln 2 

ln

1

1   2 

n

n

x

x x

Đặt y n x n 1limy n 0

Ta có:suy ra từ (5) limU n limn x n 1 ln 3

Vậy: limU n ln 3

Bài 7 Cho số thực a,xét dãy số  x n n1được    

0

ln

1

n n

t

x

bởi

3

n



  .Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?

Hướng dẫn giải

Với a 1thì x n    1, n 1nên lim n 1

n x

  

Do đó

1

1

1

n

n







n







Bài 8 Cho dãy số (u n) xác định như sau: 1

2

1

2012 2013

2 1 0 , 1, 2,3,

u

 







Tìm lim n

n u



Hướng dẫn giải

Ta có :

2 2

1

2 2

n

u

Xét hàm số :

( )

'( )

f x x

Ta có :

Vậy :  n 2 thì  1 u n 0

2 2

1

2

n

u

2

 

 

8



1 2



0

Gọi a là nghiệm của :

2

( ( ; 0)) 1 2

x

Ta có :u n1 a f u( )n  f a( )

Theo định lí La-grăng : ( )f u n  f a( )  f a'( ) u na

2

n

Mà lim 1 0 lim ( 1 ) 0 lim 1 1 2

2

n

Vậy : lim n 1 2

n u

  

Bài 9 Cho dãy số  u n xác địnhnhư sau:

0

2 1

1 2

5 ,

n n

n

u

u

u



 





.Chứng minh rằng dãy số  u n

có giới hạn và tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

* Vì 0u0 1 nên 0u n   1, n 

* Áp dụng BĐT Cauchy ta có 2 9 6

2

n

n

u

u

 Dấu bằng xảy ra u n 1

2

n

n

u

u

 , n 

*

2

1

n

u





*

1

1

n

u

     



1

x

   



 

 2

2 2 2

x

  f x  nghịch biến trên 1;

1

 u n

 giảm và bị chặn dưới  u n có giới hạn hữu hạn

* Giả sử limu n a1 a   Từ

2 1

5

n n

n

u u

u







 chuyển qua giới hạn ta có

 

5( )

a a

a

a







* Vậy limu n 1

Bài 10 Cho dãy số (u n) được xác định bởi: u14 và u n1 u n22, với *

1 2

lim

n n

n

u



Hướng dẫn giải

Với mọi n1, 2, ; ta có

2 2 2 2 2

u u n n u u u( 4) 12 u u n n u

Từ (1) ta có:

2 1

2

4

n

u

n



Mặt khác, vì u1 4 2 nên từ u n1u n22 và chứng minh bằng quy nạp ta thu đượcu n 2 với mọi

1, 2,

1 .2 n 2 ;n

u u u   n  Khi đó,

1 2

2 n n n

nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có:

1 2

4

n

n

Vậy, từ (2) suy ra:

2 1

1 2

n n

n

u







Mặt khác, hàm số f x( ) x liên tục trên nửa khoảng [0; ) nên

1 2

n n

n

u



Bài 11 a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực (x n n) 0thỏa mãn

0 1,

1

2

n n

b) Với dãy (x n) xác định như trên, xét dãy (y n n) 0 xác định bởi y n x0    x1 x n n 0 Chứng minh rằng dãy (y n n) 0có giới hạn hữu hạn khi n  Hãy tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng x n xác định duy nhất với mỗi n0 Để làm được điều này ta cần dùng kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực m[0;1], phương trình

(1 ) (1 )

2

    có đúng một nghiệm trên [0;1]

Ta có giới hạn cần tìm bằng 3

2

Bài 12 Giả sử  F n n1, 2,  là dãy Fibonacci (F1F2 1;F n1 F nF n1với ) Chứng minh

n

F a F



  với mọi n1, 2,3, thì dãy số  x n , trong đó

1 , 1, 2,3 ,

1

n

n

x



 là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn

Tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

Giả sử x x1, 2, ,x m đã được xác định Khi đó x m1 được xác định khi x m  1

* Nếu x m  1 thì do

1

1 1

m

m

x



 nên x m1 2

Từ giả thiết F1F2 1;F n1 F nF n1 ta viết 2

1

m

F x

F

1 2

m

F x

F

  

1

i

m i

i

F x

F







  , với i nào đó, 0  i m 2

Vì

1

1

1

m i

m i

x

x



 



1

1

m i

x

 

1

m m

F x

F



  Mâu thuẫn với giả thiết 1

1

m m

F x

F



  Như vậy (x n) là dãy số xác định

1 0 1

x

,

Có hai trường hợp xảy ra:

2

n

n x



v



n

n

z





 , ta có

2 1

1

1

1

n

u

x











n n

u

v

 

    nên z n 0 khi n (vì u 1

n

n

z





 suy ra 1

n n

n

u vz x

z





 dần tới u khi n (do z n 0)

Tức là trong trường hợp nàylim 5 1

2

n

n x





Bài 13 Cho dãy số  y n thỏa mãn 3

y  y   y y  y  n Chứng minh rằng dãy số

n

y n

 

 

  có giới hạn bằng 0 khi n 

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có 3 3

y   y y  n , do đó dãy số  y n n2 là dãy tăng, vì

2

1

1 ( 1)

n

2 2 2

1

( 1)

n

 



 nên theo định lý kẹp ta có

2

Bài 14 Cho  u n là một dãy số dương Đặt S n u13u23  u n3 với n1, 2, Giả sử

1

1 1

n

S



   với n2,3, Tìm limu n

Hướng dẫn giải

S  S u   n  S là dãy số tăng

Nếu dãy số  S n bị chặn trên thì  S n là một dãy hội tụ và 3  

1 limu n lim S n S n  0 limu n 0 Xét trường hợp dãy số  S n không bị chặn trên thì limS n  

Từ giả thiết ta có S u n1 n1u n S u n nu n1,n2,3,

Từ đây ta thu được S u n nu n1S u2 2u n1, 2,3,

n

Theo nguyên lí kẹp ta có limu n 0

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limu n 0

Bài 15 Cho dãy số (u n)xác địnhbởi công thức truy hồi:

1

* 1

1

1

2,

n

u

u









rằng dãy (u n) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

Hướng dẫn giải

Đặt ( ) 1 2; ( ) ( ( )) 1 1 2 2

1 2

x

 

Khi đó

2 4

2

1 2

x

Mặt khác '( ) 0, ( 1 ;1)

2

( ) ( ) ( ( )) ( ) , ( ;1) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 1 ( ( )) , ( 1 ;1)

        Do đó (u2n1) là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn

tại lim 2 1 1

2

n

n u 

Vì f x( ) liên tục trên 1 ;1

2

  nên

 

1

2

Vậy dãy (u n) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn Do đó dãy (u n) có giới hạn bằng 1

2

Bài 16 Tìm tất cả các hàm số f :thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

1 f x y f x( ) f y( )với mọi x y, 

2 f x( )e x1với mỗi x

Hướng dẫn giải

 0 ( ) (0) (0) 0

f x  f x  f  f  và bởi vì f(0)e0 1 0nên f(0)0

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (1)

x

       

           

Dùng quy nạp theo n1, 2, ta CM được ( ) 2 2n 1

x

   

Cố định x0ta có

0

2 0

( ) 2 n 1

x n

   

Xét dãy

0

2

2 n 1

x n n

   

 ta có :

0

0

2

2

1

n

n

x

e



Vậy f x( )0 x0, x0  (2)

Vậy f x( )f(    x) x ( x) 0 (3)

Kết hợp ( 1) và (3) ta được f x( ) f( x) 0

Từ (2)  f(   x) x f x( )x (4) Kết hợp ( 2) và (4) ta được f x( )  x, x 

Thử lại f x( )xta thấy đúng

Bài 17 Cho dãy số  x n được xác định như sau

1

3

1,

1

n

x

x

n















.Chứng minh rằng  x n có

giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng

Hướng dẫn giải

Dễ thấy x n 0, với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự

Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên

8,

n

x   n  Thật vậy, với n   1 x1 1 8 nên điều cần chứng minh đúng

Giả sử ta có: x n 8, với n nguyên dương Ta cần chứng minh x n1 8

Theo công thức xác định dãy số có: 1 1 3 2 2

1

1 2 1 2.2 8

k n

x



Do đó x n 8 với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 18 Cho dãy số thực  a n xác định bởi

2 1

;

4 10 1

2 6 3

n n n





.Chứng minh rằng dãy

 a n có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

Có a a1, 2 0;1 , giả sử a a1, 2, ,a k 0;1 ,k,k2 Từ công thức truy hồi ta có:

2 1 1

k k k

          vì 0a k1,a k 1a k1 0;1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được   *

0;1 ,

n

Xét hai dãy số mới   1 2 2

1 1

1 4 :

1

n

n n n

x

  







1 1

3 10 :

1

n

n n n

y

  







với  n ;n2

2

     , giả sử ta có 0 x1 x2   x k 1,k,k3, khi đó

1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được  x n là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn limx n 

Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

1

2

1



 





 









Do    x n  0;1 nên suy ra 1

Chứng minh tương tự đối với dãy số  y n , ta cũng có limy n 1

,

x a  y  n  (1) bằng phương pháp quy nạp:

Ta có x1 a1 y1 và a2 x2  y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k,k2, tức là x i  a i y i, i 1, 2, ,k Khi đó

Từ x n a n y n n, ,n1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lima n 1

Bài 19 Cho hai dãy số    a n ; b n xác định bởia13,b12, a n1a n22b n2 và b n12a b n n với n = 1,

2, 3,….Tìm lim2n

n

 và 2

1 2 lim n

n

Hướng dẫn giải

Với mọi n = 1,2,3,… ta có

Do đó:

  2 2 2   2 1  2 1 2

2 2 1

n

n n

2

n

2 2

n

Chú ý:  2

2 1

4 2

n



4 2

n n

n



  , nên theo nguyên lí kẹp ta có:

Mặt khác: b n12a b n n hay 1

2

n n n

b

b



1 2

n

b

2

1 2

lim n

n

2 1 lim n 2 1 3 2 2

n

n b

2

n n

n  )

Bài 20 Cho dãy số thực  a n xác định bởi

2 1

;

4 10 1

2 6 3

n n n





.Chứng minh rằng dãy

 a n có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

+ Ta Có a a1, 2 0;1 , giả sử a a1, 2, ,a k 0;1 ,k,k2 Từ công thức truy hồi ta có:

2 1 1

k k k

          vì 0a k1,a k 1a k1 0;1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được   *

0;1 ,

n

+ Xét hai dãy số mới   1 2 2

1 1

1 4 :

1

n

n n n

x

  





1 1

3 10 :

1

2 6 3

n

n n n

y

  





2

     , giả sử ta có 0 x1 x2   x k 1,k,k3, khi đó

2 2

1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được  x n là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn limx n  Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

1

2

1



 





 









Do    x n  0;1 nên suy ra 1

- Chứng minh tương tự đối với dãy số  y n , ta cũng có limy n 1

- Cuối cùng ta chứng minh x n a n  y n, n  (1) bằng phương pháp quy nạp: *

Ta có x1 a1 y1 và a2 x2  y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k,k2, tức là x i  a i y i, i 1, 2, ,k Khi đó

+ Từ x n a n  y n n, ,n1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lima n 1

Bài 21 Tìm giới hạn: lim(2014 1 )

!

n

n

Hướng dẫn giải

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:

3

!

n

n

 

 

 (*)  n N*)

Bằng phương pháp qui nạp Thật vậy: với n1, ta có 1 1

3 (đúng)

Giả sử (*) đúng với n k tức là:

3

!

k

k

 

 

 Ta đi chứng minh (*) đúng với

1

Ta có k1 ! k k!  1

3

k

k

 

 

  k 1 ( 1

3

)k 3

1 (1 )k

k

1 3

)k

Bất đẳng thức cuối này đúng vì:

k

k



1

1

1

2

