Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn trần đình cư file word

Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số...7 Dạng 6.. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG IV

MỤC LỤC

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG IV 1

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 2

BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số 4

Dạng 2 Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số 5

Dạng 3 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn 5

Dạng 4 Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy 6

Dạng 5 Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số 7

Dạng 6 Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa 10

Dạng 7 Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực 11

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} 11

BÀI 2 GIỚI HẠN HÀM SỐ 20

Dạng 1 Dùng định nghĩa để tìm giới hạn 22

Dạng 2 Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức 25

Dạng 3 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên 26

Dạng 4 Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên 26

Dạng 5 Tính giới hạn vô cực 28

Dạng 6 Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 0 28

Dạng 7 Dạng vô định   30

Dạng 8 Dạng vô định   ;0. 32

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} 33

BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 37

Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số f x tại điểm   x 370 Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 40

Dạng 3 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K 42

Dạng 4 Tìm điểm gián đoạn của hàm số f x 44 

Dạng 5 Chứng minh phương trình f x  có nghiệm 44  0 MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} 49

ÔN TẬP CHƯƠNG 4 52

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

Dãy  u có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số hạng của n

dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, u đều có thể nhỏ hơn một số dương đó n

Ký hiệu: lim u  hay lim n 0 u  hoặc n 0 u  n 0

limu n    0  0, n , n n  u n (Ký hiệu “ limu  ” còn được viết “ n 0 lim n 0

a) Dãy số  u có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số n  u có giới hạn 0 n 

b) Dãy số không đổi  u , với n u  có giới hạn 0 n 0

2 Các định lí

* Định lí 1: Cho hai dãy số  u và n  v Nếu n u n v n với mọi n và lim v  thì lim n 0 u  n 0

* Định lí 2: Nếu q  thì lim1 q  n 0

3 Định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn

* Định nghĩa 1: Ta nói dãy  v có giới hạn là số L (hay n v dần tới L) nếu n lim n  0

Ký hiệu: limv n L hay v n  L

Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ):

 Nếu u  với mọi n thì n 0 L 0 và lim u n  L

* Định lí 2: Giả sử limu n L và limv n M 0, c là một hằng số Ta có:

5 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

 Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội q thỏa mãn q  1

Định nghĩa: Ta nói dãy số  u có giới hạn n , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy

số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

Ký hiệu: limu  hay n u   n

Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ):

0 0

limu n   M 0, n , n n  u n M

7 Dãy có giới hạn  

Định nghĩa: Ta nói dãy số  u có giới hạn n  , nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,

kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó

Ký hiệu: limu   hoặc n u    n

Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ):

limu n    M 0, n , n n  u n  M

Chú ý: Các dãy số có giới hạn  và   được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực

8 Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực

a) Nếu limu n a và limv  thì lim n n 0

Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại

c) Nếu limu  và lim n v n  a 0 thì limu v  n n

Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số

Phương pháp: limu  khi và chỉ khi n 0 u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở n

đi

Ví dụ 1 Biết dãy số  u thỏa mãn n n 21

n u n

  Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1) n

Mặt khác, theo giả thiết ta có u n v n v n (2)

Từ (1) và (2) suy ra u có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim n u  n 0

Ví dụ 2 Biết rằng dãy số  u có giới hạn là 0 Giải thích vì sao dãy số n  v với n v n u n cũng có giới hạn là

0 Chiều ngược lại có đúng không?

Hướng dẫn

Vì  u có giới hạn là 0 nên n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi n

Mặt khác, v n  u n u n Do đó, v cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó n

trở đi Vậy  u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi Vậy n  v cũng có giới n

hạn là 0

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng)

Ví dụ 3 Vì sao dãy  u với n u   n  1n không có thể giới hạn là 0 khi n  ?

Ví dụ 4 Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng limsinn 0

Dạng 2 Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số

Phương pháp: Ta dùng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp

a) Cho hai dãy số  u và n  v Chứng minh rằng nếu lim n v  và n 0 u n v n với mọi n thì lim u  n 0

b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:

n u

n



d) u n 0,99 cosn n e) 5n cos

Dạng 3 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn

Phương pháp: lim n lim n  0







 Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.

3 A B lượng liên hiệp là: 3 A2 B A B3  2

3 A B lượng liên hiệp là: 3 A2  B A B3  2

Bài 4 Tính các giới hạn sau:

a) lim n 1 n b) lim n23n n 2 c) lim3 n3 2n2  n

3

Dạng 5 Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số

Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q  1

 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn  u n

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số  34,1212… (chu kỳ 12)

Bài 4 Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S 6 Tìm hai số hạng đầu 1 2

142

  Tính tổng S  1 tantan2 tan3 

c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ

Vì lim n  nên 2 n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi2

Mặt khác, theo giả thiết u n n2 với mọi n, nên u cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào n

đó trở đi Vậy limu  n

Ví dụ 4 Cho biết limu   và n v n u n với mọi n Có kết luận gì về giới hạn v n

Hướng dẫn: Kết luận dãy u nv n không hội tụ

Thật vậy:

Xét dãy u nv n, giả sử nó hội tụ nghĩa là limu nv na và limu n b

Khi đó limu nlimv n a

Vậy limv n  a limu n

Vì limu n  b limv n  a b

Vậy  v là hội tụ, điều này không đúng n

Vậy dãy u nv n không hội tụ

Ví dụ 6.

a) Cho hai dãy  u và n  v Biết lim n u   và n v n u n với mọi n

Có kết luận gì về giới hạn của dãy  v khi n n  ?

b) Tìm limv với n v n n!

Hướng dẫn

a) Vì limu   nên n limu n  Do đó,  u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng n

Mặt khác, vì v n u n với mọi n nên v n  u n với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra v n có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi Do đó,

Đáp số: a)  ; b) ; c)  ;

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}

Dạng 1 Tính giới hạn của dãy số có quy luật

lim

n n

S

a b

Vậy limn S n 3

Nên:   2  2

2

2

13

 Nếu dãy số  u tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn n

 Nếu dãy số  u giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn n

2 Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực

hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số

M

3 Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:

* Phương pháp 1:

 Đặt limu n a

 Từ limu n1lim f u n ta được một phương trình theo ẩn a

 Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy  u là một trong các nghiệm của phương trình n

Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn của dãy cần tìm Còn nếu phương trình cónhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm

 Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

* Phương pháp 2:

 Tìm công thức tổng quát u của dãy số bằng cách dự đoán n

 Chứng minh công thức tổng quát u bằng phương pháp quy nạp toán học n

 Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó

Mà 0u n 2 nên u n1u n Vậy  u là dãy tăng (2) n

n

n

u u

Hướng dẫn: lim lim 1

1

n

n u

Giả sử limn u n nlim sinn a

Suy ra:  2 2 

Vậy dãy số  u với n u n sinn không có giới hạn

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Chứng minh dãy  u với n 2 2 2 2

 Bước 1: Chứng minh dãy  u tăng n

 Bước 2: Chứng minh  u bị chặn trên n

Bài 2 Cho dãy truy hồi

1 1

0324

n n

u u

2 2

n n

2122

n n

u u

 Giả sử lim lim 1 1 1

n n

u u

Chứng minh dãy  u có giới hạn và tìm giới hạn đó n

b) Cho dãy  u xác định bởi: n

a) Chứng minh rằng u  n 2 với mọi n 2

b) Chứng minh dãy  u có giới hạn và tìm giới hạn đó n

b) Ta có: u n  2,n2,n  nên  u là dãy bị chặn dưới n

Xét

2 1

Vậy dãy số  u với n u n cosn không có giới hạn

Bài 7 Chứng minh các dãy sau hội tụ:

BÀI 2 GIỚI HẠN HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Giới hạn hàm số tại một điểm

a) Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x và hàm số 0 yf x  xác định trên K hoặc trên K\ x 0

Ta nói hàm số yf x  có giới hạn là số L khi x dần đến x nếu với dãy số 0  x bất kì, n x nK\ x0 và

Các định nghĩa về giới hạn  (hoặc  ) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa ở trên

Chẳng hạn, giới hạn   của hàm số yf x  khi x dần đến dương vô cực được định nghĩa như sau:

Định nghĩa: Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng a  ; 

Ta nói hàm số yf x  có giới hạn là   khi x   nếu với mọi dãy số  x bất kì, n x n a và x   , n

 Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng a  Ta nói hàm số ;  yf x  có giới hạn là số L khi

và chỉ khi x   nếu với mọi dãy số  x bất kì, n x n a và x   ta có: n f x n  L

 Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng  ; a Ta nói hàm số yf x  có giới hạn là số L khi

và chỉ khi x    nếu với mọi dãy số  x bất kì, n x n a và x    ta có: n f x n  L

Kí hiệu: lim  

x f x L

    hay f x  L khi x   

Định nghĩa 1: Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng x b Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm0; 

số yf x  khi x x0 nếu với dãy số  x bất kì, n x0 x n b và x n  x0 ta có: f x n  L

Định nghĩa 2: Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng a x Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm; 0

số yf x  khi x x0 nếu với dãy số  x bất kì, n a x n x0 và x n  x0 ta có: f x n  L

6 Các quy tắc tính giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f x g x    

2 Để chứng minh hàm số f x không có giới hạn khi   x x0 ta thực hiện:

Chọn hai dãy số khác nhau  x và n  y thỏa mãn: , n x y thuộc tập xác định của hàm số và khác n n x 0

Ví dụ 2 Cho hàm số   0

nÕu nÕu

1lim

1

x

x x

nÕu nÕu

a Vẽ đồ thị hàm số f x Từ đó dự đoán về giới hạn của   f x khi   x  0

b Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên

Hướng dẫn

a) Dự đoán: Hàm số không có giới hạn khi x  0

b) Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là a n 1;

a) Chứng minh rằng hàm số ysinx không có giới hạn khi x  

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)

Hướng dẫn: Xét hai dãy  a với n a n 2n và  b với n 2

Từ định nghĩa suy ra  f x n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Nếu số dương này là 2 thì  f x n 2 kể từ một số hạng nào đó trở đi

Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số x ka; sao cho  f x k 2 hay f x     k 2 0

Đặt c x k, ta có f c    0

Khoảng K x, 0K và hàm số f x xác định trên   K\ x 0

Bài 6 Chứng minh rằng nếu  

Từ định nghĩa suy ra f x có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n

Nếu số dương này là 1 thì f x  kể từ một số hạng nào đó trở đi. n 1

Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số x kK\ x0 sao cho f x   k 1

Đặt c x k, ta có f c    0

Dạng 2 Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức

Phương pháp: Để tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện:

1 Nếu f x là hàm số sơ cấp xác định tại   x thì 0    

0 0

lim

x x f x f x

2 Áp dụng các định lý tính giới hạn và các quy tắc về giới hạn 

Ví dụ 1 Tính các giới hạn của các hàm số sau:

3

x

x x

x

x x

1

x

x x

5lim

5

x

x x

 



 24

1lim

4

x

x x

3lim

4

x

x x





 

b)

x x x

6lim

6 2

x

x x

nÕu nÕu

nÕu nÕu

Với giá trị nào của m thì hàm số f x có giới hạn   x 1

Bài tập 3 Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn tại x 1

  sin 0

víi víi

 a b c d   0 thì phương trình có một nghiệm là x  , để phân tích thành nhân tử1 1

ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-nẻ

3 Nếu u x và   v x có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân 

tích chúng thành tích để giản ước

A B lượng liên hiệp là: A B

3 A B lượng liên hiệp là: 3 A2 B A B3  2

3 A B lượng liên hiệp là: 3 A2  B A B3  2

7 3

x

x x

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Tìm các giới hạn của hàm số sau:

5

2lim

4lim

x

x x

Bài 3 Tính các giới hạn của hàm số sau:



 



1

n

x

x nx n x

72lim

2lim

49

x

x x

2 Chia tử và mẫu cho x với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân n

tử x rồi giản ước) n

3 Nếu u x hoặc   v x có chứa biến x trong dấu căn thì đưa   x ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất k

của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lùy thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu).

53

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Tìm các giới hạn của các hàm số sau

131lim

x

x x

x    khi x    f) 1 khi x    khi ; 1 x   

Bài 3 Tính các giới hạn sau:

1 Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

2 Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

3 Thông thường, các phép đổi biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định   ;0. hoặcchuyển về dạng vô định ;0

1

x

x x

d)

11

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Tính các giới hạn sau

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}

Dạng 1 Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác (dạng vô định 0

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Tính các giới hạn sau

x

x x

x

x x

Ta nhận thấy: 2 sin 2  x 3 cos 2x 2

II Bài tập rèn luyện

Bài tập 1 Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a)

2 2

BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa: Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng K và x0K Hàm số yf x  liên tục tại x khi và0

0 0

lim

x x f x f x

  Hàm số không liên tục tại x được gọi là gián đoạn tại 0 x 0

2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Định nghĩa:

 yf x  liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

 yf x  liên tục trên đoạn a b nếu nó liên tục trên khoảng ;  a b và; 

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực 

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng Định lí 2: Giả sử yf x  và y g x   là hai hàm số liên tục tại điểm x Khi đó:0

a) Các hàm số f x g x f x ,   g x  và f x g x cũng liên tục tại điểm     x 0

b) Hàm số  

 

f x

g x liên tục tại điểm x , nếu 0 g x   0 0

Định lí 3: Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b và ;  f a f b  thì tồn tại ít nhất một điểm    0

 ; 

c a b sao cho f c    0

Mệnh đề tương đương: Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b và ;  f a f b  Khi đó phương trình    0

  0

f x  có ít nhất một nghiệm trong khoảng a b ; 

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP