3 1 tính giới hạn bằng định nghĩa

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.. và bị chặn trên bởi số tan 1... đều hội tụ... Vậy limv n lim lim... phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2... Ta chứng minh   xn là dãy

a a

   Nếu a1 thì a1 2 Ta chứng minh: *

n x

 

Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp lim 2 1

2

n n

n x

  như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro)

Với  ở trên tồn tại 2 1

c n

n x

  Nếu  2 thì 2 1

2

n x n x  n  Nếu  2 thì n x n x n 2 .n x n2   khi n 

Nếu  2 thì n x n x n 2 .n x n2 0 khi n 

Bài 3 Cho hai số a b1, 1 với 0 b1 a11.Lập hai dãy số  a n ,  b n với n1, 2, Theo quy tắc

sau: giải nghĩa cái đó là: 1 1( )

Tính a b2, 2 với 0 b1 a1 1ta có thể chọn 0 a 

2

sao cho: b1cosa, Suy ra a1 cos a2

a a

a a

2 1

, 1 s

8co

2

20092010

i i

U S

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 8 Cho dãy số u n xác định bởiu11, n 1 1 n2 1, 1

và bị chặn trên bởi số tan 1

 Chứng minh dãy số  y n có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

2.Tìm các số để dãy  nx n có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0

Vậy  2 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài

Bài 10 Cho dãy số  y n thỏa mãn y10,y n31  y1 y2  y n, n 1

đều hội tụ Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (u n)

u u

n n

1

1,2013

n n

Suy ra  u n là dãy tăng, ta có 2014 u1 u2 

Giả sử  u n bị chặn trên và limu n a thì a2014 Khi đó

3

20134026

a a

   ( vô lí) Suy ra  u n không bị chặn trên, do đó limu n  

Vậy limv n lim

lim

n n

n n

Đặt a n  2 b n Từ giả thiết suy ra lim (5b n13 )b n 0

Với số dương  bé tùy ý, tồn tại số N sao cho với nN thì ta có:

n n

Bài 17 Cho dãy số  u n được xác định bởi 1

Và:  2

* 1

n

n n

Vậy dãy số u n bị chặn dưới

Ta chứng minh dãy số  u n là dãy số giảm

Ta có:

2 1

1212

n n

phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2

Suy ra dãy  x n tăng và không bị chặn trên nên limx n  

Từ limx   lim 1 0 Vậy limy 2016

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng x n    n 1, n 1(1)

Thật vậy, (1) đúng với n1.Giả sử (1) đúng với n n ( 1) thì

Bài 22 Cho dãy  a n n1: 2 1 2 1 2 1

sin1 2 sin 3 sin sin 1

a n

n        n 

Bài 24 Cho 2 và dãy số   xn với:

3nxx

x2n    Suyra: xn1 1 Vậy xn 1 với nN*

Ta chứng minh   xn là dãy giảmbằng quy nạp

Suy ra:xk2 xk1 Vậy   xn là dãy giảm

  xn lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ

Đặt limxn .Ta có 2 32 11. x n 1 *    *

2 1 1

n

x

x x

2

2011

N n u

u

u

n n n

.2

12

12

2

1120112

12

11.2

12011

b) Chứng minh rằng  u n có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó

Ta chứng minh:  u n là dãy tăng

2 1

1 ,

    hay  u n là dãy tăng.(2)

Từ (1),(2) suy ra  u n có giới hạn hữu hạn.Giả sử  u n có giới hạn là a o,  a 1

32

        u n1u n, n  hay  u n là dãy giảm (2)

Từ (1),(2) suy ra  u n có giới hạn hữu hạn

Gọi a là giới hạn của  u n ,  1 a 2

Ta có  u n là dãy đơn điệu tăng và u11



    

( vô lí vì  u n là dãy đơn điệu tăng và u11)

Suy ra: lim n

n n

x x

3 46

12015

n

x x

 Dễ thấy  x n là dãy tăng và 1 x1 x2 x3

 Giả sử  x n bị chặn trên limx n a

Do đó:

2015

0 12015

Bài 32 Cho dãy số{ }x n xác định bởi

1

2 1

12015

 Dễ thấy  x n là dãy tăng và 1 x1 x2 x3

 Giả sử  x n bị chặn trên limx n a

Do đó:

2

0 12015

n n

x  x  x    n N suy ra  x n là dãy tăng và 1 x1 x2 x3 

 Giả sử  x n bị chặn trên limx n a

20162015

n n

x x

9

3 46