TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN Bài 1.. bChứng minh rằng u n có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.. Hướng dẫn giải... Từ đó suy ra điều phải chứng minh... Tính các giới hạn sa
Trang 13.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
Bài 1 Cho dãy số a n thỏa mãn
1
1
3
1
1
*
n
u
u
.Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy số
x n xác định bởi
a n n
u x n
(n ) hội tụ và giới hạn của nó khác 0 *
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có dãy số u n là dãy số dương và tăng(1)
Giả sử u n bị chặn trên suy ra nó hội tụ Đặt Llimu n, ta có ngay
3
1
L
(vô lý)
Vì vậy u n không bị chặn trên(2)
Từ (1) và (2) ta có limu n
Xét
1
limu n u n
3
1
n n
v u
(n ), ta có * limv n 0
4
4 3
n
v
Suy ra
1
4 lim
3
4
lim
3
n
u
n (sử dụng trung bình Cesaro)
Ta có
4 4 3 3
4 khi
3 4
3
khi
a
a
n
a
a
3
a là giá trị cần tìm
Bài 2 Cho dãy số u n xác định như sau:
* 1
2
1
1
; 3 2
1 ,
n n n
a)Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để u n 1
b)Chứng minh rằng u n có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó
Hướng dẫn giải
Trang 2a)Trước hết ta luôn có u n 0, *
2
1
n
u
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u3n, u3n1 1, n N* và u3n2 1, *
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
2
1
n
u
1
n
n
n
u
u
*
v v v n N
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 1 2
2F n 1F n n
v v v , với F là dãy số Phibonxi: n
*
1
,
Hay
n
v
khi n , dẫn đến limu n 1
Bài 3 Cho dãy số u n được xác định như sau
1
* 1
1
u
Đặt
1
1 5
n
n
i i
v
u
, hãy tính limv n
Hướng dẫn giải
Dễ thấy u n 0, n *
Theo bài ra ta có
2 2 2 2 2
1
Do đó
n
v
Mặt khác, từ u n1 u n26u n4 ta suy ra u n1 6u n
Kết hợp với u11 ta có
1
1
1
n
n
u
Trang 3Từ đó ta có
1
n
n
v
u
Bài 4 Cho dãy số thực u n với *
ln 1u n nu n 1, n
n
n
u
Hướng dẫn giải
Với mỗi n*, đặt 2
n
f x x nx x
1 2
1 0
n
x x
0
1
n
x
n
Do đó f n x là hàm tăng thực sự trên
Ta có
2
n
n
f
f
Do đó !u n sao cho f n u n 0 và 0 u n 1
n
Ta thấy lim n 0
n u
2
1 2
2
lim ln 1 1
lim lim 1 ln 1 1
n u n n
u
2
ln 1 1
n
Bài 5 Cho dãy số a n thỏa mãn:
1
4
a
Tìm lima n
Hướng dẫn giải
Dễ thấy a n 0, n Từ giả thiết ta có * 2 2
1
2
1
n
Với mỗi n*, đặt 1 1
4
n n
y a
ta có y1 1 và
Trang 4
2
n
n
Do đó
n
2 2
2 2
n
a
Vậy lima n 4
Bài 6 Tính các giới hạn sau:
a)
3 2 2
8 lim
4
x
x x
2 1 lim
2
x
x x
Hướng dẫn giải
2 3
2
2 4 8
x
a
2
2 1
) lim
2
x
x
b
x
Bài 7 Tính giới hạn
2
1
lim
1
n x
x
Hướng dẫn giải
( 1) ( 1) ( 1)
1
( 1)[1 ( 1) ( 1) ( 1)]
lim
1
n x
x
1
lim 1 ( 1) ( 1) ( n 1)
( 1
2
2 3 n n n 1)
Bài 8 Cho n là số nguyên dương và a0.Chứng minh rằng:
0
1 ax 1
n x
a Lim
Hướng dẫn giải
Đặt n1 ax,
y khi đó từ x 0 y 1
Vậy
n
Bài 9 Tính các giới hạn sau:
a/
2
lim
1 5 9 (4 3)
n
n n
1 sin 0
cos 5 lim cos 3
x x x
x x
Hướng dẫn giải
Trang 53 3 3 3 3 3 2
1 5 9 (4 3) (4 3) (64 144 108 27)
= 64 144 108 27
2
(4 2)
1 5 9 (4 3) 2
2
n n
Mà ta có các công thức:
1
( 1) 2
n i
n n i
; 2
1
( 1)(2 1) 6
n i
i
2 3
1
( 1) 2
n i
n n i
( ) 1 5 9 (4 3)
Q x n là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4
Do đó:
2
4
1 5 9 (4 3)
n
n n
Câu b
1 sin 0
cos 5
lim
cos 3
x x
x
x
x
cos5 cos3 cos3 sin cos3 cos5 cos3
0
cos 5 cos 3 lim 1
cos 3
x x
x x x x
x x x
x
Vì
cos 5 cos 3 2sin 4 sin sin 4 sin 8
sin cos 3 sin cos 3 4 cos 3
Vì
0
cos 5 cos 3
cos 3
x
x
và áp dụng công thức 1
0
lim 1 u
1 sin
8 0
cos 5 lim cos 3
x x x
x
e x
Bài 10 Cho dãy số x n thỏa mãn
1
2
2
n n
x
n n
.Tìm limu n với
3
( 1)
u n x
Hướng dẫn giải
Ta có 2 1
3
x
Với n 3 : x12x23x3 nx n n x3 n(1)
3
1 2 2 3 3 ( 1) n 1 ( 1) n 1
x x x n x n x (2)
Từ (1) và (2) ta có nx n n x3 n (n 1)3x n1
Suy ra
3
2 1
1 3
( )
1
n
2
( ) ( ) ( )
n
Trang 64
( 1)
n
x
n n
suy ra limu n=
2 2
4( 1)
n
Bài 11 Tính giới hạn hàm số :
3
1
3 1 2 2 lim
1
x
L
x
Hướng dẫn giải
Ta có:
=
3
x
=
2
( 2 1) (2 ) 2 1 ( 3 1 2)( 3 1 2)
( 1)( 3 1 2) ( 1) (2 ) 2 1
x
=
( 1)( 3 1 2)
x
=
( 3 1 2)
x
x
= 1
12
Bài 12 Tính:
2
1
3 2011 2009 1
x
Lim
x
Hướng dẫn giải
1
lim( 2011)
2
3 2
x
x
x
Bài 13 Cho dãy số a n thỏa mãn:
1
4
a
Tìm lima n
Hướng dẫn giải
Dễ thấy a n 0, n Từ giả thiết ta có * 2 2
1
2
1
n
Với mỗi *
n , đặt 1 1
4
n n
y a
ta có y1 1 và
2
n
n
Trang 7Do đó
n
2 2
2 2
n
a
Vậy lima n 4
Bài 14 Cho dãy số x n thỏa mãn 1 1 3
1
1
0, (3 ), 2,3,
4
n
a
x
Hướng dẫn giải
1
1
4
n
a
x
Do đó dãy x n bị chặn dưới
Với mọi n3, ta có 4
1
n
x x x n x n–1
Do đó x n là dãy giảm
Từ đó suy ra dãy x n có giới hạn và dễ dàng tìm được limx n 4a
Bài 15 Cho dãy số thực x n :
1
1
3 1
3 , 1, 2, 3,
n
n
x
x
Xét dãy số y n cho bởi :
(3 5)
; 1, 2,3,
2
n
n n
n
x x x x
Chứng minh dãy số y n có giới hạn hữu hạn và tính giớn hạn đó
Hướng dẫn giải
Ta có : n 1 3 1 n n 1 3 n 1 ; 1, 2,3,
n
x
Đặt : z n x x x1 .2 3 x n thì ta có z n2 x x x1 .2 3 x x n n1.x n2
n n n
z x x
1
.(3 1)
n n
z x
1
3z x n n z n
1
3z n z n
Khi đó :
3 8 3 8
3
3 ; 1, 2, 3,
Suy ra z n là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2
3 1 0
2
t t t
Trang 8
Dãy có số hạng tổng quát dạng 3 5 3 5
n
z
trong đó :
3
8
5 3 5 10
5 3 5 10
Lúc này, ta có
n
y
2
5 3 5
3 5 lim
10
3 5
y
2
n
Bài 16 Cho dãy số u n xác định bởi: u0 1, 1 2 2
1
n n
n n
u
3
n n u
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết 1 2 2
1
n n
n n
u
*
1
n n
n
u
nên v n xác định bởi
0
n
k
có giới hạn hữu hạn, giả sử lim n
(c hữu hạn)
1
n n
n n
u
ta có
2 1
n
u u
2 1
1 1
n
u u
0
2
1
…
2 1 1
1 1
( 1) n
n n
u u
Trang 9Cộng theo vế ta được :
1
0 0
6
n k k n
u
1
1
1 ( 1) (2 1)
6
n n
v
Mà lim1 3n 0
n
v
n
( do lim n
)nên
1 ( 1) (2 1) 1
lim lim
n
n n u
Bài 17 Cho dãy số x n xác định bởi : 1 1, 1 1 4 , 1
1
n
n
x
Chứng minh dãy x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Hướng dẫn giải
Ta có 2 1 4 3; 3 1 4 2 1; 4 1 4 2
x x x x x
Hàm số ( ) 1 4
1
f x
x
liên tục và nghịch biến trên [0,+), 1 f x( )5
1
n
x
(x n) bị chặn
x x f x f x x x f x f x x x
suy ra dãy(x2n1) tăng và dãy(x2n)giảm suy ra (x2n1), (x2n) là các dãy hội tụ
Giả sử limx2n a;limx2n1 b ( ,a b1)
Từ x2n1 f x( 2n)limx2n1lim (f x2n) b f a( )
Từ x2n2 f x( 2n1)limx2n2 lim (f x2n1) a f b( )
Giải hệ phương trình
4 1 1
4 1 1
b
a
a
b
Vậy limx n 2
Bài 18 Cho x12014, x2 2013 và 2 1 1
x
,n2,3, Tìm lim n
n x
Hướng dẫn giải
1
( 1)
!
k n n
k
k
Trang 10Từ đó suy ra lim n 2015 1
n x
e