TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP

Bất đẳng thức cuối này đúng vì :... 2 Như vậy bất đẳng thức đúng với n 2k... Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n 1.. a Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực x nn 0th

Trang 1

3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP

n

1

!

n n

Hướng dẫn giải

Trước hếtta chứng minh bất đẳng thức : n! > (

3

n

) n(*) ( n N*)

Bằng phương pháp qui nạp Thật vậy : với n =1, ta có1 >1

3 (đúng)

Giả sử(*) đúng vớin = ktức là : k! > (

3

k

)k. Ta đi chứng minh (*) đúng với

n = k+1

Ta có(k+1)! = k!(k+1) >(

3

k

) k (k+1) = ( 1

3

k

)k+1 3

1 (1 )k

k

> ( 1 3

k

)k+1

Bất đẳng thức cuối này đúng vì :

(1+1

k

)k =1+k

k

2 !

k k

2

1

k

+.+ ( 1) ( 2 ) ( 1)

!

k

1

k k

=

= 1+1+ 1 (1 1)

+.+ 1 (1 1) (1 2) (1 1)

!

k

< 1+1+ 1

2 !

!

n

<1+1+1

2

+.+

1

2n

<

<1+1+1

2

+.+ 11

2n

+.< 1+ 1

1 1 2 = 3

Vậy (*) đúngvới n k 1 Do đó !

3

n n

3

=> 0 < 1

!

n

<3

n

Vìli m

n

3

n

= 0

Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra:li m

n

1

!

n n

= 0

Vậy lim ( 2 0 1 4 1 )

!

n n

=2014

Cho dãy số x n thoả mãn

5

; 4

n n

n

x



Tính I li m x n

Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương

Trang 2

Đặt y n lo g2 x n, ta có dãy 1 2

*

n n

z

z z

1 2

2 1

5 2

1 ,

2

Tìm được số hạng tổng quát của dãy là 4 1

2

Từ đó ta có li m y n 2 li m x n 4

Bài 2 Cho dãy (a n)n 1: a1 1;

2 1

, 5

n

a

1

a)Chứng minh dãy (a n) hội tụ và tính li m a n

, 2

n

1

a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 1 3 ,

2

n

2

(x 5 )

5

x

3 1; 2

x , như vậy f( )x nghịch biến trên đoạn 1 ; 1

2

.

k

2 1

2

li m

.

li m

k

Kết hợp công thức xác định dãy ta được

2

5 1 0

5

2

5 1 0

5

b

c

b

2

n

2

Dẫn đến a2k 1 a2k 5 5 , k 1

2

Như vậy bất đẳng thức đúng với n 2k

Trang 3

Trường hợp n 2k 1, chú ý 2 1 5 5

2

k

2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

2

n

1

n

u n

u e

e

 Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó

Với n 2 , 2

1 2

1; 0 1

e u

e

đúng

Giả sử 1 đúng với n k 2, ta chứng minh 1 đúng với n k 1

n

1

n n

n

u

u e e

e

1

1 u n

n

e

1

n

u

n

n u

u e

e

n

u n

Vậy (1) được chứng minh

Xét hàm

1

x

x e

e

1

x

e

1

x

e

hay hàm f x nghịch biến trên ; 0

Ta có 2

1

2

,

e

e u

2 1

3

2 1

,

1

e e

e e e u

e

Quy nạp ta được dãy u2n 1 giảm và dãy u 2 n tăng

Hơn nữa 1 u n 0 , n 2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử li m u a, li mu b a b, 1; 0 , lấy giới hạn hai vế ta được

Trang 4

2 1

1

a a

a e b

a

b e

a

e

a e

b

e

Đặt e a t t 1; 1

e

1

t t

Hàmh t 2 1 t ln 1 t 1 t lnt tlnt nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, nhận

2

t là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất

2

n

2

n

và dãy b n ,n 1 thỏa mãn

1

n

i

Ta có 2n a n 2n 3 a n 1 a n 1 2 n 1 a n 1 n a n ,n 1

1

n

i

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng n a n 1 ,n 1

n

Thật vậy:

- Với n = 1, ta có a1 1 nên khẳng định đúng

, ta cần chứng

n

Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n 1

Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh

n

Theo nguyên lí kẹp thì dãy b có giới hạn và li m b 2

Trang 5

Bài 5 Cho dãy số b n được xác định bởi:

1

2 1

1 2

u

Chứng minh dãy số hội tụ và tìm li m n

x

Thật vậy: n 1 : 1

c o t

(*) đúng với n 1

Giả sử (*) đúng tới n k ,k *

 , nghĩa là có : 1 c o t

1

u

1

2

1

c o t

s i n 2

k

2k

)

2

(*) cũng đúng với n k 1

1

c o s

Vậy dãy hội tụ và có li m 2

n x

n

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n 2, thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất x n 2)Xét dãy số sau đây: U n x 1 , n 2 , 3 , 4 , Tìm li m U ?

Trang 6

Xét phương trình: f x x n x2 x 1 0, với n nguyên, n 2(1)

trên 1 ;

Ta có: f 1 f 2 0 và f x liên tục, đồng biến nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất trên

;

+) Mặt khác với 0 x 1 thì n 2

x x ( do n 2 ) suy ra f x 0 với mọi 0 x 1

Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n 2

Gọi x n là nghiệm dương duy nhất của phương trình 2

n

Bây giờ xét dãy U n với U n n x n 1 , n 3 , 4 , 5 ,

Ta có: x n n x n2 x n 1 0 hay n

n n

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

n

sô n n n n

n

1 1

2 2

1

1 1 1

n

x x

so n n

1

2

1

1 1

(2)

(Chú ý rằng ở đây 1 x n nên x n2 x n 1 1, vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng)

+) Mặt khác do x n 2, nên x n2 x n 6 , nên từ (2) có:

n

Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n 3 và lim 6 0

n

nên từ (3) ta có:lim x n 1

+) Ta có: x n n x n2 x n 1 nln x n ln x2n x n 1

n

n n

x

x x n

ln

1

ln 2

ln

1

n

x

x x

Đặt y n x n 1 lim y n 0

Ta có:suy ra từ (5) li mU n li mn x n 1 ln 3

Vậy: li mU n ln 3

Bài 7 Cho số thực a,xét dãy số

1

n n

0

ln

1

n n

t

x

xác định

bởi

3

n

.Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn

hữu hạn, tìm giới hạn đó?

Trang 7

n

Với a 1 thì

Do đó

1

n

Từ đó, tính được

n

,

Bài 8 Cho dãy số (u n) xác định như sau: 1

2

1

2 0 1 2

2 0 1 3

2 1 0 , 1, 2 , 3 ,

u

Tìm li m n

n

Ta có :

2 2

1

n

u

Xét hàm số :

( )

'( )

Ta có :

Vậy : n 2 thì 1 u n 0

2 2

1

2

n

u

2

8

1 2

0

Trang 8

Gọi a là nghiệm của : 1 ( ( 1; 0 ) ) 1 2

x

Ta có :u n 1 a f u( n) f( )a

Theo định lí La-grăng : f u( n) f a( ) f '( ) a u n a

2

n

2

n

Bài 9 Cho dãy số u n xác địnhnhư sau:

0

2

1

1 2

5 ,

n n

n

u

 Chứng minh rằng dãy số u n

có giới hạn và tìm giới hạn đó

* Vì 0 u0 1 nên 0 u n 1, n 

2

n

u

Dấu bằng xảy ra u n 1

9

2

n

u

, n 

*

2

1

n

u



n

u

x

2

x

f x nghịch biến trên 1;

1

n

u giảm và bị chặn dưới u n có giới hạn hữu hạn

2 1

5

n n

n

u u

u

chuyển qua giới hạn ta có

Trang 9

1 5

5 ( )

a a

a

* Vậy lim u n 1

Bài 10 Cho dãy số (u n) được xác định bởi: u1 4 và 2

1 2

l i m

n

u

Với mọi n 1, 2 , ; ta có

2

2 2 2 2 2

u u n n u u (u 4 ) 1 2 u n.u n u (1)

Từ (1) ta có:

2 1

2

4

n

u

n

(2)

Mặt khác, vì u1 4 2 nên từ 2

u u và chứng minh bằng quy nạp ta thu đượcu n 2 với mọi

1, 2 ,

1 2 n 2 ;n

1 2

2

n

1 2

4

.

n

Vậy, từ (2) suy ra:

2 1

1 2

.

n

u

Mặt khác, hàm số f ( )x x liên tục trên nửa khoảng [ 0 ; ) nên

1 2

.

n

u

Bài 11 a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực (x n)n 0thỏa mãn

0 1,

1

2

b) Với dãy (x n) xác định như trên, xét dãy (y n)n 0 xác định bởi y n x0 x1 x n n 0 Chứng minh rằng dãy (y n)n 0có giới hạn hữu hạn khi n Hãy tìm giới hạn đó

Trang 10

a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng x n xác định duy nhất với mỗi n 0 Để làm được điều này ta cần dùng kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực m [ 0 ; 1], phương trình

2

Ta có giới hạn cần tìm bằng 3.

2

Bài 12 Giả sử F n n 1, 2 , là dãy Fibonacci (F1 F2 1;F n 1 F n F n 1với ) Chứng minh

n

F a F

với mọi n 1, 2 , 3 , thì dãy số x n , trong đó

1

n

x

là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn

Tìm giới hạn đó

Giả sử x1,x2, ,x m đã được xác định Khi đó x m 1 được xác định khi x m 1

* Nếu x m 1 thì do

1

1 1

m

x

nên x m 1 2

Từ giả thiết F1 F2 1;F n 1 F n F n 1 ta viết 2

1

m

F x

F

1 2

m

F x

F

1

i

m i

i

F x

F

, với i nào đó, 0 i m 2

Vì

1

m i

x

1

m i

x

1

m

F x

F

1

m

F x

F

Như vậy (x n) là dãy số xác định

1

x

Trường hợp 1: x1 v Khi đó x n x1, n 1 Do đó l i m 5 1

2

n n

Trường hợp 2: x1 v Chú ý 1 1

v

Do đó x n v, n 1

n

z

, ta có

Trang 11

2 1

1

n

u

v x

n

u

v

)

n

z

suy ra

1

n n

n

x

z

dần tới u khi n (do z n 0)

2

n n

1 0 , n 1 1 2 n, 1

n y n

2

n n

y là dãy tăng, vì

2

1

n

Mà

2 2 2

1

( 1)

n

nên theo định lý kẹp ta có

2

1 2

1

1 1

n

S

với n 2 , 3 , Tìm li mu n

Nếu dãy số S n bị chặn trên thì S n là một dãy hội tụ và 3

1

li m u n li m S n S n 0 li mu n 0

Xét trường hợp dãy số S n không bị chặn trên thì li m S n

Từ giả thiết ta có S n 1u n 1 u n S u n n u n 1,n 2 , 3 ,

Từ đây ta thu được S u n n u n 1 S u2 2 u1,n 2 , 3 ,

n

Theo nguyên lí kẹp ta có li m u 0

Trang 12

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có li m u n 0

Bài 15 Cho dãy số (u n)xác địnhbởi công thức truy hồi:

1

* 1

1

2 ,

n

u

rằng dãy (u n) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

1 2

x x

Khi đó

2

2 4

2

1 2

x

2

tại li m 2 1 1 .

2

n

Vì f ( )x liên tục trên 1 ; 1

2 nên

1

2

Vậy dãy (u n) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn Do đó dãy (u n) có giới hạn bằng 1 .

2

Bài 16 Tìm tất cả các hàm số f :   thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

1 f x y f( )x f(y)với mọi x y, 

2 f( )x e x 1với mỗi x 

Trang 13

x

Cố định x0  ta có

0

2 0

x n

Xét dãy

0

2

x n n

0

2

1

li m li m

n

x

e

Vậy f (x0) x0, x0  ( 2 )

Vậy f ( )x f ( x) x ( x) 0 (3 )

Kết hợp ( 1) và (3) ta được f( )x f( x) 0

Từ (2) f( x) x f( )x x ( 4 ) Kết hợp ( 2) và (4) ta được f( )x x, x 

Thử lại f( )x x ta thấy đúng

Bài 17 Cho dãy số x n được xác định như sau

1

3

1,

1

n

x

n

.Chứng minh rằng x n có

giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng

Dễ thấy x n 0, với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự

Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên

8 ,

n

Thật vậy, với n 1 x1 1 8 nên điều cần chứng minh đúng

Giả sử ta có: x n 8, với n nguyên dương Ta cần chứng minh x n 1 8

1

k n

x

Do đó x n 8 với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh

Trang 14

Bài 18 Cho dãy số thực a n xác định bởi

2 1

;

1

n

.Chứng minh rằng dãy

n

a có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó

Có a1,a2 0 ; 1 , giả sử a1,a2, ,a k 0 ; 1 ,k  ,k 2 Từ công thức truy hồi ta có:

2 1 1

k

0 ; 1 ,

n

Xét hai dãy số mới

2 1 1

1 4 :

1

n

x

và

2 1 1

3

1 0 :

1

n

y

với n  ;n 2

2

1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được x n là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn li m x n

Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

1

2

1

Do x n 0 ; 1 nên suy ra 1

Chứng minh tương tự đối với dãy số y n , ta cũng có li m y n 1

,

Ta có x1 a1 y1 và a2 x2 y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k  ,k 2, tức là x i a i y i, i 1, 2 , ,k Khi đó

Từ x n a n y n,n  ,n 1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được li m a n 1

a a b và b n 1 2a b n n với n = 1,

2, 3,….Tìm li m 2n n

n

1 2

li m n n

n

Trang 15

Với mọi n = 1,2,3,… ta có

2

Do đó:

n

2

n

1

2 2

n

Chú ý:

2

2 1

4 2

n n

2

4 2

n n

n

, nên theo nguyên lí kẹp ta có:

li m n n li m n n 2 1

Mặt khác: b n 1 2a b n n hay 1

2

n n n

b

1 2

.

n

b

Do đó

2

1 2

li m n n

n

2 2

1

n

2

n

n n

)

Bài 20 Cho dãy số thực a n xác định bởi

2 1

;

1

n

.Chứng minh rằng dãy

n

a có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó

+ Ta Có a1,a2 0 ; 1 , giả sử a1,a2, ,a k 0 ; 1 ,k  ,k 2 Từ công thức truy hồi ta có:

2 1 1

k

0 ; 1 ,

n

+ Xét hai dãy số mới

2 1 1

1 4 :

1

n

x

và

2 1 1

3

1 0 :

1

n

y

2

Trang 16

1 2 1

1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được x n là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có

1

2

1 Do x n 0 ; 1 nên suy ra 1

- Chứng minh tương tự đối với dãy số y n , ta cũng có li m y n 1

,

x a y n  (1) bằng phương pháp quy nạp:

Ta có x1 a1 y1 và a2 x2 y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k  ,k 2, tức là x i a i y i, i 1, 2 , ,k Khi đó

+ Từ x n a n y n,n  ,n 1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được li m a n 1

Bài 21 Tìm giới hạn: li m ( 2 0 1 4 1 )

!

n n

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:

3

!

n n

Bằng phương pháp qui nạp Thật vậy: với n 1, ta có 1 1

3 (đúng)

Giả sử (*) đúng với n k tức là:

3

!

k k

1

3

k k

3

)k 3

1 (1 )k

k

( 1 3

)k

Bất đẳng thức cuối này đúng vì:

k

1

2

n

Trang 17

Vậy (*) đúng với n k 1 Do đó

3

n , từ đây ta suy ra n n!>

3

n

!

n

Vì li m

n

3 0

n

Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: li m

n

1

!

n n

= 0

Vậy li m ( 2 0 1 4 1 )

!

n

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	1,08 MB