Bài 2 đồ thị hàm số y = ax2 (a khác 0)

Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độvà vẽ đồ thị dạng parabol của hàm số đi qua các điểm vừa biểu diễn a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A1; 2 .. b Với giá trị m vừa tìm được ở trê

BÀI 2 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y = ax 2 (a ≠ 0) Mục tiêu

* Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

* Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Hàm số nghịch biến khi x 0 và

đồng biến khi x 0

Hàm số đồng biến khi x 0 vànghịch biến khi x 0

Hàm số

Đồ thị của hàm số 2

y ax là mộtđường cong:

* Đi qua gốc tọa độ O

* Nhận Oy làm trục đối xứng

0

Bước 2 Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ

và vẽ đồ thị dạng parabol của hàm số đi qua các

điểm vừa biểu diễn

a) Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A1; 2  Vẽ đồ thị hàm số với giá trị m tìm được.

b) Với giá trị m vừa tìm được ở trên, hãy

I) Tìm điểm thuộc parabol có hoành độ bằng -4

II) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ bằng -16

I) Với x 4 thay vào hàm số y2x2, ta được: y 2 4 2 32

Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm M  4; 32 

II) Với y 16, thay vào hàm số y2x2, ta được:

b) Trong các điểm M2; 1 ; N1; 1 và 1; 1

4

Q  

  điểm nào thuộc (P), điểm nào không thuộc (P)?

Câu 3: Cho hàm số y5x2 có đồ thị là parabol (P)

b) Với m tìm được thì đồ thị hàm số có đi qua điểm B2; 9 hay không?

Thay tọa độ điểm B2; 9 vào hàm số trên, ta có: 9 2.2 2  9 8 (vô lí)

Vậy đồ thị hàm số y2x2 không đi qua điểm B2; 9

a) Xác định hệ số a của hàm số biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A2; 2  Vẽ đồ thị hàm số với

a vừa tìm được.

b) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hãy:

I) Tìm các điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng

II) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ bằng -9

III) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ gấp đôi hoành độ

Câu 2: Cho hàm số yn 1x n2 1 có đồ thị là parabol (P)

a) Xác định n để (P) đi qua điểm A  6; 6

b) Với giá trị n vừa tìm được ở trên, hãy:

I) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ

II) Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 2

III) Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ

Dạng 3: Tương giao giữa parabol và đường thẳng

Phương pháp giải

Cho parabol  P :y ax a 2 0 và đường thẳng

 d :y bx c  Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có)

của (P) và (d) ta làm như sau:

Bước 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của

(P) và (d): ax2 bx c (*)

Giải phương trình (*) để tìm nghiệm (nếu có)

Bước 2 Thay giá trị x tìm được vào phương trình

(P) hoặc (d) để tìm y Từ đó suy ra tọa độ giao điểm

của (P) và (d)

Chú ý: Số nghiệm của (*) bằng đúng số giao điểm

của (P) và (d):

- Nếu (*) vô nghiệm thì (d) không cắt (P)

- Nếu (*) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P)

- Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại

hai điểm phân biệt

Ví dụ: Cho  P :y ax 2 và  d :y bx c  Xácđịnh tọa độ giao điểm của (P) và (d)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d), ta có

Vậy giao điểm của (P) và (d) là A4; 8 và B  2; 2

Ví dụ 2 Cho parabol  P x2 và đường thẳng (d) có phương trình y m  2 (m là tham số) Tìm m để:

a) (d) và (P) có điểm chung duy nhất

b) (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

c) (d) và (P) không có điểm chung

Đồ thị  P y x2 đi qua các điểm O0; 0 ; A1; 1 ;  B1; 1 ;  C2; 4  và D  2; 4 

Đồ thị  d y m  2 là một đường thẳng song song với trục Ox

Dựa vào đồ thị ta có kết quả:

a) Để (d) và (P) có một điểm chung duy nhất  m 2 0  m2

b) Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  m 2 0  m2

c) Để (d) và (P) không có điểm chung  m 2 m2

Bài tập tự luyện dạng 3

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.

Câu 3: Cho hàm số   2

2

y m x và y 2x 4

a) Tìm m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm A có hoành độ bằng 3

b) Với m tìm được ở câu a) vẽ đồ thị hàm số ym2x2

Bài tập nâng cao

Câu 4: Cho  P :yx2 và  d :y m  2

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Xác định tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d)

c) Tính diện tích ∆OAB (đvdt)

Câu 5: Cho parabol  P :y3x2 và đường thẳng (d) có phương trình ym4 Tìm m để

a) (d) và (P) có điểm chung duy nhất

b) (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

c) (d) và (P) không có điểm chung

Câu 6: Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 2x2 3m 4 0 theo m

Ta có đồ thị của (P) và (d):

Bước 2 Xác định hoành độ giao điểm của haì đồ

thị trên bằng đồ thị hoặc giải phương trình hoành

Phần parabol nằm phía dưới (d) là cung BOF của

(P) Chiếu vuông góc cung này lên Ox ta được

nghiệm của bất phương trình là 1 3

Xét phần parabol nằm phía trên (d) (chính là parabol bỏ đi cung BOF) Chiếu vuông góc các phần này lên

Ox ta được nghiệm của bất phương trình là x  1 hoặc 3

2

x  Chú ý: Tập nghiệm của bất phương trình f x  g x  là tập hợp các giá trị x là hình chiếu của phần đồ thị yf x  nằm trên đồ thị yg x  trên trục hoành

Ví dụ 2 Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình: 2 3

phần này lên Ox ta được nghiệm của bất phương trình là 3

b) Xác định tọa độ giao điềm của (P) và (d)

c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 3x2 2x 5 0

Câu 2: Cho parabol  P :y3x2 và đường thẳng  d :y 2x 5

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)

c) Dựa vào đò thị, hãy giải bất phương trình 4x2 2x6

ĐÁP ÁN Dạng 1 Vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 (a ≠ 0)

Vậy điểm M  2; 1 thuộc đồ thị hàm số 1 2

Vậy điểm A2; 20  thuộc đồ thị hàm số y5x2

+) Thay toạ độ điểm B  1; 5  vào hàm số y 5x2, ta có: 55 1 2  55 (thỏa mãn)Vậy điểm B  1; 5  thuộc đồ thị hàm số y5x2

+) Thay toạ độ điểm C0; 3  vào phương trình hàm số y5x2, ta có: 35.02  3 0 (vô lí)Vậy điểm C0; 3 không thuộc đồ thị hàm sốy5x2

(II) Với y  thay vào hàm số 9 1 2

Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm N3 2; 9  và P  3 2; 9 

(III) Giả sử M x y 0; 0   P có tung độ gấp đôi hoành độ nên y0 2x0

Với x  thì 0 4 y 8 M24; 8

Vậy các điểm M10; 0 và M 2 4; 8 là hai điểm phải tìm

Câu 2.

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A  6; 6 nên 6n 1   62  n 1 1  n2

Vậy với n 2 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A  6; 6

Đồ thị  P :yx2 đi qua các điểm O0; 0 ; A1; 1 ; B1; 1 ; C2; 4 và D  2; 4

II) Với x 2 thay vào phương trình hàm số yx2, ta được y 22 4

Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm C2; 4

II) Giả sử điểm N x y 0; 0   P thì 2

y x Theo đề bài, N cách đều Ox, Oy nên ta có:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, ta có

Đồ thị  d :y  x 2 đi qua các điểm E0; 2  và A1;1

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta có:

b) Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục hoành Ta có: SOAB S ABHG  SBHO  SAGO

Đồ thị  P :y3x2 đi qua các điểm O0;0 ; A1;3 ; B1;3 ; C2;12 và D  2;12

Đồ thị  d :y m4 là một đường thẳng song song với trục Ox Dựa vào đồ thị, ta có kết quả:

a) Để (d) và (P) có một điểm chung duy nhất  m4 0  m4

b) Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  m4 0  m4

c) Để (d) và (P) không có điểm chung  m4 0  m4

b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) thỏa mãn

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Phần parabol nằm phía trên (d) là cung AOF của (P)

Chiếu vuông góc cung này lên Ox ta được tập nghiệm của bất phương trình là 5 1

b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) thỏa mãn

c) Dựa vào đồ thị ta thấy:

Phần parabol nằm phía trên (d) là cung phần parabol bỏ đi phần cung AOF của (P).

Chiếu vuông góc phần này lên Ox ta được nghiệm của bất phương trình là x 1 hoặc 3

2

x 