Bài 1 hàm số y = ax2 (a khác 0)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨNBÀI 1... Biết rằng diện tích của một mặt cầu bán kính R được cho bởi công thức S 4R2... Tính vận tốc rơi của quả dừa nặng 1 kg tại thời điểm quả dừa đạt đượ

CHƯƠNG 4: HÀM SỐ y = ax 2 (a ≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI 1 HÀM SỐ y = ax 2 (a ≠ 0) Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận biết dược trong thực tế có những hàm số dạng y ax a 2 0

+ Phát biểu và vận dụng được tính chất của hàm số y ax a 2 0

+ Chỉ ra được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số y ax 2 với giá trị a 0 cho trước + Vận dụng được tính chất của hàm số y ax a 2 0 vào giải quyết một số bài toán thực tiễn

 Kĩ năng

+ Biết cách tính giá trị của hàm số tương ứng với giá trị cho trước của biến số

+ Tính được giá trị của hàm số tương ứng với giá trị cho trước của biến số

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Tính chất của hàm số y ax a 2 0

Hàm số y ax a 2 0 xác định với mọi x  

* Nếu a 0 thì số nghịch biến khi x 0 và đồng

biến khi x 0

* Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 và

nghịch biến khi x 0

Nhận xét:

* Nếu a 0 thì y  với mọi 0 x0; y0 khi

0

x 

* Nếu a 0 thì y  với mọi 0 x 0

* Hàm số y2x2 nghịch biến khi x 0 và đồng biến khi x 0

* Hàm số y x2 đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0.

* Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y  0

* Giá trị lớn nhất của hàm số là y 0

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính giá trị hàm số yf x  ax a2 0 tại một điểm cho trước

Phương pháp giải

Tính giá trị của hàm số y ax 2 tại điểm xx0

y ax , ta được 2

0

y ax

Bước 2 Kết luân

Ví dụ Tính giá trị của hàm số yx2 tại điểm 1

x 

Thay x 1 vào hàm số yx2, ta được y  12 1 Vậy y  tại 1 x 1

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x  4x2 Tính các giá trị tương ứng của y rồi điền vào chỗ trống tương ứng trong bảng sau

  4 2

Hướng dẫn giải

Ta thay lần lượt các giá trị xx0 vàoy f x  4x2, ta được:

 2  2 1;  1  1 4;  0 0

Ta được bảng sau

  4 2

Ví dụ 2 Cho hàm số yf x  2x2

a) Tính giá trị của hàm số lần lượt tại 3 2 2

b) Tìm a biết f a    10 4 6

b) Tìm b biết f b  8b14

Hướng dẫn giải

a) Ta có f 1 2.12 2

 3 2. 3 2 2.3 6

 2 2 2 2 2.4 8

3 2 2 2 3 2 2 2 2 17 12 2  34 24 2

b) Ta có   2

2

Mà f a  10 4 6  2a2 10 4 6  a2  5 2 6

a

Vậy a  3 2 thì f a    10 4 6

Hướng tư duy: Tính f a rồi giải phương trình   f a    10 4 6 để tìm a

c) Ta có f b  2b2

Mà f b  8b14 2b2 8b14 2b2  8b 14 0

b 22 11 0 b 22 11

Vậy b  2 11 hoặc b  2 11 thì f b  8b14

Hướng tư duy: Tính f b rồi giải bất phương trình   f b  8b14 để tìm b

Ví dụ 3 Biết rằng diện tích của một mặt cầu bán kính R được cho bởi công thức S 4R2

a) Tính diện tích mặt cầu khi R nhận lần lượt các giá trị 1; 4; 8 và 2 3 (đơn vị đo là cm)

b) Nếu bán kính R tăng lên 5 lần thì diện tích sẽ tăng lên bao nhiêu lần?

c) Tìm R, biết rằng 2

168,33

S  cm (làm tròn đến kết quả số thập phân thứ hai, lấy  3,14)

Hướng dẫn giải

a) Ta có bảng sau

2

4

b) Giả sử R 5R

Suy ra: S4R2 45R2 4 25 R25.4R25S

Vậy khi bán kính R tăng lên 5 lần thì diện tích tăng 25 lần.

168,33 4 168,33

4



168,33

3,66 4.3,14

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho hàm số yf x  2x2

a) Tính các giá trị f3 ; f 1 ; f  0 ; f  1 ; f  3

b) Tìm giá trị x biết   1;   8 4 3

2

Câu 2: Cho hàm số yf x  ax2

a) Tìm a biết f  2 4

b) Với a vừa tìm được ở câu trên

(I) Tính f  0 ; f  2 ; f  4

(II) Tìm m, biết f m   16

Câu 3: Động năng (tính băng Jun) của một quả dừa rơi được tính bằng công thức

2 2

mv

K  , với m là khối lượng của quả dừa (kg), V là vận tốc của quả dừa (m/s) Tính vận tốc rơi của quả dừa nặng 1 kg tại

thời điểm quả dừa đạt được động năng là 32 J

Câu 4: Một khách du lịch chơi trò Bungee từ đỉnh tháp Eiffel cao 325 mét so với mặt đất Quãng đường

chuyển động S (đơn vị tính bằng mét) của người rơi phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính bằng giây)

được cho bởi công thức: 2

5

a) Hỏi sau khoảng thời gian 4 giây, người du khách cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Sau khoảng thời gian bao lâu thì người du khách cách mặt đất 200 m?

Bài tập nâng cao

Câu 5: Cho hàm số y2n3x2 Tìm giá trị của n biết x y thỏa mãn ;  1

x y

x y







Câu 6: Cho hàm số yf x  3x2

a) Tìm các giá trị của a biết rằng f a    9 6 2

b) Tìm điều kiện của b biết rằng f b  6b8

Câu 7: Biết rằng thế tích của một khối hình nón được cho bởi công thức 1 2

3

V  R h , trong đó: h là chiêu cao của hình nón và bán kính đáy bằng R (các đơn vị đo là mét)

a) Tính thể tích của khối hình nón khi R nhận các giá trị lần lượt là 3; 5; 3 và 2 3 và h 2,5 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai lấy  3,14)

b) Nếu bán kính R tăng 3 lần thì thể tích sẽ tăng lên bao nhiêu lần?

c) Tìm R, biết rằng V 90,66 m h3, 2,5m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Dạng 2: Xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y ax a 2 0

Phương pháp giải

Xét hàm số y ax a 2 0 Ta có:

* Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 và

đồng biến khi x 0

* Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 và

nghịch biến khi x 0

Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm

số:

a) yk2 1x2

2

Hướng dẫn giải

a) Vì k  với mọi k nên 2 0 a k 2    với1 1 0 mọi k

Suy ra  2  2

1

y k  x nghịch biến khi x 0 và đồng biến khi x 0

b) Vì 1 0

2

a   nên hàm số 1 2

2

y x đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số y4m 1x2 với 1

4

m 

Tìm điều kiện của tham số m để hàm số:

a) Đồng biến khi x 0

b) Nghịch biến khi x 0

c) Đạt giá trị lớn nhất là 0

d) Đạt giá trị nhỏ nhất là 0

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y4m 1x2 đồng biến với mọi x 0 khi và chỉ khi 4 1 0 1

4

Vậy 1

4

m  thì hàm số đồng biến khi x 0

b) Hàm số y4m 1x2 nghịch biến với mọi 0 4 1 0 1

4

Vậy 1

4

m  thì hàm số nghịch biến khi x 0

c) Hàm số y4m 1x2 đạt giá trị lớn nhất là 0 4 1 0 1

4

Vậy 1

4

m  thì hàm sô đạt giá trị lớn nhất là 0

d) Hàm số y4m 1x2 đạt giá trị nhỏ nhất là 0 4 1 0 1

4

Vậy 1

4

m  thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 0

Chú ý:

* Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 0  a0

* Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 0 a0

Ví dụ 2 Cho hàm số y  m2  4m 7x2

a) Chứng minh với mọi tham số m, hàm số luôn nghịch biến với mọi x 0 và đồng biến với mọi x 0

b) Tìm các giá trị của tham số m để khi x 2 thì y 16

Hướng dẫn giải

Vì m22  3 0 với mọi m nên hàm số y  m2  4m 7x2 luôn nghịch biến với mọi x 0 và đồng biến với mọi x 0

Hướng tư duy: Chỉ ra a 0 với mọi m

b) Thay x2; y16 vào phương trình hàm số, ta được:

3

m

m





 Vậy với m   3; 1  thì x2; y16

Hướng tư duy: Thay x 2 và y 16 vào hàm số, giải phương trình tìm m

Ví dụ 3* Cho hàm số   2

2

a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến với mọi x 0 và nghịch biến với mọi x 0

b) Tìm các giá trị của tham số m khi x 1 thì y 4

Hướng dẫn giải

a) Để hàm số y  2m7 3 x2 đồng biến với mọi x 0 và nghịch biến với mọi x 0 thì a 0

2m 7 9 2m 2 m 1

Kết hợp với điều kiện ban đầu 7; 1

2

m m , ta có m 1 thì hàm số đồng biến với mọi x 0 và nghịch biến với mọi x 0

Hướng tư duy: Xét điều kiện của hệ số a: Hàm số đồng biến với mọi x 0 và nghịch biến với mọi x 0

khi và chỉ khi a 0

b) Thay x1; y4 vào hàm số, ta được:

4 2m7 3  2m7  7 2m42 m21

Vậy với m 21 thì x1; y 4

Ghi nhớ: f x  a a,  0 f x  a2

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hàm số y 3k4 3 x2 với 5

3

m Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

a) Nghịch biến với mọi x 0

b) Đồng biến với mọi x 0

c) Đạt giá trị lớn nhất là 0

d) Đạt giá trị nhỏ nhất là 0

Câu 2: Cho hàm số   2

y k  x với 4; 5

Tìm các giá trị của tham số k để hàm số

a) Nghịch biến với mọi x 0

b) Đồng biến với mọi x 0

Câu 3: Cho hàm số y 2n 5 2x2 với 5; 1

Tìm các giá trị của tham số n để hàm số:

a) Nghịch biến với mọi x 0

b) Đồng biến với mọi x 0

Bài tập nâng cao

Câu 4: Cho hàm số  2  2

a) Chứng tỏ hàm số luôn nghịch biến với mọi x 0 và đồng biến với mọi x 0

b) Khi m 1, tìm x để y 7; y7

c) Tìm các giá trị của m để khi x 1 thì y 3

Câu 5: Cho hàm số  2  2

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến với x 0, nghịch biến với x 0

b) Khi k 1, tính giá trị của y biết x 2 3; x 2 3

c) Tìm các giá trị của k khi x2; y 10

ĐÁP ÁN Dạng 1 Tính giá trị hàm số y f x  ax a2 0 tại một điểm cho trước

Bài tập cơ bản

a) Ta có f x  2x2 Suy ra

 3 2 3 2 2.9 18

 1 2.12 2.1 2

 1 2 1 2 2.1 2

 3 2.32 2.9 18

 0 2.02 0

b) Với   1

2

1

2

1

2

x

x







 



Vậy 1

2

2

x  thì   1

2

f x 

3 1

x

x



Vậy x   3 1; 3 1   thì f x    8 4 3

Câu 2.

a) Thay x 2 và y  vào hàm số 4 y ax 2, ta có: 4a 2 2  4a4 a1

Vậy a 1 thì f  2 4

b) Với a 1 thì yf x  x2

(I) Khi đó f  0 0; f  2 4; f  4 16

(II) Ta có: f m  m2

Vậy m 4 và m 4 thì f m   16

Câu 3.

Thay m 1 và K 32 vào phương trình

2 2

mv

K  Ta có

2 2

2

v

     (vì v 0) Vậy vận tốc rơi của quả dừa nặng 1 kg tại thời điểm quả dừa đạt được động năng là 32 J là 8 m/s

Câu 4.

a) Sau 4 giây người du khách rơi được quãng đường là S 5.42 80 m

Người du khách cách mặt đất một khoảng cách là: 325 80 245 m   

b) Khi người du khách cách mặt đất 200 m thì người du khách rơi được quãng đường là:

 

325 200 125 m 

Ta có S 5t2 125 t2 25 t (do 5 t 0)

Vậy sau 5 giây, người du khách cách mặt đất 200 m

Bài tập nâng cao

Câu 5.

x y

Thay x 2 và y  vào phương trình hàm số, ta được1

8

n 

Câu 6.

a) Ta có f a  3a2

2 1

a

a



Vậy a   2 1; 2 1   thì f a    9 6 2

b) Ta có f b  3b2

Mà f b  6b  6 3b2 6b 6 3b2 6b  6 0 b2 2b  2 0 b2 2b1 1 0

b 12 1 0

    (vô lí) vì b 12  1 0 với mọi b

Vậy không có giá trị nào của b thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 7.

a) Tại h 2,5 ta có 1 2 5 2  3

.2,5

Thay lần lượt các giá trị của R vào công thức 5 2

6

V  R ta được bảng sau:

 

 3

b) Giả sử R 3R

Vậy khi R tăng 3 lần thì thể tích tăng 9 lần

h







Dạng 2 Xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y = ax 2 (a ≠ 0)

Bài tập cơ bản

Câu 1.

a) Hàm số y3m5x2 nghịch biến với mọi 0 3 5 0 5

3

3

m   thì hàm số nghịch biến khi x 0

b) Hàm số   2

y m x đồng biến với mọi 0 3 5 0 5

3

3

m   thì hàm số đồng biến khi x 0

c) Hàm số y3m5x2 đạt gá trị lớn nhất là 0 3 5 0 5

3

3

m   thì hàm số đạt gá trị lớn nhất là 0

d) Hàm số y3m5x2 đạt gá trị nhỏ nhất là 0 3 5 0 5

3

3

m   thì hàm số đạt gá trị nhỏ nhất là 0

Câu 2.

3

Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có 4 5



  thì hàm số nghịch biến với mọi x 0

3

Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có 5

3

k  thì hàm số đồng biến với mọi x 0

Câu 3.

a) Hàm số nghịch biến với mọi 0 2 5 2 0 2 5 4 1

2

Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có 1

2

n  thì hàm số nghịch biên với mọi x 0

2

Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có 5 1

  thì hàm số đồng biến với mọi x 0

Bài tập nâng cao

Câu 4.

a) Ta có:

2

y  m  m x m  m  x m  m  x m   x

Vì

2

0

m

  với mọi m nên hàm số ym2 3m3x2 luôn nghịch biến với mọi x 0 và đồng biến với mọi x 0

b) Khi m 1 thì 2

7

* Với y  thì 7 7x2  7 x2  1 x1

* Với y  thì 7 7x2 7 x2  1 x 

c) Thay x1; y3 vào phương trình hàm số, ta được:

3

m

m





 Vậy với m   3; 0 thì x1; y3

Câu 5.

a) Ta có: yk2  2k3x2  k2  2k 1 2x2  k2  2k12 x2  k12 2x2

Vì  k12 2 0

  với mọi k nên hàm số y k2  2k3x2 đồng biến với x 0, nghịch biến với 0

x 

b) Khi k 1 thì y2x2 (*)

+) Thay x  2 3 vào (*), ta được: y 2 2  32 2 7 4 3   14 8 3

+) Thay x  2 3 vào (*), ta được: y 2 2  32 2 7 4 3   14 8 3

c) Thay x 2 và y  vào phương trình hàm số ta được10

 2  2 2 5 2 5 2 9

2

k

    (vo lí) vì  12 9 0

2

k    với mọi k Vậy không có giá trị nào của k để x2; y10