Rút gọn phân thức

Kiến thức* Để rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau: Bước 1: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu thành nhân tử Bước 2: Sử dụng các tính chấ

A Kiến thức

*) Để rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau:

Bước 1: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu thành nhân tử

Bước 2: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho

*) Tính chất cơ bản của phân thức

B B M (M là đa thức khác đa thức 0)

:

:

BB N (N là một nhân tử chung)

*) Quy tắc đổi dấu của phân thức:







B Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Rút gọn phân thức Cách giải: Thực hiện theo hai bước sau

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử

Bước 2: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau

x



3

; 2

Lời giải

a) Ta có:

2

x x





b) Ta có :      

2

48 75



Bài 2: Rút gọn các phân thức sau

2

3 2

2 1

1; 0

3 3

b b

 

 

2 2 2

0; 0

12 4

u v u

uv uv





Lời giải

a) Ta có:

2





b) Ta có:

2 2 2







Bài 3: Đơn giản các phân thức sau

3 2

3 2

3; 1

  

 

4 4

3 3

m n

m n

n m







Lời giải

a) Ta có:

2

3 2

b) Ta có:

4 4

m n



Bài 4: Tối giản các phân thức sau

3

4

7 7

1 1

x x

x

x





2 3 3

48 12 3

4 64

y y





Lời giải

a) Ta có :

2 3

x x





b) Ta có :

2

2 3

y y y

 

Bài 5:

Thu gọn phân thức sau

10 8 7 6 4 2

30 24 18 12 6

1 1

x x x x x x x M

      



    

Lời giải

Ta có: TS x10 x4  x8x2  x7x  x61  x61 x4 x2  x1

24 12

1

1

x x x

x x

 

Thu gọn phân thức sau

2

1 1

x x x x x x x N

x

      



Lời giải

Ta có:

6 4 2

2

N

Bài 7:

Cho phân thức

4 3

1

x x x A

  



    a) Rút gọn A

b) Chứng minh rằng A luôn không âm với mọi giá trị của x

Lời giải

a) Ta có:

4 3

1

x x x A

  

b) Với mọi x, ta có:    

Bài 8:

Cho phân thức

4 3

1

a a a B

   



a) Rút gọn B

b) Chứng minh rằng B luôn không âm với mọi giá trị của a

Lời giải

a) Rút gọn được

4 3

1 1

a

a a a B

 

   

b) Ta có: a12 0;a2  2 0 B 0 m dpcm 

Bài 9: Rút gọn các phân thức sau

a)

10 8 6 4 2

4

1 1

A

x

    



40 30 20 10

45 40 35 5

1 1

B



    

Lời giải

a) Ta có:

A

b) Ta có:

B

Bài 10:

Cho x 0 Hãy rút gọn 2

1

3 4 1

A

x x

  



 

Lời giải

Bài 11:

a b  c , hãy rút gọn

2

(ax+by+cz)

x y z a b c

Lời giải

Đặt

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

k x ak y bk z ck A

Bài 12: Rút gọn các phân thức sau

a)

2 3 8

3 3 4

15

9

x y z

2 2

4 4

y xy

xy y





c)

3 2

3

1 1

x x x

x

  

3 3 2

xy x y

x xy





e)

2 2

2 2

1 2

1 2

  

2 2

x xz xy yz

x xz xy yz

  

  

g)

4 2

3

2 1

3 2

x x

x x

 

a) Ta có:

2 3 8 4

3 3 4

x y z z

x y z  x

b) Ta có:

2 2

1

y y x

y xy

xy y y x y



 

c) Ta có:

2 2

3 2

1

x x x

  

d) Ta có:

3 3 2

xy y x y x

xy x y

y y x



e) Ta có:

2

2 2

2

1

x y

 

f) Ta có:

2

2

x xz xy yz x y

x xz xy yz x y



   

g) Ta có:

2

4 2

2 1

x x

Bài 13:

Cho

2 2 2

2 4 4 2

( ) 1

mn n n m

A

m n n m



a) Rút gọn A

b) Chứng minh A 0

c) Với giá trị nào của m thì biểu thức A đạt GTLN

Lời giải

b) Ta có

2 2 2

0

mn n n m A

c) Ta có 2

m



Bài 14:

Cho

3 2

3 2

10 8

4 5 20

A

  



  

a) Rút gọn A

b) Với giá trị nào của x thì A0;A0

Lời giải

a) Ta có

A

b) Ta có:

5 0 0 ( 1)( 2) 0

2

x

x





          



c)

1

0 ( 1)( 2) 0

2

x

x

 



        



Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Cách giải:

Cách 1: Thực hiện theo hai bước sau

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử

Bước 2: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung

Cách 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau

AD BC

Bài 1:

2 ;

x xy y

y x y x

x x y xy y x y

 

Lời giải

Ta có

x x y y x y x y x y

Bài 2:

2

2 ;

a b ab b ab b

b a b a

a ab b a b

Lời giải

Ta có

2

2

b a b b a b

a b ab b

Cho hai phân thức

3 2

4 8

xy x y x P

x x y



2 2

0; 1; 2

4 4

xy x y x

x x

  

rằng P Q

Lời giải

Cách 1: Rút gọn được

3 2

xy x y x x y



Cách 2: Xét P Q 4xy2 4x y x2  3 4x 4x2  2xy x 2 2y x  4x3 8x y2 

Sử dụng phương pháp nhân đa thức với đa thức để đưa về biểu thức luôn đúng.

Bài 4:

Chứng tỏ rằng hai phân thức

4 4

x xy y A

y y x yx x



1

2 2

x y



Lời giải

Ta có:

2

3

2

x y

x xy y



BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Rút gọn các phân thức sau

2

2

5 6

3

6 9

x x

x

x x

 



2

x xy x y

x x y

x xy x y

  

  

Hướng dẫn

a) Ta có

2

2



b) Ta có

2

2

x xy x y x y

x xy x y x y



Bài 2: Thu gọn các phân thức sau

3 2

2

6 9

3 9

a a

 



0;

pq q

Hướng dẫn

a) Ta có

2



b) Ta có





Bài 3: Tối giản các phân thức sau

a)  

2

3

2

5 2

m mn

m n

n m





2

2

5

10 25

b

b

 



 

Hướng dẫn

a) Ta có 5 2 n m 3 5 2 n m 2

b) Ta có

2

10 25 5



Bài 4:

Rút gọn phân thức sau

7 4 3

6 5 4 2

1 1

x x x P

x x x x x

  



    

Hướng dẫn

Ta có

7 4 3

1

1

x x x

  

Bài 5:

4

1

1

x



     Chứng minh Q luôn nhận giá trị âm với mọi x 1

Hướng dẫn

Thu gọn được

2 4

2

1 1

x x





Bài 6:

2

u uv v u u v

v

Hướng dẫn

Ta có

2

3

1

1

v u v

Bài 7:

Chứng tỏ hai phân thức 2 2

ab cx ax bc A

ay cx ax cy

  



   và 2

x b B

x y





 bằng nhau với y2 ;x ac

Hướng dẫn

Ta có :

a c x b

ay cx ax cy a c x y x y

Bài 8:

Tìm GTNN của các phân thức sau

a)

2 4 6

3

x x

A  

b)

4 2 1 2 5

x

B  

Hướng dẫn

a) Ta có:

2

x

x  x  x    x R A     x R A  x

b)

x

Bài 9:

Tìm GTLN của các phân thức sau

a)

12

3 5 1 2 1

A



5

B



   

Hướng dẫn

a) Có:

-1 x=

5

3 5 1 2 1 3 4 axA=4

1 2

y





 



b ) Có:

1

1

max

x

y













