Hk1 hh9 tuan 2 tiet 2 phiếu 1

Tiết 2: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giácDạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông.. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên c

Tiết 2: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác

Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH .

a) Cho biết BH 1cm, CH 4cm. Tính AH, AB và AC .

b) Cho AH 5cm, BH 4cm. Tính AB, AC và HC

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Biết . BH 9cm, CH 16 cm

a) Tính độ dài các cạnh AB, AC;

b) Tính chiều cao AH .

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, đuờng cao AH Biết . AB4cm, AC7,5cm, tính HB,

HC ?

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Biết . AH 6cm, BH 4,5cm, tính AB, ,

Biết AB6cm, BH 3cm, tính AH, AC, CH .

Bài 5:Cho tam gíac vuông ABC vuông A, đường cao AH Tính diện tích tam.

giác ABC, biết AH 12cm, BH 9cm.

Bài 6: Cho tam giác ABC, biết BC7,5cm, CA4,5cm, AB6 cm

a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Tính đường cao AH của tam giác ABC;

b) Tính độ dài các đoạn BH, CH .

Bài 7: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông là 7 và 24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền.

Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền

Bài 8: Cho một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là

5

12 Cạnh huyền

là 26cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Bài 9 Cho hình thang ABCD  AB CD , hai đường chéo vuông góc với nhau Biết AC 16 cm;

12

BD cm Tính chiều cao của hình thang

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD Biết . BH 63cm;

112

CH  cm Tính HD .

Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Bài 11: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AH là đường cao.

a) Chứng minh: AB2CH2 AC2BH2

b) Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC chứng minh rằng:

+

2

2

BC

AB AC   AM

+AC2 AB2 2BC HM.

Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của B, D

trên đường chéo AC Gọi . M và N lần lượt là các hình chiếu của C trên đường thẳng AB, AD Chứng minh:

a) AK IC.

b)Tứ giác BIDK là hình bình hành.

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH, kẻ HE và HF lần lượt vuông góc với

AB và AC Chứng minh rằng:

a)

2

 

 

  b) BC BE CF. . AH2

Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại A có AH và BK là hai đường cao Kẻ đường thẳng vuông

góc với BC tại B cắt CA tại D Chứng minh:

a)BD2AH

4

Hướng dẫn:

Bài 1: Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông ABC, AH là đường cao ta được:

2

2

1.4

2

AH BH CH

AH

AH







Vậy AH 2cm

Ta cóBC BH HC  4cm1cm5cm

Áp dụng hệ thức

2

2

1.5

5

AB BH BC

AB







Tương tự ta tính được AC2 2cm

Bài 2: Ta có BC BH HC   9 16 25  cm

Tam giác ABC vuông ở A, AH BC ( giả thiết) Sử dụng hệ thức về cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có:

2 9.25 225,

AB BH BC  suy ra AB 225 15 cm

2 16.25 400,

AC CH CB  suy ra AC 400 20  cm

Chú ý: Sau khi tính được AB ( hoặc AC ) có thể sử dụng định lý Py-ta-go với tam giác

vuông ABC để tính AC ( hoặc AB )

b)Cách 1: Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao thuộc

canh huyền và hai cạnh hình chiếu của hai cạnh góc

vuông trên cạnh huyền, ta có:

2 9.16 144,

AH BH HC  suy ra

 

144 12

Cách 2: Trong tam giác vuông ABH, theo định lý

Py-ta-go, ta có:

2 2 – 2 152 92 225 81 144

Suy ra AH  144 12  cm

Cách 3: Theo hệ thức liên hệ giữa hai cạnh góc vuông và

đường cao ứng với cạnh huyền, ta có:

AH BCAB AC

Suy ra

12 25

AB AC

BC

16 9

H

A

Bài 3.

Tam giác ABC vuông ở A, ta có: BC2AB2AC2 427,52 72, 25

Suy ra BC 72, 25 8,5 cm

AH là đường cao thuộc cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, nên:

2 ,

AB BH BC Suy ra

2 42 15

1 8,5 17

AB

BC

2 7,52 21

8,5 34

AC

BC

Bài 4.

a) Tam giác AHB vuông ở H, ta có:

2 2 2 62 4,52 56, 25

AB AH HB   

56, 25 7,5

Tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao thuộc

cạnh huyền BC, nên:

AB BH BC

Suy ra

2 7,52

12,5 4,5

AB

BH

Áp dụng định lý Py- ta – go với tam giác vuông ABC, ta

H

A

Hình …

Hình …

7,5 A

6

Hình 2

A A

6

4

H

6

C

6

B

6

2 2 2 12,52 7,52 100,

AC BC AB   

Do đó BC10 cm

 

– 12,5 4 8,5

CH BC BH    cm

b)Tam giác AHB vuông ở H, ta có:

2 2– 2 6 – 32 2 27 ,

AH AB BH   suy ra AH 3 3 cm

AH là đường cao thuộc cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, nên:

,

2 27

3 9

HA

BH

12.9 108,

Bài 5.

Tam giác AHB vuông ở H, ta có:

 

225 15

Tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao

thuộc cạnh huyền BC,

nên AB2 BC BH. , suy ra:

2 225

25 9

AB

BH

 2

.25.20 150

ABC

H

A

Bài 6.

a) Ta có:

2 7.52 56, 25

2 2 62 4,52 56, 25

AB AC   

Vậy ABC vuông ở A

Tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao

thuộc cạnh BC nên:

Do đó AH AB AC. 3,6 cm

BC

H

A

b) Tam giác ABC vuôngtại A, AHBC, ta có:

2

2 62 24 7,5 5

AB

BC

Hình ….

2 4,52

2, 7 7,5

AC

BC

Bài 7

Giả sử ABC vuông ở A, có AB = 7 và AC = 24

Khi đó theo định lý Py – ta –go ta có:

BC  BC AB2AC2  72242 25cm

Kẻ AHBC, ta có:

AB AC

BC

2 72

1.96 25

AB

BC

2 242

23, 04 25

AC

BC

24 7

H

A

Bài 8

Giả sử tam giác ABC vuông ở A có:

5

12

AB

Vì

5 12

AB

k k

Suy ra AB5 , k AC12k

Tam giác ABC vuông ở A, ta có:

AB AC BC hay 5k2 12k2 262

Suy ra 169k 2 676, do đó k  suy ra 2 4, k  2

Vậy AB5.2 10  cm, AC12.2 24 cm

Tam giác ABC vuông ở A, AHBC,

nên:

2 102 50

26 13

AB

BC

2 242 288

26 13

AC

BC

A

B

Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC

tại E Ta có tứ giác ABEC là hình bình hình hành

Nên AC BE 16 cm

Vì AC vuông góc với BD, AC BE nên BD vuông góc với BE do đó tam giác BDE là tam giác vuông tại .B Áp dụng định lý pi – ta - go cho tam giác BDE vuông tại B ta được:

2 2 2 122 162 400

20

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:

BH DE BD BE

BD BE

DE

Bài 10.

Tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, khi đó

2

2

2

63 9

112 16

Vì AD là tia phân giác của góc BAC Nên theo tính chất tia phân giác của một góc, ta có:

   

     

   

Vậy

25

DC



 3.25 75

4.25 100

Do đó HD12cm

Bài 11.

a) Tam giác ABH vuông tại H nên AB2 AH2HB2(định lí pi – ta - go)

Tam giác AHC vuông tại C nên AC2 AH2HC2

Ta có AC2BH2 AH2HC2BH2 AB2CH2

b) Tam giác ABC vuông tại A trung tuyến AM nên BC 2AM VT AB2AC2 BC2

VP  AM     BC

 

VT VP nên ta có điều phải chứng minh

Sử dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác AHM ta có điều phải chứng minh

Bài 12

a) Tam giácADK bằng tam giác CBI nên AKIC và DK BI Tứ giác BIDK là hình bình

hành vì DK//BI(cùng vuông góc với AC) và DK=BI

b)

Bài 13

a) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu lên cạnh huyền và cạnhhuyền trong tam

giác vuông HBA và HCA .

b) Tương tự a) áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền

trong tam giác ABC .

Bài 14

a) Chứng minh AH là đường trung bình của tam giác BCD

b) Sử dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông trong tam giác vuông BCD và áp dụng

câu a)