Hh9 tuần 16 tiết 31 vị trí tương đối của hai đường tròn phiếu số 8 thảopt

Gọi M là trung điểm của BC.. d BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMI.. c Chứng minh trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD khi d thay đổi, từ đó suy ra trung đ

PHIẾU SỐ 6 - HỌC KÌ I – TUẦN 16 - TIẾT 31 – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG

TRÒN

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ các đường tròn  O

và  I

đi qua A và tiếp xúc với

BC tại B và C Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh:

a)  O

và  I

tiếp xúc với nhau

b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  O

và  I

c) Tam giác OMI là tam giác vuông.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMI

Bài 2: Cho O R, 

và O r', 

tiếp xúc ngoài tại A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của O R, 

và

O r',  B O C,  O' 

Tiếp tuyến chung trong của O R, 

và O r', 

cắt BC tại I

a) Chứng tỏ  

90 ; ' 90

b) Kẻ đường kính BD của  O

Chứng minh ba điểm , ,A C D thẳng hàng.

c) Tính theo R và r độ dài BC BA CA, ,

d) Kẻ đường kính CE của  O

Chứng minh S ABC S ADE

Bài 3: Cho hai đường tròn  O

và  O'

cắt nhau tại hai điểm ,A B Gọi C đối xứng với A qua O ,

D đối xứng với A qua ' O Một đường thẳng d bất kỳ đi qua A cắt  O và  O'

thứ tự tại M N, a) Chứng minh , ,C B D thẳng hàng.

b) AC cắt  O

tại E , AD cắt  O'

tại F Chứng minh bốn điểm , , , C D E F cùng thuộc một đường

tròn

c) Chứng minh trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD khi d thay đổi, từ đó suy ra trung điểm của MN luôn di động trên một đường tròn cố định.

d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.

Bài 4: Cho O R, 

và O r', 

có R r  tiếp xúc ngoài tại A Vẽ các đường kính AOC và AO Dây'C

DE của đường tròn  O vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.

a) Chứng minh BDCE là hình thoi

Nhóm chuyên ề Khối 6,7,8,9 đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/

b) Gọi I là giao điểm của EC và Chứng minh , thẳng hàng.

c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của  O'

Bài 5: Cho hai đường tròn  O

và  O'

cắt nhau tại ,A B Dây AC của  O

tiếp xúc với  O'

tại

A Dây AD của  O' tiếp xúc với  O

tại A Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của

'

OO , E đối xứng với A qua B Chứng minh:

a) ABKB

b) Bốn điểm , , A C E D cùng thuộc một đường tròn.

ĐÁP ÁN PHIẾU SỐ 6 - HỌC KÌ I – TUẦN 16 - TIẾT 31 – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI

ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ các đường tròn  O

và  I

đi qua A và tiếp xúc với

BC tại B và C Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh:

a)  O

và  I

tiếp xúc với nhau

b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  O

và  I

c) Tam giác OMI là tam giác vuông.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMI

Giải:

2 1 2

1

2 1

I K

B

A O

a)  O

tiếp xúc với BC tại B  OB BC

 I

tiếp xúc với BC tại C  IC BC

Suy ra OB/ / IC (từ vuơng gĩc đến song song)

0 0

180

180 1

OBC ICB

B B C C

Cĩ

B1A1OABcântạiO

;

C1A2IAC cântại I

suy ra

A A1 2 B C1 1 2

Từ (1) và (2) suy ra



0

0

180

180

OAI

, ,

O A I

 thẳng hàng

OI OA AI

   O và I



tiếp xúc ngồi tại A b) ABC vuơng tại A cĩ AM là đường trung tuyến

1 2

Chứng minh OAMOBM c c c   OAM OBM

(hai gĩc tương ứng)

Mà OBM 900 (vì BC tiếp xúc với  O

)

OAM900 OA AM tại A mà A O

Suy ra AM là tiếp tuyến tại A của  O

Chứng minh tương tự AM là tiếp tuyến tại A của  I

Do đĩ AM là tiếp tuyến chung của  O

và  I

c) Xét  O

cĩ MA MB, là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Nhĩm chuyên ề Khối 6,7,8,9 đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/

Chứng minh tương tự MI là phân giác của AMC

Mà AMB và AMC là hai góc kề bù nên MO MI  OMI vuông tại M

d) Gọi K là trung điểm của OI

Xét OMI vuông tại M có K là trung điểm của cạnh huyền OI

K

 là tâm đường tròn ngoại tiếp OMI

Xét tứ giác OBCI có OB IC / /

OBIC

 là hình thang

Lại có M K, lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên OI BC,

MK

 là đường trung bình của hình thang OBIC

/ / O

MK BC

  tại M mà M K

BC

 là tiếp tuyến của tại M của đường tròn  K

ngoại tiếp OMI Bài 2: Cho O R, 

và O r', 

tiếp xúc ngoài tại A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của O R, 

và

O r',  B O C,  O' 

Tiếp tuyến chung trong của O R, 

và O r', 

cắt BC tại I

a) Chứng tỏ  

90 ; ' 90

b) Kẻ đường kính BD của  O

Chứng minh ba điểm , ,A C D thẳng hàng.

c) Tính theo R và r độ dài BC BA CA, ,

d) Kẻ đường kính CE của  O

Chứng minh S ABC S ADE

Giải:

O'

E

I

C B

A O

a) Xét đường trịn  O

cĩ IA IB, là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I

 



1

IA IB

IO làphân giáccủa AIB



 



Chứng minh tương tự

 



2 '

IA IC

IO làphân giáccủa AIC





Từ (1) và (2) suy ra

1 2

IA IB IC   BC BAC

vuơng tại ABAC900

Vì IOlàphân giáccủa AIB và IO làphân giáccủa AIC' 

Mà AIB và AIC là hai gĩc kề bù nên IO IO 'OIO' 90 0

b) Vì BD là đường kính của  O

ngọai tiếp ABD  ABD vuơng tại ABAD900

mà BAC900DAC1800  A C D, , thẳng hàng

c)+ Cĩ

2

IA BC BC IA

Xét OIO' vuơng tại I cĩ IA OO ' ( Vì IA là tiếp tuyến chung trong của    O O, '

)

IA OA O A

  ( hệ thức lượng trong tam giác vuơng)

+ Áp dụng Pi – ta – go vào BDC vuơng tại B DC BD2BC2  2R24Rr2 R2Rr

+ Xét BDC vuơng tại B cĩ BADC

Nhĩm chuyên ề Khối 6,7,8,9 đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/

2

AB DC BD BC AB



 ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)

+ Xét BDC vuông tại B có BADC

BC CA CO

  ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)

2

2 2

R r

R Rr



 d) Có OB O C/ / '  CE BD/ /

Xét tam giác ABD có CE BD / /

AD AB

Bài 3: Cho hai đường tròn  O

và  O'

cắt nhau tại hai điểm ,A B Gọi C đối xứng với A qua O ,

D đối xứng với A qua ' O Một đường thẳng d bất kỳ đi qua A cắt  O và  O'

thứ tự tại M N, a) Chứng minh , ,C B D thẳng hàng.

b) AC cắt  O

tại E , AD cắt  O'

tại F Chứng minh bốn điểm , , , C D E F cùng thuộc một đường

tròn

c) Chứng minh trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD khi d thay đổi, từ đó suy ra trung điểm của MN luôn di động trên một đường tròn cố định.

d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.

Giải:

F

N I

M

K

O' E

D C

B A

O

a) C đối xứng với A qua O suy ra O là trung điểm của AC suy ra AC là đường kính của  O

D đối xứng với A qua ' O suy ra ' O là trung điểm của AD suy ra AD là đường kính của  O'

Vì ABC nội tiếp  O có cạnh AC là đường kính suy ra ABCvuông tại BABC900

CMTT ta có ABD 900

Suy ra CBD 1800suy ra , ,C B D thẳng hàng.

b) Vì AED nội tiếp  O'

có cạnh AD là đường kính suy ra AEDvuông tại E

AED 900 CED

    vuông tại E  C E D, ,  đường tròn đường kính CD (1)

CMTT ta có C,F,D  đường tròn đường kính CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm , , ,C D E F cùng thuộc đường tròn đường kính CD

c) Giả sử đường trung trực của MN cắt MN tại I và cắt CD tại K

IK MN

IM IN

 





CMTT ta được CMA900 CM MN

AND900 DN MN

Suy ra IK CM DN/ / / / (cùng vuông góc với MN )

Tứ giác CMNDcó CM DN/ /  CMND là hình thang

Lại có I là trung điểm của MN và IK CM DN/ / / /

K

 là trung điểm của CD ( định lí đường trung bình hình thang)

Vậy khi d thay đổi thì đường trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD

Vì A cố định nên CD cố định suy ra trung điểm K của CDcố định suy ra AK cố định

Mà AIK900 AIK nội tiếp đường tròn đường kính AK cố định

suy ra trung điểm I của MN luôn di động trên đường tròn đường kính AK cố định.

d) Có MNCD Dấu ”=”xảy ra khi MN CD/ /

khi đó maxMN CD  MN CD/ /

Vậy khi d đi qua A và song song với CD thì MN có độ dài lớn nhất bằng CD

Nhóm chuyên ề Khối 6,7,8,9 đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/

Bài 4: Cho và có R r  tiếp xúc ngoài tại A Vẽ các đường kính AOC và AO Dây

DE của đường tròn  O vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.

a) Chứng minh BDCE là hình thoi

b) Gọi I là giao điểm của EC và  O'

Chứng minh , D A I thẳng hàng.

c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của  O'

Giải:

a) Xét  O

có ABDE tại K suy ra K là trung điểm của DE ( quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Xét tứ giác BDCE có hai đường chéo BC DE; vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

BDCE

 là hình thoi

b) Xét ABD nội tiếp  O

có cạnh AB là đường kính

ABD

  vuông tại D

ADB 900 AD BD

Mà BD CE suy ra AD CE/ /  (1)

Xét AIC nội tiếp  O'

có cạnh AC là đường kính

AIC

  vuông tại I

AIC 900 AI EC

Từ (1) và (2) suy ra , D A I thẳng hàng.

d) Vì DIEC suy ra DIE vuông tại I có IK là đường trung tuyến

1 2

2

1

1 1

I

E

D

C

  cân tại

 

K I E

(3)

Vì 'O C O I '  O IC' cân tại

 

'

O  I C

(4)

Mà

1 1 90 ( EKC vuôngtạiK)

E C  

(5)

Từ (3), (4), (5) suy ra

I I   KIO   KI O I

mà I O'

KI

 là tiếp tuyến tại I của  O'

Bài 5: Cho hai đường trịn  O

và  O'

cắt nhau tại ,A B Dây AC của  O

tiếp xúc với  O'

tại A Dây AD của  O'

tiếp xúc với  O

tại A Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của

'

OO , E đối xứng với A qua B Chứng minh:

a) ABKB

b) Bốn điểm , , A C E D cùng thuộc một đường trịn.

Giải:

a) Hai đường trịn  O

và  O'

cắt nhau tại ,A B

'

OO

 là đường trung trực của AB

' AB

OO

  tại trung điểm F của AB

Nhĩm chuyên ề Khối 6,7,8,9 đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/

F I

K

O'

E

D C

B A

O

và F là trung điểm của AB

Suy ra IF là đường trung bình của AKB

/ /

IF KB

 mà IF AB OO  'AB

KB AB

  (từ vuơng gĩc đến song song)

b) Cĩ KBAB và BA BE ( vì E đối xứng với A qua B )

KB

 là đường trung trực của AE

KA KE

I là trung điểm của AK

I là trung điểm của OO





 Suy ra AOKO là hình bình hành'

' / /

O A OK

 mà 'O A AC ( vì AC tiếp xúc với  O'

tại A )

OK AC

  Mà AOC cân tại O

OK

 đồng thời là đường trung trực của AC

KA KC

CMTT ta cĩ KAKD (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra KA KC KE KD  A C E D, , , cùng thuộc đường trịn K KA, 