Toan 8 ha hoa (21 22)

Câu 6: Gọi x là nghiệm của phương trình 0.. 4 Câu 10: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau, biết AC cm BD cm Diện tích của tứ giác ABCD bằng A.. Câu 11: Một khu vườn h

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THCS

NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 03 trang

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Thí sinh lựa chọn 1 phương án đúng

Câu 1: Xét các số thực a b, thỏa mãn a2 b2ab15. Biểu thức

 

 

2

2 2

4

4 4

  

   bằng

A

1

.

1

Câu 2: Biết

2

3

6 5

ax b cx x









Khi đó giá trị của a b  2c bằng

Câu 3: Biết 2x1  x33x2 2 2x4ax3bx2cx d

Biểu thức a b 2c d có giá trị bằng

Câu 4: Cho đa thức f x ( ) 2  x3  ax2  bx c  Biết f x ( ) chia cho x  1; x  3 và x  5

đều dư 2022. Khi đó f (2) bằng

Câu 5: Biết với x x 0 thì biểu thức 2

1

x P

x x





  (với x   1) có giá trị lớn nhất

Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn x0?

Câu 6: Gọi x là nghiệm của phương trình 0

2020 2021 2022 2023

Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn x0?

Câu 7: Tính tổng tất cả các giá trị của m để phương trình

( 2) ( 2) 8

0 1

x



nghiệm x duy nhất

ĐỀ CHÍNH THỨC

A 0. B 2. C 14. D 8.

Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn điều kiện

2

0?

x x



Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB  3 cm AC ,  4 cm

Tỷ số

BH

BC bằng

A

9

9

3

3 4

Câu 10: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau, biết

AC cm BD cm Diện tích của tứ giác ABCD bằng

A 14cm2

B 28cm2

C 24 cm2

D 48cm2

Câu 11: Một khu vườn hình chữ nhật ABCD được chia thành bốn hình chữ nhật như hình

vẽ dưới đây Biết diện tích ba hình chữ nhật bằng 40m2, 60 m2, 30 m2.

Diện tích khu vườn bằng

A 180  m2

B 140 m2

C 160 m2

D 150 m2

Câu 12: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 48 cm2

Trên các cạnh AB AC lần lượt,

lấy các điểm ,D E sao cho AB4AD AC, 3AE Diện tích tứ giác BDEC bằng

A 36 cm2

B 20cm2

C 44cm2

D 28cm2

Câu 13: Cho hình thang cân ABCD  AB CD / /  Biết AB3cm CD, 9 cm AD, 5cm. Diện tích của hình thangABCD bằng

A 32cm2

B 12cm2

C 48cm2

D 24cm2

Câu 14: Tam giác ABC có AB3 cm AC, 6 cm BAC, 120 o Độ dài đường phân giác

AM của tam giác ABC bằng

 

2 3 cm 2cm 6cm 2, 4cm 

Câu 15: Ghép 42 hình lập phương có cạnh 1 cm được một hình hộp chữ nhật có chu vi đáy

18cm Khi đó kích thước cạnh lớn nhất của hình hộp chữ nhật bằng

A 9 cm B 6 cm C 7 cm D 8 cm

Câu 16: Một khu vườn hình chữ nhật ABCD có AB30 ,m AD 20 m Người ta muốn trồng hoa trong hình tứ giác EFGH như hình vẽ sao cho

AEAF CG CH x

Diện tích lớn nhất để trồng hoa bằng

A 300 m2

B 312,5  m2

C 325 m2

D 315,5 m2

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Cho , , ,a b c d là các số nguyên dương thỏa mãn a2 b2 c2d2

Chứng minh rằng a b c d   là hợp số

b) Tìm tất cả các giá trị dương của x để biểu thức

2 2

P

x x





  nhận giá trị nguyên

Câu 2 (4,0 điểm).

2

trị của a để biểu thức P có giá trị lớn nhất.

b) Giải phương trình: 2x2 5x3 18  x2 21x5 35

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có BC  2 , a gọi M là trung điểm của

.

BC Lấy điểm D E , lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB AC , sao cho  DME ABC  

a) Chứng minh rằng: BD CE a  2.

b) Chứng minh: DM là tia phân giác của góc EDB 

c) Tính chu vi tam giác AED nếu AM  a 3.

Câu 4 (1,0 điểm) Cho hai số thực x y, khác 0 thỏa mãn x2  y2  1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

2 2

x y x y



-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh được phép sử dụng máy tính bỏ túi.

Họ và tên thí sinh:….………Số báo danh:………

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA

Đề chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THCS

NĂM HỌC 2021-2022 Môn: TOÁN 8

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Mỗi câu đúng 0,5 điểm

II.PHẦN TỰ LUẬN: (12 điểm)

Câu

1

(3đ)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Cho a b c d, , , là các số nguyên dương thỏa mãn a2b2 c2d2. Chứng

Với n là số nguyên thì n2 nn1n là tích của hai số nguyên liên tiếp

Áp dụng nhận xét trên ta có:

a2b2c2d2 a b c d    a2  a  b2 b  c2 c  d2 d

chia hết cho 2

0,25

Do a2b2 c2d2 nên

a2b2c2d2 a b c d    2a2b2 a b c d    0,50 Suy ra 2 a 2 b2 a b c d   

chia hết cho 2

a b c d

    chia hết cho 2

0,25

Câu Nội dung Điểm

b) Tìm tất cả các giá trị dương của x để biểu thức

2 2

3 12

3 4

P





  nhận giá trị nguyên

1,5

Do x  1 0 nên ta có

 

   



Với x 0 thì P 0 và

3

1

P

x

 

0 P 3 P 1; 2

+ Với

x

x

3

1

x

x

 Vậy các giá trị x thỏa mãn là

1 , 2

2

x x

0,25

Câu

2

(4đ)

Câu 2 (4,0 điểm)

2

Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị lớn nhất

2,0

Điều kiện

2 2

a a









   

2

2

        

0,50

 2 2 a2  2a 5  4a2  4a 1 11 0,25  

2

2a 1 11 11

Dấu bằng xảy ra khi

1 2

Vậy để biểu thức P có giá trị lớn nhất thì

1 2

b) Giải phương trình: 2x25x3 18  x221x5 35 2,0

Ta có: 2x25x 3 x1 2  x3 ; 18x221x 5 3x1 6  x5 0,25 Nên phương trình đã cho có dạng x1 2  x3 3  x1 6  x535 0,50

Câu Nội dung Điểm

       

1 6 5 2 3 3 1 35

6 11 5 6 11 3 35

          

Đặt t 6x211x4 thay vào ta được phương trình

t1 t135t2 36 t 6,t6. 0,50 Với t 6 6x211x  4 6 6x211x 2 0  x2 6  x10

1 2; 6

0,50

Với t 6 6x211x  4 6 6x211x10 0

=> phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

1

2, 6

x x

0,25

Câu

3

(4đ)

Ta có: DMCDME CME

DMC DBM BDM   ABC BDM

0,50

Mà DME ABC

BDM

   CME (vì B C ; BDM CME )

2

BD BM

BD CE CM BM a

AB

CM BM  a

)

0,50

b) Chứng minh: DM là tia phân giác của góc EDB  1,0

Theo câu a) có BDM  CME

CM BM

DME

MDE BDM

DM

3.

Câu Nội dung Điểm

Ta có ACAB AM2AM2 2a BC  ABC là tam giác đều 0,25 Theo câu b ta có DM là phân giác của góc BDE

Chứng minh tương tự ta có: EM là phân giác của góc CED . 0,25 Gọi H I K, , lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến các đường

, ,

AB DE AC

Khi đó DHM DIM  DH DI.

.

0,25

Do đó chu vi tam giác AED bằng:

AD DE EA AD   DI EI EA

AD DI AE EI AD DH AE EK AH AK 2AK

0,25

Do tam giác ABC đều cạnh 2a nên tam giác KMC vuông tại K có

KCM   KC MC   AK 

Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3 a

0,50

4

(1đ) Câu 4 (1,0 điểm) Cho hai số thực x y, khác 0 thỏa mãn

2 2 1

x y  Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

4 4 2 2

4



1,0

Áp dụng bất đẳng thức AG-MG, chứng minh được: với hai số dương a b,

ta có:

1 1 4

2

4ab a b

Dấu " " xảy ra khi a b .

0,25

Áp dụng các BĐT trên ta có:

2 2

4



0,25

2 2

2

 Dấu bằng xảy ra khi

2 2

2 2

2 2

1

x y

x y

 







 Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 11 khi

1 2

x y 

0,25