095 đề hsg toán 8 quan hòa 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUAN HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thứ[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUAN HÒA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023_MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức

2

P

x x xy xy xy y x xy y

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức Pbiết x y, thỏa mãn đẳng thức x2y210 2 x 3y 2) Cho các số dương x y, thỏa mãn đẳng thức 7x313xy 2y2 0 Tính giá trị biểu thức

2 6

7 4

x y

A

x y







Câu 2 (4,0 điểm)

1) Tìm hệ số a b, sao cho x4 x3 3x2ax b chia cho x2 x 2được dư là 2x  3

2) Cho a b , 1thỏa mãn a b 1.Chứng minh

ab



3) Giải phương trình :  

2

2

2

x

x x

x   

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình : x y2  5 xy x y  1

2) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x4y x 3y2

3) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a b, sao cho a 2 2chia hết cho ab 2

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H 1) Chứng minh : BH BE CH CF.  . BC2

2) Tính

HD HE HF

AD BE CF

3) Gọi K là giao điểm của DE và CF Chứng minh HF CK. HK CF.

4) Chứng minh

2

4

BC

AD HD 

5) Gọi M, N, P,Q lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB AD CF BC, , , . Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường thẳng

Câu 5 (2,0 điểm)

1) Cho x y z, , là các số thực không âm, đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

xy yz zx

x y  y z  z x   

2) Cho các số thực a b c, , dương thỏa mãn a2b2c2abc4 Chứng minh rằng

2

ab bc ca abc   

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

3) Cho biểu thức

2

P

x x xy xy xy y x xy y

c) Rút gọn biểu thức P

ĐKXĐ: x0;y0;x y

2 2

2

2

P

x x xy xy xy y x xy y

y x x y

x x x y xy x y y x y x xy y

x y xy xy x y y x x y y x

 

y xy



d) Tính giá trị của biểu thức Pbiết x y, thỏa mãn đẳng thức x2y210 2 x 3y

Ta có :

       

Vậy với

2

3

x y  P

4) Cho các số dương x y, thỏa mãn đẳng thức 7x313xy 2y2 0 Tính giá trị biểu thức

2 6

7 4

x y A

x y







Ta có

2 ( )

7 ( )

y y

x y tm A

x y

y y

x y

y x ktm







 



Câu 2 (4,0 điểm)

4) Tìm hệ số a b, sao cho x4 x3 3x2ax b chia cho x2 x 2được dư là 2x  3

Ta có :x4 x3 3x2ax b chia cho x2 x 2được dư là 2x  3nên

Với x   1 1 a b  5 b a 4 b a  4 1 

Với x   2 4 2a b  1 2a b  5 b 5 2 2a 

Từ (1), (2)  a 4 5 2  a a 3 b1

Vậy với a3,b1thì x4 x3 3x2ax b chia cho x2 x 2được dư là 2x  3

5) Cho a b , 1thỏa mãn a b 1.Chứng minh

ab



 

 

2 2 2

VT

a b a b

b b a a ab ab b a b ab b b a b

ab



2 2

3

ab

VP dfcm

a b







6) Giải phương trình :  

2

2

2

x

x x

x    ĐKXĐ: x 2

2

2 2

2

x x

            

         

 

0 2 6

3

x x









 



Vậy tập nghiệm của phương trình là

6;

3

S     

Câu 3 (4,0 điểm)

4) Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình : x y2  5 xy x y  1

Ta có :

Vì

2

x  x x  x   x   

 

 

 

2



Từ (1), (2) suy ra 14x2 x 1 x2 x 1 U(14)1; 2;7;14 do x2 x  1 0 x

7

x x x x k co nghiem nguyen

x x x x k co nghiem nguyen



          



      





       

   











Vậy nghiệm nguyên của phương trình x y ;   0;1 ; 1;7 ; 3;7     

5) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x4y x 3y2

Ta có :

   

2









Vậy các số nguyên (x,y) thỏa mãn là x y ;   0;1 ;(1;0);(1;1);(0;0) 

6) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a b, sao cho a 2 2chia hết cho ab 2

Ta có :

2

a





b

Thử lại với a3,b 4 a2 2 7 không chia hết cho ab    2 12 2 14

Với a4,b 3 a2  2 14 chia hết cho ab    2 12 2 14

Vậy cặp số nguyên a b ;  4;3

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H

Q P N

M

K H

D

E F

A

6) Chứng minh : BH BE CH CF.  . BC2

Xét BHDvà BCEcó : EBCchung , BDH BEC90

 

BE BC

Chứng minh tương tự, ta có : CH CF CD BC.  .  2

Từ (1) và (2) suy ra CH CF BE BH.  . BD BC CD BC.  . BD CD BC BC .  2 Vậy BH BE CH CF.  . BC2

7) Tính

HD HE HF

AD BE CF

ABC

S DH BC S DA BC

Chứng minh tương tự ta có :    

S EB S FC

Từ      3 , 4 , 5 ta có :

1

DH EH FH

DA  EB  FC S S S S 

8) Gọi K là giao điểm của DE và CF Chứng minh HF CK. HK CF. Gọi K là giao điểm của DE và CF

Xét FACvà EABcó : BAC chung, CFABEA90

FAC EAB g g

AB CA

Xét AEFvà ABCcó :

 chung, AB CA

Chứng minh tương tự ta có DECABC AEF DEC

Mà AEF FEH DEC HEK90   FEH HEK

Hay EH là phân giác của FEKmà ECEH EClà phân giác ngoài tại đỉnh E của EFK

Xét EFK có EH là phân giác trong của FEK EC, là phân giác ngoài

HK FC KC FH

FE HF FC

9) Chứng minh

2

4

BC

AD HD 

Xét BCEvà ACDcó : BCAchung, BEC ADC90  BCEACD

HD AB

CD AD

Ta có :  

BD CD   BD CD  BD CD

2

BD CD BC

BD CD BD CD BD CD 

Từ (6), (7) ta có

2

4

BC

AD HD 

10)Gọi M, N, P,Q lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB AD CF BC, , , . Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường thẳng.

Ta có ME CF/ / (cùng vuông góc với AB)

Xét ACFcó / /

AM AE

ME CF

MF EC

Chứng minh tương tự :

EC ND MF ND

MN DF

MF ND (Ta let đảo) Chứng minh tương tự ta có PQ DF MQ DF / / , / / 4điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường thẳng

Câu 5 (2,0 điểm)

3) Cho x y z, , là các số thực không âm, đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

xy yz zx

x y  y z  z x   

Vì vai trò của x y z, , như nhau, giả sử xy z  x y 0,x z 0,y z 0

Ta có :

2 2

2 2

x z x x z x x x z

y

y z



Có xy yz zx xy  

 

x y xy

xy yz zx

y x

Có

2

4

x y

xy yz zx

xy yz zx



 

4) Cho các số thực a b c, , dương thỏa mãn a2b2c2abc4 Chứng minh rằng

2

ab bc ca abc   

Trong 3 số a1,b1,c1luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử hai số đó là a1,b1

abc c a b abc ac bc c abc ac bc c

Ta có : a2b2 2ab(với mọi a b, ) a2b2c2abc2bc c 2abc

2

ac bc c ab bc ca

Mà abc 2 ac bc  2 c abc 2 ab bc ca   ab bc ac abc   2(dfcm)