Toan 8 ha hoa (22 23)

Cùng một lúc, một xe con xuất phát đi từ thành phố A đến thành phố B và một xe khách đi từ thành phố B đến thành phố A.. Tính độ dài quãng đường từ thành phố A đến thành phố B.. Trên cù

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THCS

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 02 trang

- Thí sinh làm bài thi (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.

I TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) - Chọn phương án đúng trả lời đúng.

Câu 1 Rút gọn của biểu thức a b c  2 a b c  2 được kết quả là:

A 4a b B 4ab 4a c C 4 bc D 4ab 4ac 4 bc

Câu 2 Tính giá trị của biểu thức A2x22y2 2x 2 y4xy với x y  1 ta được

Câu 3 Phân tích đa thức 4x 4 81 thành nhân tử ta được kết quả là

A 2x2  6x 9 2  x2 – 6x 9. B 2x2  6x 9 2  x2 – 6x 9.

C 2x2  6x 81 2  x2  6x 1. D 4x2  6x 9 1 – 6  x2 x 9.

Câu 4 Cho (a1)(b 2)(c 3) 100 và a b c  6

Tính giá trị của biểu thức: P (a 1) (3 b 2) (3 c 3)3

Câu 5 Tìm hệ số a b c; ; để f x ax3bx2c chia hết cho x 2 còn khi chia cho x 2 1

thì dư x 5?

A a1;b1;c4 B a1;b2;c4

C a1;b2;c2 D a2;b2;c4

Câu 6 Cho phương trình: m x 1  5 m1x (ẩn x) Phương trình đã cho vô nghiệm khi

và chỉ khi

2

2

Câu 7 Nghiệm của bất phương trình: 1 5 1

1

x x





A 1 1.

3

3

x x

Câu 8 Số các giá trị nguyên của tham số m sao cho 22 m 23  để phương trình

  2

(  )   có nghiệm duy nhất là

Câu 9 Cho tam giác ABC có B   60 Hai tia phân giác AD và CE của các góc BAC và

ACB (D BC E AB ,  ) cắt nhau tại I Tính 2 2 ?







6

Câu 10 Cho tứ giác ABCD có A B 220

  Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K Số đo của góc CKD là:

Câu 11 Cho tứ giác ABCD có diện tích bằng 30cm2 Các đường thẳng AB và CD cắt nhau

tại E Gọi F và Glần lượt là trung điểm của AC và BD Tính diện tích tam giác

EFG?

ĐỀ CHÍNH THỨC

A 12cm B 7cm C 8cm D 6cm

Câu 13 Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Biết AH 6cm, BH 3cm Tính AC?

Câu 14 Cho tam giác cân ABC có BA BC a  , AC b Đường phân giác của góc A cắt

BC tại M , đường phân giác của góc C cắt BA tại N Tính MN ?

A a b

ab



B ab

a b D 2a b ab . Câu 15 Một cái hòm hình hộp chữ nhật có chiều dài36 cm, chiều rộng 15 cm, chiều

Câu 16 Cùng một lúc, một xe con xuất phát đi từ thành phố A đến thành phố B và một xe

khách đi từ thành phố B đến thành phố A Tỉ số vận tốc của xe con so với xe khách là

4 : 3 Sau khi hai xe gặp nhau thì xe con giảm tốc độ 25% và xe khách tăng tốc độ 25% để đi tiếp quãng đường còn lại Biết khi xe con đến thành phố B, xe khách vẫn

cách thành phố A 20km Tính độ dài quãng đường từ thành phố A đến thành phố B

A 320km. B 240km. C 560km. D 650km.

II TỰ LUẬN (12 điểm).

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2

2

x y  x y 

b) Cho a b, là các số nguyên dương biết a 1 và b 2007 chia hết cho 6

Chứng minh rằng 4n  a bcũng chia hết cho 6 (với n N *)

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Cho x y z, , thỏa mãn 1 1 1 0

x y z 

Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2

2023

P

b) Giải phương trình: 2 2 29 6

x  x  x  x 

Câu 3 (4,5 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng

có bờ là AB vẽ tia Ax By, cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O

kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D

a) Chứng minh

4

BD AB b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, từ M kẻ MHvuông góc với AB tại H Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH

c) Tìm vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDCnhỏ nhất

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn x y z  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

P

-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./

Họ, tên thí sinh: SBD:

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA

Đề chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THCS

NĂM HỌC 2022-2023 Môn: TOÁN 8

I TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm)

Mỗi câu đúng 0,5 điểm

II TỰ LUẬN (12 điểm).

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2y2 x y 2

b) Cho a b, là các số nguyên dương biết a 1 và b 2007 chia hết cho 6

Chứng minh rằng 4n  a bcũng chia hết cho 6 (với n N *)

a) x2y2 x y  2 4x24y2  4x 4y8

2x 12 2y 12 10

    

-Vì x y,  2x1; 2y 1   2x12 và 2y 12 là các số chính phương

Lại có: 10 1 2 32   12  32   1232   12  32

3212 32  12   3212   32  12

Do đó ta có bảng tính sau:

Vậy các cặp số nguyên x y, thoả mãn là:

1; 2 ; 1; 1 ; 0; 2 ; 0; 1 ; 2; 1 ; 2; 0 ;              1; 1 ;  1; 0 

-0,5

0,5

0,5

0,5 b) Ta có: a1 6, b2007 6

*) a1 2, b2007 2  a b 2008 2  a b 2

*) a 1 3,  b 2007 3 

         

      do4 1 4 1 4n    n 1 4n 2 1 3 4  n 1 4n 2 1 3 

-Từ (1), (2), (3) Suy ra: 4n  a b 6

-0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Cho x y z, , thỏa mãn 1 1 1 0

x y z 

Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2

2023

P

b) Giải phương trình: 2 2 29 6

x  x  x  x 

yz xy xz

yz xy xz

xz yz xy





Ta có:

2

2

2

Do đó: Px y x z 1   y x y z 1   z x z y 1  2023

- 

x y x z y z

  

-0,5

0,25

0,25 0,5

b) ĐKXĐ: 1; 3

2

x x

-Ta thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình:

Xét x 0 ta có :

Đặt 2x 3 3 t

x

   , ta có phương trình 2 9 6

t t 

2 3

5 2

t

t







 



3

3 ( )

x

x























-Tập nghiệm của phương trình là 3; 2

4

S 

 

-0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

Câu 3 (4,5 điểm)

Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ tia

,

Ax Bycùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D

a) Chứng minh

4

BD AB b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, từ M kẻ MHvuông góc với AB tại H Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH

c) Tìm vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDCnhỏ nhất.

K H

I

M

D

O

C

a) Chứng minh OAC∽ DBO g g . 

OA OB AC BD

   

AC BD

    (đpcm)

-0,5 0,5 0,5 b) Theo câu a) ta có OAC DBO g g( ) OC AC

Chứng minh: OAC∽ DOC c g c( )  ACOOCM

Chứng minh: OACOMC ch gn(  )  AC MC

-Ta có: OACOMC OA OM CA CM ;   OClà trung trực của AM

Mặt khác OA OM OB AMBvuông tại M

-Suy ra: OC BM/ / (vì cùng vuông góc với AM) suy ra OC BI/ /

Xét ABIcó OC đi qua trung điểm AB, song song BI  ICAC

. -Gọi K là giao điểm của MH và BC

/ /

MH AItheo hệ quả định lý Talet ta có : MK KH BK

 

-Mà ICAC MK HK BCđi qua trung điểm của MH (đpcm)

-0,25

0,25

0,25 0,5

0,25 c) Tìm vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDCnhỏ nhất

Tứ giác ABDClà hình thang vuông nên 1 .

2

ABDC

S  AC BD AB

-Ta thấy AC BD , 0, nên theo BĐT Cô si ta có :

2

0,5

2 2

AC BC   AO

-Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA thì diện tích tứ giác

ABDC nhỏ nhất

-0,25

0,25

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

P

Trước tiên chứng minh được BĐT 1 1 1 1

4

 

(với a b c, , dương, dấu bằng xảy ra  a b c  )

-Áp dụng:

P

Ta có: 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1

Do đó:

P

 

 

-Vậy MinP = 3

2 đạt được khi x = y = z = 1

-0,25

0,25

0,25 0,25