051 đề hsg toán 8 hoàng hóa 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOÀNG HÓA ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để c) Tìm các giá trị của[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOÀNG HÓA

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023

MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức

1 1 2 :

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để

1 2

P 

c) Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên

2) Cho các số x y z, , khác 0 thỏa mãn đồng thời

1 1 1

2

x yz  và 2

2 1

4

xy z 

Tính giá trị của biểu thức  

2019 2

P x y z

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q3x3 7x217x 5

2) Giải phương trình x1 x2 x27x12 24

3) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  1

Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 0

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Cho m n, là các số tự nhiên thỏa mãn 4m2m5n2n Chứng minh rằng m n ;

5m5n1đều là các số chính phương

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :    

x  x y  y

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC .Kẻ đường phân giác AD(D thuộc BC) Kẻ AJvuông góc với BC(J thuộc BC) Từ D kẻ DH DK, lần lượt vuông góc với

AB AC HAB KAC , BK cắt DHtại M, CHcắt DK tại N

1) Chứng minh rằng AJ2 JB JC. ,

2) Chứng minh rằng MN/ /BC

3) Gọi Ilà giao điểm của BK và CH Chứng minh rằng tam giác ABK đồng dạng tam giác

KAN và chứng minh ba điểm A I J, , thẳng hàng

4) Gọi Elà giao điểm của AM và BD F, là giao điểm của BMvà AD Chứng minh rằng

9

Bài 5 (2,0 điểm)

1) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn

1 1 1

2019

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

P

x y z x y z x y z

2) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng :

a b2 b c2 c a2 9 2 a b c

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

3) Cho biểu thức

1 1 2 :

P

d) Rút gọn biểu thức P

 

 

   

 

 

 

 

 

2

2

0

1 1 2 :

1

1

x

P

x







e) Tìm các giá trị của x để

1 2

P 

       

2

1( )

( ) 2

x

x

x tm

x tm

           









 



f) Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên

1

 

Để P Z  1x1 x1U   1   1 x2;0

4) Cho các số x y z, , khác 0 thỏa mãn đồng thời

1 1 1

2

x yz  và 2

2 1

4

xy z 

Tính giá trị của biểu thức  

2019

2

P x y z

2

2

          

2 2

1 1 1 2 2 2 2 1

0

1 1

0

1 1

0

x y z xy yz xz xy z

x z

x y z

y z

               



 



  



Thay x y zvào

1 1 1

2

xyz  ta được

1 2

x y

và

2019

z  P     

Bài 2 (4,0 điểm)

4) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q3x3 7x217x 5

2

3 7 17 5

3 6 2 15 5 3 1 2 3 1 5(3 1)

5) Giải phương trình x1 x2 x27x1224

             

2

1 ( 4) 2 3 24 0 5 4 5 6 24 0 *

Đặt tx25x5, phương trình (*) thành :

5

1 1 24 0 1 24 0

5

t

t

Vo nghiem





          



Vậy S   5;0

6) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  1

Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 0

   

1 a ab bc ca a    a b a c 

Hoàn toàn tương tự : 1b2 b a b c    ; 1c2 c a c b    

       

2

1

c c a c b c a c b c b c a

       

       

2

2

1

1

a b a c a b a c a c a a b

b b a c b b a c b a b c b

Vậy 1 2 1 2 1 2 0

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Cho m n, là các số tự nhiên thỏa mãn 4m2m5n2n Chứng minh rằng m n ;

5m5n1đều là các số chính phương

Ta có : 4m2m5n2n

4m 4n m n n m n 4m 4n 1 n 1

Gọi d UCLN m n m   ; 4 4n1 4m4n1 4m n d   8n1d 2

Từ  1  n d2 2 n d  3

Từ (2) và (3) suy ra 1d d 1

Vậy m n và 4m4n1là các số nguyên tố cùng nhau thỏa mãn  1

Nên chúng đều là các số chính phương

4) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :    

2

2

2 2

2 1 2 2

         

Nếu

2 2

2 2

2

2

0 0

1 1

1

1 1

2 0( )

y

y y

y y

y

y y

  



  

  

 Phương trình có các tập nghiệm nguyên 0;0 , 0; 1   

1

y

y







 Phương trình có nghiệm 1;0 , 1; 1   

x   x x   x x  không có nghiệm nguyên x  1

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC .Kẻ đường phân giác AD(D thuộc BC) Kẻ AJvuông góc với BC(J thuộc BC) Từ D kẻ DH DK, lần lượt vuông góc với

AB AC HAB KAC , BK cắt DH tại M, CH cắt DK tại N

E

M

K H

J D

A

B

C

5) Chứng minh rằng AJ2 JB JC. ,

Ta có   B C90(vì ABCvuông tại A), CAJ  C90 (vì tam giác AJBvuông)

B CAJ

   Xét AJCvà JBAcó :

AJB AJC CAJ B cmt AJC JBA g g

Xét tứ giác AKDH có : DHAHAK AKD90  AKDHlà hình chữ nhật

 

Từ (1) và (2) suy ra

6) Chứng minh rằng MN/ /BC

7) Gọi Ilà giao điểm của BKvà CH Chứng minh rằng tam giác ABKđồng dạng tam giác KAN và chứng minh ba điểm A I J, , thẳng hàng

Xét tứ giác AKDH có  A H K 90  AKDHlà hình chữ nhật mà ADlà phân giác của

A

  AKDHlà hình vuông  AK DK DH AH

AKB ANK

  

Mà ANK NAK 90  APKvuông tại P hay AN BKtại P

Chứng minh tương tự ta có AM CH  I là trực tâm của tam giác AMN  AI MN

Mà MN/ /AC AI MN mà AJ MN A I J, , thẳng hàng

8) Gọi Elà giao điểm của AM và BD F, là giao điểm của BM và AD Chứng minh rằng

9

Đặt S ABD S S; MBD S S1; MAB S S2; MAD S3 S S 1S2S3

1 1 1

S

 = 1 2 3 1 2 3

9

S S S

     

Bài 5 (2,0 điểm)

3) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn

1 1 1

2019

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

x y z x y z x y z

 

4 4

x y z x x y z x x y z x x y z x x y z

Cmtt

Từ (1), (2), (3) ta có :

P

Vậy

4) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng :

a b2 b c2 c a2 9 2 a b c

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

3 2

ab ab bc bc ca ac b c c a a b

3 2

           

Ta có

b c b c

a a a a





Tương tự :

;

a c a c b a  a b

4

b c a c b a b c a c a b

b c a c b a b c a c a b b c a c a b

2 2 2 1

2

x y x z z y

y x z x y z

             

       

Lại có

yx  y x  z x  z x  yz  y z 

.6

b c a c a b