097 đề hsg toán 8 quan hóa 22 23

TRƯỜNG THCS QUAN HÓA ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện của x để xác định b) Rút gọn biểu thức c) Với những giá trị nguyên nào của thì[.]

TRƯỜNG THCS QUAN HÓA

ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC NĂM HỌC 2022-2023

MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

2 2

K

      

a) Tìm điều kiện của x để Kxác định

b) Rút gọn biểu thức K

c) Với những giá trị nguyên nào của xthì biểu thức Kcó giá trị nguyên ?

Câu 2 (4,0 điểm) Giải các phương trình sau :

) 3 4 3 1 0

a x  x  x  x 

)

b

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với n  thì n5 n30

b) Tìm x y Z,  sao cho 2x23xy 2y2 7

Câu 4 (6,0 điểm)Cho tam giác ABCvuông tại A ACAB, đường cao AH H BC   Trên tia HClấy điểm Dsao cho HD HA .Đường vuông góc với BCtại D cắt ACtại E a) Chứng minh rằng hai tam giác BECvà ADCđồng dạng Tính độ dài đoạn BEtheo

m AB

b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM

c) Tia AM cắt BCtại G Chứng minh

Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCkhông đều Các điểm H G O, , theo thứ tự là giao điểm của ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm H G O, , thẳng hàng

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

2 2

K

      

d) Tìm điều kiện của x để Kxác định

K xác định khi x1,x0

e) Rút gọn biểu thức K

2 2

2

1 1

K

      

        



f) Với những giá trị nguyên nào của xthì biểu thức Kcó giá trị nguyên ?

0

* 1 1

x x

K

x







19

x

Kết hợp vs điều kiện (*) ta có x   19

Vậy với x 19; 19  thì K nguyên

Câu 2 (4,0 điểm) Giải các phương trình sau :

2

2

1 0( )

   



            

  

 Vậy phương trình có tập nghiệm S   1

2

)

10( )

2(

b

x t

  



 m)







Câu 3 (4,0 điểm)

c) Chứng minh rằng với n  thì n5 n 30

Ta có : n5  n n n  4  1n n 2  1 n2  1n n  1 n 1 n 2 n 2 5n n  1 n 1

Ta có :

) 1 1 2 2 30 ( 2,3,5 1) 1

)5 1 1 5,6 5 1 1 30 2



Từ (1) và (2) suy ra n n 1 n1 n2 n 25n n 1 n1 30  n5 n30

d) Tìm x y Z,  sao cho 2x23xy 2y2 7

Ta lập bảng và có các kết quả

3; 1( )

9 13

3; 1( )

9 13

 





  



  







 

 Vậy x y ;   3; 1 , 3;1    

Câu 4 (6,0 điểm)Cho tam giác ABCvuông tại A AC AB , đường cao AH H BC   Trên tia HClấy điểm Dsao cho HD HA .Đường vuông góc với BCtại D cắt ACtại E

1

1

M

E

D H

A

B

C

d) Chứng minh rằng hai tam giác BECvà ADCđồng dạng Tính độ dài đoạn BE

theo m AB

Xét ABCvà DECcó : BACEDC90 , Cchung

( )

Xét BECvà ADCcó :

Ta có AHDvuông cân tại H (gt) D145  ADC135(hai góc kề bù)

Mà BECADCBEC∽ADC

1

       (hai góc kề bù) mà ABEvuông tại A AEAB m

ABE

  vuông tại A

Áp dụng định lý Pytago vào ABEvuông tại A, ta có :

BE AB AE  BE m m m

e) Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHM và

BECđồng dạng Tính số đo của góc AHM

Xét HABvà ACBcó : AHBBAC90 , ABCchung

 

2

ABE

 vuông cân tại A, AM là trung tuyến nên AM là đường cao

 

AB BM BE

  (chứng minh tương tự như trên)

Từ (1) và (2) suy ra . .

HB HC BM BE

Xét BHM và BECcó : B1chung;

BE BC (cmt)

( )

  ∽   BHM BEC135  AHM 45do AHB 90

ABE

 cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM là phân giác BAE

f) Tia AM cắt BCtại G Chứng minh

Ta có : Trong ABCcó AGlà phân giác của BAC BG AB 3

(tính chất)



Trong AHCcó : DE/ /AH (cùng )

BC

(hệ quả Talet)  5

Từ      3 , 4 , 5



Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCkhông đều Các điểm H G O, , theo thứ tự là giao điểm của ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực của tam giác

ABC Chứng minh rằng ba điểm H G O, , thẳng hàng

D

O

G H

A

B

C

Gọi D là điểm đối xứng với A qua O  OA OB OC OD   (=bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

Xét ABDcó OA OB OD   ABDvuông tại B nên ABBD

Chứng minh tương tự ta có : ACCD Xét tứ giác BHCDcó:

/ / ( )

/ /

BH CD AC

BHCD

CH BD AB





là hình bình hành Mà M là trung điểm BCnên M là trung điểm của HD

Xét AHDcó : OM là đường trung bình

1 2

OM AH

mà

1 2

GM

AG  (G là trọng tâm ABC)

Xét AGHvà MGOcó : 1 1( / / );  

1 2 ( )

AGH MGO c g c G G

  ∽     mà G1 G2 180nên G2 G3 180

, ,

H G O

 thẳng hàng