Toan 8 ha hoa (20 21) da co

Câu 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O.. Kẻ đường trung tuyến AI của tam giác AFE và kéo dài cắt cạnh CD tại K.. Chứng minh rằng tứ giác EGFK là

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8

CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao

đề

Đề thi có: 03 trang

PHẦN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 8 điểm)

Thí sinh lựa chọn 01 phương án đúng

Câu 1: Cho đa thức f x   ax 3  bx 2  10x 4  và g x   x 2   x 2 biết rằng f x 

chia hết cho đa thức g x khi đó   a, b 

A. a 4 ;b2. B.a2 ; b8 C a 2; b8 D.a 2 ; b8.

Câu 2: Đa thức P x chia cho   x  3 dư 47; chia cho x  2 dư 45; chia cho

2 5 6

x  x được thương là 3x và còn dư khi đó

A P x  3x3 15x2 20x41. B P x  3x3  15x2 20x 41.

C P x  3x3 15x2  20x41. D.P x 3x3 15x2  20x 41.

Câu 3: Rút gọn của biểu thức  

 

:



A 24

4

a

a



 với a 0;a 1 B 24

4

a

a  vớia 0;a 1

C. 24

4

a

a  với a 0;a 1. D 24

4

a

a  với a 0;a 1.

Câu 4: Phương trình 1 21a 1 3a

x 7



 

 (a là tham số) Giá trị của a để phương trình trên có nghiệm âm là:

A a 1,a 1 .

  B. a 1,a 1 .

3 21

  C a 1.

3

3



Câu 5: Phân tích đa thức x2  9xy 20y2 ta được kết quả

A x 4y x   5 y B x 4y x   5 y C x 4y x   5 y D. x 4y x   5 y

Câu 6: Điều kiện của x để biểu thức

A



   có giá trị xác định là

3

x  và x3. B 1

3

x  và x3. C 1

3

x  và x3. D 1

3

x  và x3.

Câu 7: Cho a b 0 so sánh 2 số x , y với 2

1 1

a x

a a





  ; 2

1 1

b y

b b





 

A x y. B x y  C x y  D x y.

Câu 8: Nghiệm của bất phương trình 2 4 2 3

ĐỀ CHÍNH THỨC

A x 3hoặc x   2, x# 1 B x3 , x# 1

C. x 3 hoặc x2 , x# 1. D x2 , x# 1.

Câu 9: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kì

CM CD , vẽ hình vuông CMNP (P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại

H , MP cắt BD tại K Tính Q=PC PH KP

A Q = 1 B Q = 3 C Q = 2 D Q = 1

2

Câu 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IOM 90   0 (

I và M không trùng các đỉnh của hình vuông) Diện tích tứ giác BIOM theo a

là :

A 1 2

.

.

4a D 1 2

.

5a

Câu 11: Cho tam giác ABC trên cạnh AB lấy điểm D sao cho 1

3

BD BA;

trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 3

5

CE CA Gọi F là giao điểm của tia

ED với tia CB biết FB a

FC b với a,b N ; a;b   1 Khi đó giá trị của a2b2

bằng

Câu 12: Cho tam giác ABC gọi M là trung điểm của AB , trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NC 5NA, gọi O là giao điểm của BN và CM AO cắt BC

tại P khi đó AO a

OP b giá trị của a b bằng

Câu 13: Cho tam giácABC có BC 10 cm, các đường trung tuyến BD và CE có

độ dài theo thứ tự bằng 9 cm và 12 cm Tính diện tích tam giácABC

A 72 cm 2 B 36 cm 2 C 18 cm 2 D 100 cm 2

Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F

thuộc cạnh AD sao cho CEAF. Các đường thẳng AE, BFcắt đường thẳng

CD theo thứ tự tại M , N Gọi K là giao điểm của NA và MB. Khi đó MKN

có số đo là:

MKN 60  B.  0

MKN 90  C  0

MKN 45  D  0

MKN 75 

Câu 15: Trong hình lăng trụ đứng đáy là tam giác cho các kích thước

a cm, b cm, c cm (hình 1)

Biết diện tích xung quanh của hình

C 2,5 cm D. 5 cm.

Câu 16: Một tổ có 6 bạn nam và 7 bạn nữ Số cách để chọn ra 4 bạn đi trực nhật để trong đó có ít nhất 1 bạn nữ là

II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1: (3,0 điểm)

a Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p n 3 n2 n – 1

b Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x4 10x2 2y6 4y3 6 0 .

Câu 2: (3,5 điểm)

a Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x 3  2019x2  2019x 2018.

b Giải phương trình: 6x4  5x3 38x2  5x 6 0.

Câu 3: ( 4,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD, một điểm E bất kì trên cạnh BC Tia Ax AE

cắt tia CD tại F Kẻ đường trung tuyến AI của tam giác AFE và kéo dài cắt

cạnh CD tại K Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G

a. Chứng minh rằng tứ giác EGFK là hình thoi

b. Chứng minh rằng 3 điểm B,I ,D thẳng hàng

c. Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác AKE đạt giá trị lớn

nhất?

Câu 4: (1 điểm)

Cho x, y 0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

 

 

     

   

Hết.

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)

mỗi câu đúng 0,5 điểm)

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1

(3,0

điểm)

a Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết:

p n  n n –

b Giải phương trình nghiệm nguyên:

5x 10x 2y 4y  6 0 .

a Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết:

p n  n n –

1,5 điểm

Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết:

p = n3 - n2 + n - 1

- HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1)

0,25

- Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài

- Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5

0,5

- Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước

trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1

0,5

- Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 0,25

b Giải phương trình nghiệm nguyên:

5x 10x 2y 4y  6 0 .

1,5 điểm

5 x 1 2 y 1 13

Vì

2

2

1 1

x, y Z

  



  

 

 mà 5x21 13 x2  1 1

Mặt khác x  2 1 1 từ đó suy ra x2   1 1 x0

0,5

3 2

3

3 3

1

1 2

3

1 2

y y

y





  

 Suy ra y 1

0,5

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên x; y  0 1;  0,25 Câu 2

(3,5

a Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3 2019 2 2019 2018

3 2019 2 2019 2018

A = x   1 2019(x  x 1) 0,5

A = (x - 1)(x  x 1) 2019(  x  x 1) 0,5

A = x  x 1 (x  1 2019)

2

A = (x + x + 1 )(x 2018)

0,25

b Giải phương trình: 6x4  5x3 38x2  5x 6 0 1,75

điểm

Nếu x 0  6 0  ( vô lý)  x 0 0,25

Chia cả 2 vế cho x2, ta được:

6 2 5 38 5 62 0











x x x

x

 6 ( 2 12) 5 ( 1) 38 0











x

x x

0,25

 Đặt x1x = y => 2

2 1

x

x  = y2-2 Thay vào phương trình (*) rồi giải phương trình, ta được

6 y  2  5y 38 0  6y  5y 50 0

10 3 5 2

y y







 

 



0,5

3

3

x







 



0,25

2

2

x







 



0,25

Vậy phương trình có tập nghiệm là 2 1 1 3

2 3

S   ; ; ; 

0,25

Câu 3

(4,5

điểm)

Cho hình vuông ABCD, một điểm E bất kì trên cạnh

BC Tia Ax AE cắt tia CD tại F Kẻ đường trung

tuyến AI của tam giác AFE và kéo dài cắt cạnh CD tại

K Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại

G.

a Chứng minh rằng tứ giác EGFK là hình thoi.

b Chứng minh rằng 3 điểm B,I ,D thẳng hàng.

L G

K

I

F

A

D

B

C E

c Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác AKE đạt

giá trị lớn nhất?

a Chứng minh rằng tứ giác EGFK là hình thoi 1,0 điểm

Vì GE / / FK nên EGK GKF  1

Mặt khác do FAE vuông cân tại A mà AI là đường

trung tuyến đồng thời là đường trung trực suy ra là phân giác của EKF

Suy ra FKA AKE  2

0,25

Từ    1 ; 2 suy ra EGK GKE  EGK cân tại E

 3

EG EK

Mặt khác do IA là đường trung trực của EF nên

 4

GF GE





 





0,5

Từ    3 ; 4 suy ra EG GF FK KE tứ giác EGFK

là hình bình hành

0,25

b Chứng minh rằng 3 điểm B,I ,D thẳng hàng 2 điểm

Gọi L là giao điểm của AD và FI

Chứng minh được ALI FLD g.g  AL FL

LI LD

1,0

Từ đó chứng minh được ALF và ILD đồng dạng

   5

AFL LID

0,5

Mà AFL FAI LDI IDK    900

  450 

    Vậy B,I ,K thẳng hàng

0,5

b Chứng minh rằng 3 điểm B,I ,D thẳng hàng 1,5 điểm

Chứng minh được

 

0,5

Chứng minh được ADF ABE từ đó suy raFD BE  6

Từ    5 ; 6  FK BC

0,5

Chứng minh được

0,25

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi FC bằng cạnh của hình

vuông suy ra F trùng với D suy ra E trùng với B.

0,25

Câu 4

(1 điểm) Cho

0

x, y  và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

2 2

1  1 

 

1 điểm

2 2

           

 

0,25

2

2 2

            

0.25

Vì x, y > 0 y 0, x 0

   nên áp dụng BĐT cô si ta có:

x y x y

2

y  x  2 y x 

2

y  x  2 y x 

A 8 4.2 2 18

0,25

Dấu "=" xảy ra khi x y x y 1





  



 

 Vậy minA =18 khi x y 1

2

 

0,25