Toan 9 phu ninh (19 20)

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.. Rút gọn biểu thức P.. Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đường thẳng đi qua điểm A; cắt BC tại E và cắt đường thẳng CD tại F.. Gọi M

PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH

Vòng 1

KỲ THI CHON HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi có 02 trang

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn các phương án trả lời đúng Câu 1: Giá trị biểu thức 4 3 2 2  57 40 2 bằng

Câu 2: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b và biểu thức

1

P

a b



 Khẳng định nào dưới

đây là đúng ?

A P 1

a b



b a



 C P a b  D P b a 

Câu 3: Giá trị của x để biểu thức N x3 x đạt giá trị lớn nhất là

4

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của y 2 2x2 4x5 là

Câu 5: Nghiệm của phương trình x2 3x 2 x 3 x 2 x22x 3 là

Câu 6: Với a0;b0;b1, rút gọn biểu thức :

  được kết quả là

A a

b

1

a b



1

b a





Câu 7: Giá trị của x thỏa mãn 2x   1 5 2 là

2

2 x

Câu 8: Số nghiệm của phương trình x2 4x 5 x2 4x 8 x2 4x9 3  5 là

A 2

10

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, để ba đường thẳng y2x 5; y x 2 và y ax 12 đồng quy tại một điểm thì giá trj của a là

Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức N  8 2 x 2x2 là

Câu 12: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, AB20cm HC; 9 cm Độ dài đường cao AH là

Câu 13: Cho  là góc nhọn thỏa mãn tan cot  3. Giá trị của D sin cos  bằng

3

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 14: Giá trị của biểu thức T cos 12 0cos 22 0cos 32 0 cos 88 2 0cos 892 0 bằng

Câu 15: Cho đường tròn O; 25cm và hai dây MN/ /PQ có độ dài theo thứ tự là 40cm; 48cm Khoảng cách giữa hai dây MN và PQ là

C 22 cm  hoặc 8cm D Tất cả đều sai.

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Tia phân giác của HAB cắt HB tại D

; DK AB. Biết rằng BC 15cm; DK 3 6, cm. Độ dài AC là

A 6 cm  hoặc 9cm B. 11, 4 cm C 18,6 cm D 11, 4cm

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a Chứng minh rằng nếu a và 2

8

a  là các số nguyên tố thì 2

2

a  cũng là số nguyên tố

b Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2 x2 y 3 2 z   x y z.

Câu 2 (2 điểm)

1

1

x

x





a Rút gọn biểu thức P.

b Tìm x để P  1.

Câu 3 (1,5 điểm)

Giải phương trình: x25x x 3x1x1 5 x.

Câu 4 (4,0 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đường thẳng đi qua điểm A; cắt BC tại E và cắt đường thẳng CD tại F Đường thẳng d qua A vuông góc với AE cắt tia CD tại K.

a Chứng minh: 12 12 12

AB AE  AF

b Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB.

2 Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB, điểm M di động trên nửa đường tròn

O; R ; AM  BM  C là một điểm trên tia AM sao cho ACBM Chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với AM tại C luôn đi qua một điểm cố định

Câu 4 (1,5 điểm)

Cho a,b là các số dương Chứng minh rằng:

a b

-HẾT -PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH

Vòng 1

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi câu đúng 0,5 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1

a Chứng minh rằng nếu a và a 2 8 là các số nguyên tố thì a 2 2 cũng là số

nguyên tố

a

( 1,5

điểm)

Với a là số nguyên tố nên a 2 a2 8 3;a2 2 3

Nếu a không chia hết cho 3 thì a2 luôn chia 3 dư 1  a2 8 3

Do đó a 2 8 không thể là hợp số

=> Để a 2 8 là các số nguyên tố thì a phải chia hết cho 3

Mà a là số nguyên tố nên a = 3

Khi đó a  2 8 17 và a  2 2 11 đều là các số nguyên tố

Vậy nếu a và a 2 8 là các số nguyên tố thì a 2 2 cũng là số nguyên tố

0,5

b

( 1,5

điểm)

b Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2 x2 y 3 2 z   x y z.

2 x2 y 3 2 z   x y z

 

 

2 2 2

x y z









1

1

x

x



2điểm

a.

(1đ) a Rút gọn biểu thức

.

P

ĐK: x 0; x 1

 

   

:



       

   

4

1 2

x x







b.

( 1đ)

b Tìm x để P  1.

Với x 0; x 1 ta có

2

P

x

x



 Vậy với 1 4

4x và x 1 thì P  1.

Câu 3 Giải phương trình: x25x x 3x1x1 5 x. 1,5 điểm

ĐK: 1

3

x 

2

2 2

2











 Vậy

2 đ

1 Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đường thẳng đi qua điểm A; cắt BC

tại E và cắt đường thẳng CD tại F Đường thẳng d qua A vuông góc với

AE cắt tia CD tại K.

a Chứng minh: 12 12 12

AB AE  AF

b Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB.

E

B A

F

H

O I

1đ

b Gọi H là trung điểm của AB  MH ABtại M (vì ABM cân tại M)

MH a; AH   AM  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM  O MH

Kẻ OI AM tại I 5

4

a

AI MI

AHM

5

MH AMH

AM

OIM

Vậy

2đ

2 Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB, điểm M di động trên nửa

đường tròn O; R ; AM  BM  C là một điểm trên tia AM sao cho

AC BM  Chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với AM tại C luôn

đi qua một điểm cố định

d

C

O

P

M

Kẻ Ax vuông góc với AB, cắt d tại P

AMB  ( chắn nửa đtròn)

Khi đóMBA PAC  900 MAB , mà AC = BM

CAP MBA cgv gn AP AB

     => P cố định

Câu 4 Cho a,b là các số dương Chứng minh rằng: 1,5 điểm

 2  2

a b

(1,5

điểm)

Đặt

2

2

P

Do a b 2   0 a b 2 4038ab 4038 ;ab a b  2   3 4040ab 4040ab

P

P

a b

0,25 0,25