Toan 9 cam khe (19 20)

Đường phân giác trong góc A cắt BC tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R.. b Chứng minh rằng K luôn nằm

PHÒNG GD&ĐT

CẨM KHÊ KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 03 trang)

Chú ý:

- Câu hỏi trắc nghiệm khách quan có một lựa chọn đúng.

- Thí sinh làm bài (phần trắc nghiệm khách quan và tự luận) trên tờ giấy thi

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1: Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 x2 4x 1 0 Tính giá trị biểu thức

A x x

Câu 2: Cho hệ phương trình  4

1

x my m   Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x y ;  Tìm hệ thức liên hệ ,x y không phụ thuộc vào m

A x y  1 0. B x 2y 1 0. C x 2y 1 0. D x y 1 0.

Câu 3: Trên đường tròn O R lấy ba điểm , ,;  A B C sao cho AB BC R  , ,M N lần lượt là

trung điểm của hai cung nhỏ AB BC Tính số đo góc MBN ,

A.150 0 B 105 0 C 135 0 D 120 0

Câu 4: GọiA x y là điểm cố định mà đường thẳng  0; 0 d m :y2m1 x m  1 luôn đi qua với

mọi giá trị của m Tính giá trị biểu thức T x02y02

A 15

2

4

2

4

T 

Câu 5: Cho phương trình x2  5x m  Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình0

có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1 x2 3

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 y6x3mx 5m1 nghịch biến trên tập  ?

Câu 7 : Có tất cả bao nhiêu số nguyên x để biểu thức 1 2020 2019

6 2

x P



Câu 8: Cho đường tròn O;12 có đường kính CD Dây cung MN đi qua trung điểm I của

OC sao cho  NID 300 Tính độ dài MN ?

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 9: Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn a b c   abc  Tính giá trị biểu thức4

A a  b  c  b  c  a  c  a  b  abc

Câu 10: Cho tam giác ABC có  B45 ,0 C 30 ,0 AC  Tính độ dài AB 8

Câu 11: Cho Parabol  : 1 2

2

P y  x và đường thẳng  : 1 3

d y x Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2

lần lượt là giao điểm của Parabol  P và đường thẳng  d Tính giá trị biểu thức 1 2

x x T

y y







A 25

25

9 8

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Biết AH 2,BC 5 Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?

5

Câu 13: Cho hình thang ABCD đáy lớn CD , đáy nhỏ AB Biết

12,5 , 28,5 ,

AB cm CD cm DAB DBC Độ dài BD gần nhất bằng bao nhiêu?

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH , vẽ HDAB ( D thuộc AB ) Tia phân giác trong của AHC cắt AC tại E Biết AB6,AC8,BC 10 Gọi P là chu vi tam giác ADE, khi đó

A 11P12 B 12P13 C 13P14 D 10P11

Câu 15: Cho tam giác ABC Đường phân giác trong góc A cắt BC tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E Biết BD5,CD7,5 và AC  Tính độ dài 10 DE

Câu 16: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ

với giá 2.000.000 đồng (hai triệu đồng) một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng (một trăm ngìn đồng) một tháng thì sẽ có 2 căn hộ

bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu tiền trên tháng

A 2.225.000 B 2.100.000 C 2.200.000 D 2.250.000.

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm).

Câu 2 (3,5 điểm).

a) Giải phương trình 2x14 x5x215x38

b) Giải hệ phương trình

1

x y











Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R Lấy điểm

M bất kỳ thuộc cung nhỏ BC ( không trùng với , B C ) Đường thẳng qua A và vuông góc với CM tại H cắt tia BM tại K

a) Chứng minh rằng Hlà trung điểm của AK

b) Chứng minh rằng K luôn nằm trên đường tròn cố định khi M thay đổi Tính bán kính

đường tròn đó khi R 3 3

c) Gọi D là giao điểm của AM và BC Tìm vị trí điểm M sao cho tích hai bán kính

đường tròn ngoại tiếp MBD MCD, đạt giá trị lớn nhất

Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba số thực dương , ,a b c thoả mãn a b c  3 Chứng minh rằng

3

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./.

PHÒNG GD&ĐT CẨM KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2019 - 2020

Hướng dẫn chấm có 04 trang

I Đáp án phần trắc nghiệm khách quan

- Mỗi câu đúng được 0,5 điểm

- Tổng điểm phần Trắc nghiệm khách quan: 0,5 x 16 = 8,0 điểm.

II Đáp án - Thang điểm phần tự luận

1 Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp án mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

2 Đáp án - thang điểm

1 Câu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm các số có hai chữ số ab a b   sao cho số n ab ba  là số chính

phương

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 y3 6xy 3

a) Tìm các số có hai chữ số ab a b   sao cho số n ab ba  là số chính

phương

1,5

Ta có ab ba k k  2   9a b  k2 Do đó a b là số chính phương 0,25

Do a b 9,a b , suy ra a b 1;a b 4;a b 9 0,25 TH1: a b  1 a b 1 Vậy có 9 số thỏa mãn là

TH2: a b  4 a b 4 Vậy có 6 số thỏa mãn là 40,51,62,73,84,95 0,25 TH3: a b  9 a b 9 Vậy có 1 số thỏa mãn là 90 0,25

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 y3 6xy 3 1,5

Ta có x3 y3 6xy 3 x y 33xy x y   6xy3 0,25

Đặt x y a xy b  ;  ( ,a b là các số nguyên) Ta có 0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

2 5

2

a



Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì a  là ước của 5 , tức là2

a  2  5; 1;1;5 

0,25

Với a3;b ta tìm được 2 x1;y hay x= -2; x= 12 0,25

2 Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình 2x14 x5 x215x38

b) Giải hệ phương trình

1

x y











a) Giải phương trình 2x14 x5x215x38 2,0

Tacó 2x14 x5x215x38 2x7 x5 x72x5 16 0,25 Đặt a x 7,b x5 a0,b0 Khi đó phương trình trở thành

 2

2ab a b  16 a b 16 a b a b  4

 



0,5

5 2

x

x

  



     (Thỏa mãn)

0,5

Với a b 4 x 7 x54 x 5 x   (vô nghiệm)5 6 0 0,25

b) Giải hệ phương trình

 

 

1 1

x y







1,5

x y

1

0

x y



 



0,25

Với x y 1 thế vào phương trình (2) ta được 0,25









(thỏa mãn)

Với x2 y2 x y   0 x y  x2 y2 thế vào phương trình (2) ta được

 2

1

0 1

y



Vậy tập nghiệm của hệ  ;  2 7 1; 7 , 2 7 1; 7

x y          

0,25

3 Câu 3 (4,0 điểm)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R Lấy điểm M

bất kỳ thuộc cung nhỏ BC ( không trùng với , B C ) Đường thẳng qua A và

vuông góc với CM tại H cắt tia BM tại K

a) Chứng minh rằng H là trung điểm của AK

b) Chứng minh rằng Kluôn nằm trên đường tròn cố định khi M thay đổi Tính

bán kính đường tròn đó khi R 3 3

c) Gọi Dlà giao điểm của AM và BC Tìm vị trí điểm M sao cho tích hai bán

kính đường tròn ngoại tiếp MBD MCD, đạt giá trị lớn nhất

Ta có AMBACB60 ,0 AMH ABC 600 CMK 600 0,5 Vậy AMH HMK mà MH AK nên AMK cân tại M

Vậy Hlà trung điểm của AK

0,5

b) Chứng minh rằng K luôn nằm trên đường tròn cố định khi M thay đổi Tính

bán kính đường tròn đó khi R 3 3

1,5

Theo trên ta có CA CK , mà ,A C cố định nên K nằm trên đường tròn đường

tròn tâm C bán kính CA

0,5

tam giác ABC đều nên O là trọng tâm tam giác ABC 0,5

c) Gọi D là giao điểm của AM và BC Tìm vị trí điểm M sao ch tích hai bán

kính đường tròn ngoại tiếp MBD MCD, đạt giá trị lớn nhất

1,5

Gọi R R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp 1, 2 MBD MCD,

Dựng các tam giác đều BDF CDG ra ngoài tam giác ABC ,

0,25

Ta có BFD BMD 600 Vậy tứ giác BDMF nội tiếp 0,25

Tương tự tứ giác CDMG nội tiếp nên R R lần lượt là bán kính đường tròn1, 2

Dấu “=” xảy ra khi D là trung điểm của BC hay M là điểm chính giữa cung

4 Câu 4 (1,5 điểm)

Cho ba số thực dương , ,a b c thoả mãn a b c  3 Chứng minh rằng

3

Theo bất đẳng thức Cô si,

2

2



0,25 Khi đó

2

  , dấu “=” xảy ra khi b 1 Tương tự 2

b

c  

 , dấu “=” xảy ra khi c 1

2

c

a  

 , dấu “=” xảy ra khi a 1

0,5

a b c

Mặt khác ta có

3   a b c 9 a b c  a b c 2 ab bc ca  3 ba bc ca 

Vậy ab bc ca  3

0,5

a b c

Dấu “=” xảy ra khi a b c  1

0,25