SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2023 Môn thi TOÁN – Bảng B Ngày thi 14/3/2023 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đ[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2023
Môn thi: TOÁN – Bảng B Ngày thi: 14/3/2023
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức
P
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để P 0
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình x2 x 6 4 3x 1 0
b) Giải hệ phương trình
2
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Với n là số nguyên, chứng minh rằng giá trị của biểu thức A n 2 2n không chia8 hết cho 49
b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố p q r; ;
thỏa mãn p21 q22 r2 6
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi (I) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại C Đường trung tuyến AD của tam giác ABC cắt đường tròn (I) và đường tròn (O) lần lượt tại M và N (M, N khác A) Đường thẳng CM cắt AB và đường tròn (O) lần lượt tại K và E (E khác C) Đường thẳng BM cắt AC và đường tròn (O) lần lượt tại H và F (F khác B) Chứng minh:
a) D là trung điểm của MN;
b) DBM DAB;
c) Tứ giác EFHK là tứ giác nội tiếp.
Câu 5 (1,0 điểm)
Một phố nhỏ có 44 người trong độ tuổi từ 1 đến 85 (tuổi của mỗi người là một số nguyên dương) Chứng minh rằng trong số những người trên có hai người cùng tuổi hoặc có ba người mà tuổi của một người bằng tổng số tuổi của hai người kia.
……… Hết ………
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………
Chữ kí của giám thị 1:……….……… Chữ kí của giám thị 2:……….
S
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2023 Môn thi: TOÁN – Bảng B Ngày thi: 14/03/2023
(Hướng dẫn chấm này có 03 trang)
1
(4,0 đ)
a
:
P
:
b) Vì x 1 0 với mọi x 0;x4;x9 nên
2
1
x
x
Kết hợp với điều kiện x 0;x4;x9 ta được 0 x 4 0,5
2
(4,0 đ)
Phương trình tương đương 2 2
Ta có 2 2
x x
Theo yêu cầu bài toán thì dấu “=” phải xảy ra, tức là
2
2
1
x
x x
0,5
Kiểm tra ĐKXĐ và kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 0,25
b
2
2 1
x y
x y x y
Nếu x Thay vào (2) được y 3x2 x 8 0, phương trình này vô nghiệm 0,5
Nếu x2y Thay vào (2) được 1
2
1 (suy ra 3)
(suy ra )
0,5
Hệ có hai nghiệm
11 7 3;1 ; ;
3 3
3
(4,0 đ)
a Giả sử A49, tức là
2
1 7 49
n
(vì 7 là số nguyên tố) 1,0
Khi đó, từ (*) suy ra 7 49 , vô lí
Vậy A không chia hết cho 49 với mọi số nguyên n 0,5
b Với p, q, r là số nguyên tố thì r2 6 p2 1 q2 2 (2 2 1)(2 2 2) 30 0,75
Trang 3Suy ra r 2 24 r > 3 r là số lẻ, dẫn đến r 2 6lẻ
Do đó, cả hai số p 2 1 và q 2 2cùng lẻ
2 1
Nếu q không chia hết cho 3 thì p q2, 2chia 3 dư 1, suy ra p21 q22 3
, tức
là r 2 6 3, dẫn đến r 2 3, vô lí vì r là số nguyên tố lớn hơn 3
Suy ra q = 3
0,5
Với p = 2, q = 3, thì r2 49 r7.
4
(7,0 đ)
Suy ra BDN CDM DN DM , suy ra D là trung điểm của MN 1,0
b Chứng minh BMCN là hình bình hành, suy ra BM // CN
c BMNC là hình bình hành nên HM//CN; KM//BN, từ đó
AC AN AB
Suy ra HK//BC
1,5
Có KHM B FEC B1; 1nên KHM FEC
5
, , , ,
Nếu trong 44 người có hai người cùng tuổi thì bài toán được giải quyết 0,25 Nếu trong 44 người không có hai người nào cùng tuổi.
Khi đó, giả sử 1a1a2 a3 a44 85.
Xét hai dãy số:
Dãy thứ nhất gồm các số a a2, , ,3 a44, dãy này có 43 số phân biệt không
0,5
Trang 4vượt quá 85.
Dãy thứ hai gồm các số a2 a a1, 3 a a1, 4 a1, , a44 a1, dãy này có 43 số
phân biệt nhỏ hơn 85.
Cả hai dãy có 86 số, các số này không vượt quá 85 Do đó, tồn tại hai số
bằng nhau mà hai số này không thể trong cùng một dãy, giả sử a ivà
1
k
a a trong đó 2i k; 44;
Ta có a i a k a1 a k a i a1 , rõ ràng i, k, 1 đôi một khác nhau Tức là
có một người có số tuổi bằng tổng số tuổi của hai người kia.
Tổng hợp hai trường hợp trên ta có điều phải chứng minh.
0,25
Hết
Lưu ý:
- Điểm bài thi là tổng điểm của các câu, không làm tròn.
- Học sinh làm cách khác đáp án, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm.