Hsg toan 9 đề chính thức 2023 quảng ninh bảng a

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2023 Môn thi TOÁN – Bảng A Ngày thi 14/3/2023 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đ[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2023

Môn thi: TOÁN – Bảng A Ngày thi: 14/3/2023

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

a P



    , với a0;a4

b) Giải phương trình 3x 5 x 1 4 3x1

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình    

2

2





b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất

Q

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Với n là số nguyên, chứng minh rằng giá trị của biểu thức A3n3 3n2  khôngn 1 chia hết cho 125

b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố p q r thỏa mãn ; ;   p21 q23  r2 21

Câu 4 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi (I) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại C Đường trung tuyến AD của tam giác ABC cắt đường tròn (I) tại M (M khác A) Đường thẳng BM cắt AC và đường tròn (O) lần lượt tại H và F (F khác B) Đường thẳng CM cắt

AB và đường tròn (O) lần lượt tại K và E (E khác C).

a) Chứng minh DBM DAB;

b) Chứng minh AKMH là tứ giác nội tiếp;

c) Đường thẳng BM cắt đường tròn (I) tại Q (Q khác M) Chứng minh đường thẳng AF đi qua trung điểm của đoạn thẳng CQ.

Câu 5 (1,0 điểm)

Một phố nhỏ có 44 người trong độ tuổi từ 1 đến 85 (tuổi của mỗi người là một số nguyên dương) Chứng minh rằng trong số những người trên có hai người cùng tuổi hoặc

có ba người mà tuổi của một người bằng tổng số tuổi của hai người kia.

……… Hết ………

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

Chữ kí của giám thị 1:……….……… Chữ kí của giám thị 2:……….

S

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2023

Môn thi: TOÁN – Bảng A Ngày thi: 14/03/2023

m

1

(4,0

đ)

a

P

Phương trình đã cho tương đương  3x 1 22 x1 0 0,75

Ta có  3x 1 22 0; x1 0

Theo yêu cầu bài toán thì dấu “=” phải xảy ra, tức là

 3 1 22 0

1

1 0

x

x x





  



0,5

Kiểm tra ĐKXĐ và kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 0,25

2

(4,0

đ) a

2

( 2)( 1) 3 (2)

x xy y y





   



(1) x  2 y  y xy, thay vào (2) được y2  y xy x y    1  3y

2

x y

x y

 



Nếu x – y = 2 Thay vào (2) được

1 (suy ra 3)

x x



Nếu x – y = -2 Thay vào (2) được

3 4 0

4 (suy ra 6)

x x





Kết luận hệ đã cho có bốn nghiệm: (0; -2); (-1; -3); (-1; 1); (4; 6)

0,5

b Áp dụng BĐT C-S:

Q

a ab a b bc b c ca c a ab a b bc b c ca c

 

0,75

2

a b c

a b c ab bc ca a b c

 



2

3 ab bc ca   a b c 

, suy ra ab bc ca  3, từ đó 0,75

 

2

2

3 3 7.3



, dấu “=” khi a = b = c = 1

Giá trị nhỏ nhất của Q bằng 3/2 khi a = b = c = 1 0,25

3

(4,0

đ)

a) Giả sử A125, suy ra 9A 125 , hay  

3

27n  27n  9n  9 3n 1  10 125  (*) 0,75

3n 1  10 5   3n 1 5   3n 1 125  (vì 5 là số nguyên tố) 0,75 Khi đó, từ (*) suy ra 10 125  , vô lí

Vậy A không chia hết cho 125 với mọi số nguyên n 0,5 b) Nếu cả p và q không chia hết cho 3 thì p q2, 2chia 3 dư 1, suy ra p2  1 q2  3

chia 3 dư 2, tức là r 2 21 chia 3 dư 2, dẫn đến r2chia 3 dư 2, vô lí

Vậy một trong hai số p, q phải chia hết cho 3 Suy ra một trong hai số p, q phải bằng

3

0,75

Nếu p và q cùng lẻ thì p2  1 q2  3 4

, tức là r  2 21 4, dẫn đến r2chia 4 dư 3, vô lí

Vậy một trong hai số p, q phải chẵn Suy ra một trong hai số p, q phải bằng 2 0,75 Nếu p = 2, q = 3 thì r 2 39, điều này không xảy ra 0,25 Nếu p = 3, q = 2 thì r2  49  r 7.

4

(7,0

đ)

hay DB2 = DM.DA, suy ra

Có KAH KMH  A3A2BMC B 1C1BMC 1800

c Tứ giác AQCM nội tiếp suy ra AQC DMC

lại có DMC ACB (DMC∽ DCA), suy ra AQCACB (1)

CóACQ AMQ BMD 

lại có BMD ABC  (DBM ∽ DAB), suy ra ACQ ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABC∽ ACQsuy ra

AB BC

AC CQ (*)

1,0

Có A1B1; lại có B1 A3 (DBM ∽ DAB)

Suy ra A1A3 (3)

Từ (2) và (3) suy ra ABD∽ ACJ (J là giao điểm của AF và QC)

Suy ra tỉ số

AC CJ (**)

1,0

BC BD CQ BC

5

(1,0

đ)

Gọi số tuổi của mỗi người là a a a1, , , ,2 3 a44.

Nếu trong 44 người có hai người cùng tuổi thì bài toán được giải quyết 0,25 Nếu trong 44 người không có hai người nào cùng tuổi.

Khi đó, giả sử 1a1a2a3  a44 85.

Xét hai dãy số:

Dãy thứ nhất gồm các số a a2, , ,3 a44, dãy này có 43 số phân biệt không vượt

quá 85.

Dãy thứ hai gồm các số a2  a a1, 3 a a1, 4 a1, , a44 a1, dãy này có 43 số

phân biệt nhỏ hơn 85.

0,5

Cả hai dãy có 86 số, các số này không vượt quá 85 Do đó, tồn tại hai số

bằng nhau mà hai số này không thể trong cùng một dãy, giả sử a ivà a k  a1

trong đó 2i k; 44;

Ta có a i a k  a1 a k  a i a1 , rõ ràng i, k, 1 đôi một khác nhau Tức là có

một người có số tuổi bằng tổng số tuổi của hai người kia.

Tổng hợp hai trường hợp trên ta có điều phải chứng minh.

0,25

Hết

Lưu ý:

- Điểm bài thi là tổng điểm của các câu, không làm tròn.

- Học sinh làm cách khác đáp án, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm.