aChứng minh tứ giác MNEF nội tiếp.. b Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF .Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định.. Thí
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN - THCS
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu1( 3,0 điểm)
a) Giải phương trình trên tập nguyên
x 2 5y 2 4xy 4x 8y 12 0
b)Cho P(x) x 3 3x 2 14x 2
Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11
Câu 2( 4,0 điểm)
a) Tính gía trị biểu thức
2 5a 4a a
2 3a a
3
, biết a 3 55 3024 3 55 3024
b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn x 3 3x 1; y 3 3y 1, z 3 3z 1
Chứng minh rằng x 2 y 2 z 2 6
Câu 3( 4,0 điểm)
4x
1 x 1 3x
b) Giải hệ phương trình:
0 3 y 2x y x
0 4 8y x 4xy 2y
3x
2 2
2 2
Câu 4( 7,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC không đi qua tâm Gọi A là
chính giữa cung nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo
bằng không đổi sao cho E và F khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt
BC lần lượt tại M và N Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành
a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng
khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định
c) Khi 60 0 và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI
Câu 5( 2,0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
Chứng minh rằng
4
xyz
-Hêt—
Họ và tên thí sinh số báo danh
Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN
Câu1( 3,0 điểm)
a) Giải phương trình trên tập nguyên
Trang 2b) Cho P(x) x 3 3x 2 14x 2
Hướng dẫn
: a) x 2 5y 2 4xy 4x 8y 12 0 2 4 ( 1 ) ( 5y 2 8y 12) 0(*
để PT(*) có nghiệm nguyên x thì /
chính phương 16
16 ) 12 8 5 ( 5 ) 1 (
/
từ đó tìm được x;y2 ; 0; 6 ; 0 ; 10 ; 4 ; 6 ; 4 ;
0 4 16 )
2 2 ( 0 12 8y 4x 4xy 5y
xét từng trường hợp sẽ ra nghiệm
b) ta có P(x) x 3 3x 2 14x 2 (x - 2)(x 2 - x 12) 22
để P(x) chia hết 11 thì (x - 2)(x 2 - x 12) 11
mà (x 2 - x 12) x(x - 1) 1 11
ta có x(x 1 ) 1 không chia hết cho 11 suy ra (x 2 - x 12)
không chia hết cho 11 nên x-2 chia hết co 11 mà x<100
;x N
suy ra x2 ; 13 ; 22 ; 35 ; 47 ; 57 ; 68 ; 79 ; 90
Cách khác P(x) x 3 3x 2 14x 2 (x - 1) 3 1 11 11 (x - 1) 3 1 11
Suy ra (x-1)3 chia co 11 dư 1 suy ra x-1 chia cho 11 dư 1 suy ra x chia
cho 11 dư 2 mà x<100 suy ra kết quả
Câu 2( 4,0 điểm)
a)Tính gía trị biểu thức
2 5a 4a a
2 3a a
3
, biết a 3 55 3024 3 55 3024
b)Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn x 3 3x 1; y 3 3y 1, z 3 3z 1
Chứng minh rằng x 2 y 2 z 2 6
Hướng dẫn
a) tính 3 110 3 ( 5 )( 2 5 22 ) 0 5
b) Cộng cả ba đẳng thức ta có hệ
) 3 ( 3 ) 2 ( 3 ) 1 ( 3
) ( 3 ) ( 3 ) ( 3
1 3 1 3 1 3
2 2 2 2 2 2 3
3 3 3 3 3 3
3
z xz x z zy y y xy x
x z x z
z y z y
y x y x
z z
y y
x x
trừ (1) cho (2) ta được (x z)(xyz) 0 xyz 0
cộng (1) ;(2) ;(3) ta có 2 ( 2 2 2 ) 9
y z xy yz xz
mà tù x+y+z=0 suy ra
2
2 2
x xz yz
xy thay vaò (*)
ta có đpcm
Câu 3( 4,0 điểm)
4x
1 x 1 3x
b) Giải hệ phương trình:
0 3 y 2x y x
0 4 8y x 4xy 2y
3x
2 2
2 2
Hướng dẫn
a) HD đkxđ x31
1 3 6
1 3 2
1 3 2
4
1 3 2
4 1
3 2
16
1 3x 4
1 3 12
1 3x 4
1 )
1 3 ( 4 1
3x 4x
1 x 1 3x
2 2
2
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
giải ra pt có 2 nghiệm x=1;
72
153
3
x
Trang 3
0(2) 6 y 4x y 2x
0(1) 4 8y x 4xy 2y 3x 0
3
y
2x
y
x
0 4 8y
x
4xy
2y
3x
2 2 2 2
2
2
2
2
lấy pt(1) trừ pt(2) ta được
2 2
1 2
0 ) 2 2 )(
1 2 ( 0 2 ) 2 ( 3
2 2
y
x
y
x
y x y
x y
x y
x
thay vào phương trình 2 2 2 3 0
6
109 13
; 3
109 7
; 6
109 13
; 3
109 7
; 3 5
;
0
;
1
; y
x
Câu 4( 7,0 điểm)
Hướng dẫn
I
K H
P D
M N
F
A
B
C E
a) ENB=EFM suy ra ENM+EFM=1800
b)gọi giao (O) và (I) tiếp tam giác MDF tại P ta có DPF=DMF =EAF=
mặt khác EAF=EPF nên EPF=DPF nên E;D;P thẳng hàng suy ra EP//BC mà AOBC AOEP gọi AO cắt EP tại H ;OI cắt PF tại K thì K là trung điểm FP và OI vuông góc FP nên tứ giác OHKP nội tiếp suy ra HOI=
HPF= ( không đổi)
suy ra I thuộc tia Ox tạo với tia AO một góc bằng
Trang 4I
D
M N A
O
E
c) khi BC=R ; EAF==600 thì tam giác OBC đều suy ra IO đi qua B ta
chứng minh được OI min khi F trùng P khi đó EF//BC tam giác AMN; MDF đều
khi đó IM//AO ta tính BQ;QM được áp dụng Talet tam giác BIM có AO//IM
tính được OI
Câu 5 Hướng dẫn Lời giải 1
4
xyz
(*) 4 ) 4 ( )
4 ( )
4 (
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
yx xyz
z x y z xz xyz
z y y x yz xyz
z x y
x
M
3
3 3
3 12 )
4 )(
4 )(
4 (
6 )
4 )(
4 )(
4
(
6
) 4 (
1 )
4 (
1 )
4 (
1 2 ) 4 (
1 )
4 (
1 )
4
(
1
2
) 4 ( ) 4 ( ) 4
(
2
) 4 (
2 2 ) 4 (
2 2 ) 4
(
2 2
xy xz
yz xyz
xy xz
yz xyz
xy xz
yz xyz
N
yx x
yz zx
yz y
yx y
yz x
yz z
N
yx yx
z x xz
xz
z x yz
yz
z y
N
N yx xyz
yz xz xz
xyz
yz xy yz
xyz
xz xy
M
Mặt khác
4 4
4
12 3
4
4 4
4 3 ) 4 )(
4
)(
4
(
xyz
xyz
xz yz xy z
y x z
y
x
3 3
4
3 3 ) 4 )(
4 )(
4 ( 3 81 4
12 3
) 4 )(
4
)(
4
(
xyz
Trang 5Nên 4
3 3
3 12
3
3
N
M BĐT (*) được cm dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1