Cho ∆ABC, trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN.. Cho ∆ABC có số đo góc nhỏ nhất bằng 45O, cạnh nhỏ nhất có độ dài 1 đv và trung điểm 3 đường cao thẳng hàng.. Tìm số chính phương n
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CẨM KHÊ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN
Ngày thi: /12/2018
Đề thi có 03 trang
PHẦN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)
(Khoanh vào chữ cái trước câu trả lời đúng nhất)
Câu 1 Cho x > y > 0 và 2x2 + 2y2 = 5xy Giá trị của biểu thức P= x y x y
bằng:
1 1 1 1
1 9 25 (2n 1)
, với n1 được kết quả:
2 1
n n
2 1
n n
1 (2n 1)
Câu 3 Tính y = 5 13 5 13 5 13 được kết quả là:
Câu 4 Cho hàm số y=f(x)=2 x2 2x 1 Tất cả các giá trị của x để f(x)≤1 là:
A 0 ≥ x ≥ 2 B 0 ≤ x ≤ 2 C x ≤ 2 D x ≥0
Câu 5 Trong hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ (x,y) thỏa mãn y = |x - 1|
+ |y - 2| = 1 là:
A Cạnh hình vuông B Cạnh hình chữ nhật
C Đường tròn D Đường thẳng
Câu 6 Nghiệm của phương trình 25 x2 15 x2 2 là:
A x= 51 B x= 51 C x= 51
2
D x=49
4
Câu 7 Tất cả các số tự nhiên n để 2n + 1 chia hết cho 3 là:
A n=2k+1 (k=0,1,2, ) B n=2k (k=1,2,3 )
Trang 2Câu 8 Năm 2018 một người hỏi nhà Toán học bao nhiêu tuổi.Nhà Toán học nói 45
năm trước tuổi của ông bằng tổng các chữ số năm sinh Vậy năm 2018, nhà Toán học bao nhiêu tuổi?
Câu 9 Tính A= sin210o + sin220o + + sin270o + sin280o được kết quả là:
Câu 10 Giá trị nhỏ nhất của M= (x 2018) 2 (x 2019) 2 là:
Câu 11 Cho tứ giác lồi ABCD bất kỳ, đường chéo AC, BD Khẳng định nào đúng:
A AB+CD < AC+BD B AB+CD > AC+BD
C AB+CD ≥ AC+BD D AB+CD ≤ AC+BD
Câu 12 Cho ∆ABC có đường cao BH ≥ AC, CK ≥ AB ∆ABC là tam giác gì?
A Tam giác bất kỳ B Tam giác cân
C Tam giác đều D Tam giác vuông
Câu 13 Cho ∆ABC, trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN Giá trị nhỏ nhất
của M = CotB + CotC bằng:
A 1
1
2
3 3
Câu 14 Cho ∆ABC nội tiếp (O;R) Diện tích ∆ABC đạt giá trị lớn nhất bằng:
A R2 3 khi ∆ABC vuông cân B 3
2R2 khi ∆ABC đều
C 3
4R2 khi ∆ABC đều D Kết quả khác
Câu 15 Cho hình thang cân (AB//CD) ngoại tiếp đường tròn (O;R) Tích AB.CD bằng:
Câu 16 Cho ∆ABC có số đo góc nhỏ nhất bằng 45O, cạnh nhỏ nhất có độ dài 1 đv và trung điểm 3 đường cao thẳng hàng Diện tích ∆ABC bằng:
Trang 3PHẦN II TỰ LUẬN (12 điểm)
Câu 1 (3,0đ).
1 Tìm tất cả các giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn: 4x2 + 31y2 +17xy = 0
2 Tìm số chính phương nhỏ nhất có bốn chữ số và là bội của 147
Câu 2 (3,5đ).
1 Cho
1 0 0
a b c
ab bc ca abc
Tính giá trị của M a2018 b2019 c2020
2 Giải hệ phương trình:
2
3
Câu 3 (3,5đ) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Vẽ tia Cx vuông góc với AB Trên Cx
lấy điểm D và E sao cho CE CA 3
CB CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H (H≠C) Chứng minh rằng
a Ba điểm A, H, E thẳng hàng
b Ba điểm B, D, H thẳng hàng
c Đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn AB
Câu 4 (2,0đ) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 2 1 2 1
P
Họ tên: Số báo danh:
Trang 4PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN
I. TRẮC NGHIỆM
II TỰ LUẬN
Câu 1 (3,0đ).
1 Tìm tất cả các giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn: 4x2 + 31y2 +17xy = 0
2 Tìm số chính phương nhỏ nhất có bốn chữ số và là bội của 147
1 Tìm tất cả các giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn: 4x2 + 31y2 +17xy = 0
2
2
2
2
17
4
0 207
0 4
y y
Vậy cặp số nguyên duy nhất thỏa mãn là (x; y) = (0; 0)
0,75
0,25
2 Gọi n là số chính phương có 4 chữ số cần tìm
Ta có 103 ≤ n < 104 và n = 147k, với
n = 72.3k Do n chính phương nên k 3 k 3 ' k
Do đó 103 ≤ 72.32.k’ <104 => 2 ≤ k’<22
Mà n là số chính phương nên k’ cũng là số chính phương Do đó k’ có thể bằng 4, 9, 16
Vì n là số chính phương nhỏ nhất, ta chọn k’ = 4 => n = 72.32.4 = 1764
0,25 0,25 0,5
0,5 0,25
Trang 51 Cho
1 0 0
a b c
ab bc ca abc
Tính giá trị của M a2018 b2019 c2020
2 Giải hệ phương trình:
2
3
1 Tính giá trị của M a2018 b2019 c2020
0
0
a
c
Nếu a=0 1 0; 1
0 0 1
a b c
hoặc
0 1 0
a b c
Nếu b=0
0 0 1
a b c
hoặc
1 0 0
a b c
Nếu c=0
1 0 0
a b c
hoặc
0 1 0
a b c
Như vậy trong mọi trường hợp M = 1
0,5
0,5
0,25
0,25
2 Giải hệ phương trình:
2
3
Dễ thấy x = 0, y = 0 là một nghiệm của hệ
Với x ≠ 0, đặt x=ty (t R ) Khi đó 0,25
0,5
Trang 6E
H
2
(5 3 ) (1 3 ) (5 3 ) (1 3 )
(5 3 )(1 ) (1 3 )(1 3 ) (1 3 ) (1 )
(5 3 ) (1 3 ) (5 3 ) (1 3 )
1 1
1
2
2
x
y
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là (0; 0); ( 1
2 ;
1
2 ); (-1; 1)
0,5
0,5
0,25
Câu 3 (3,5đ) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Vẽ tia Cx vuông góc với AB Trên Cx
lấy điểm D và E sao cho CE CA 3
CB CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H (H≠C) Chứng minh rằng
a Ba điểm A, H, E thẳng hàng
b Ba điểm B, D, H thẳng hàng
c Đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn AB
Câu 3a Ba điểm A, E, H thắng hàng
Trang 7
Ta có AHE AHC CHE CHE EBC 180o
=> A, H, E thẳng hàng
0,5
0,5
0,5
Câu 3b Ba điểm B, D, H thắng hàng
Kéo dài AD cắt EB tại K, ta có: KAB KBA 90o AKB 90o
mà
AK EB EC AB=> D là trực tâm của ∆EAB
0,5 0,25 0,25 Câu 3c Đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên
đoạn AB
CD
ACD
là nửa tam giác đều ADC 60o AHC 60o
Đường thẳng HC đi qua điểm I thuộc đường tròn đường kính AB mà
0,5
0,25
0,25
Câu 4 (2,0đ) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 2 1 2 1
P
1
a
0,25
0,5
Trang 83 3
P
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
1 1 1
0,25