Toan 9 ha hoa (18 19)

Cho ABC,đường trung tuyến AM từ điểm D bất kì trên cạnh BCD M , vẽ đường thẳng d song song với đường trung tuyến AM , d cắt AB ở E, cắt AC ở F.. Gọi x; y; z lần lượt là bán kính đườn

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi có 03 trang

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn các phương án trả lời đúng

P

    với x1;x2 Giá trị của biểu thức P tại x 3 là:

A 2 2 B 2 2 2  C 2 2 D 2 2 2

Câu 2 Số nào sau đây là số chính phương:

A 20182019 B 3 20 14 2   3 20 14 2  C 45677635 D 2016.2017.2018.2019+1

Câu 3 Cho đường thẳng  d :y k  2x2 Giá trị của k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d bằng 10

5 là:

A k 5;k 1 B k 5;k 1 C k 5;k 1 D k 2;k 5

Câu 4 Cho hai đường thẳng d :y2x2m 1 và  d' :y  x 2m Điều kiện của m để hai đường thẳng  d và  d cắt nhau tại một điểm nằm bên phải trục tung’ là:

4

m   B 1

4

m  C. 1

4

Câu 5 Cho phương trình x2  x m0 (với m là tham số) Gọi x x là hai nghiệm1; 2

của phương trình Giá trị lớn nhất của biểu thức P x x 12 11 x x22 2 1 là:

1 2

Câu 6 Cho phương trình x2  a b c x ab bc ca      0 1  (với a b c, , là độ dài

3 cạnh của một tam giác) Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A  1 có nghiệm kép B  1 có hai nghiệm trái dấu

C  1 có hai nghiệm đều dương D  1 vô nghiệm

Câu 7 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để để hệ 2

x my

mx y





 (với m là tham số)

có nghiệm duy nhất x y mà ,  x 0 và y 0?

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 8 Cho Parabol  P y: 2x2 và đường thẳng  d :y m điều kiện của m để

 d cắt  P tại hai điểm A B; sao cho OAB đều là:

A 3

2

3

4

3

Câu 9 Cho ABC,đường trung tuyến AM từ điểm D bất kì trên cạnh BCD M ,

vẽ đường thẳng d song song với đường trung tuyến AM , d cắt AB ở E, cắt AC ở

F Hệ thức nào sau đây sai:

A AE MD

AB MC

B

DE+EF=2.AM C.

AM MD D

AF AC

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Gọi x; y; z lần lượt là bán

kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC; ABH; ACH Khi đó ta có:

A x = y+z B x2 = y2+z2

C x y z D x  y z

Câu 11 Cho hình thang ABCD vuông ở A D, Đường chéo BD vuông góc với cạnh

bên BC, biết AD12cm, BC 20cm Khi đó AB ?

Câu 12 Cho ABC nhọn Hai đường cao AD BE, cắt nhau tại H Biết H là trung

điểm của AD Khi đó tanB.tanC ?

A 2

1

2 5

Câu 13 Cho góc nhọn  , mệnh đề nào sau đây đúng:

A sin tan B cot cos C cot cos D sin cos

Câu 14 Hai đường tròn O R và ;  I r tiếp xúc ngoài với nhau tại ;  A, BC là tiếp tuyến chung ngoài B O  và C I  Khi đó độ dài BC tính theo R r, là:

A R r B.R r C 2 Rr D Rr

Câu 15 Cho nửa đường tròn O R đường kính ;  MN Vẽ tiếp tuyến Nx tại N của

 O Gọi K là 1 điểm tùy ý trên tia Nx, nối MK cắt  O tại I Khi đó giá trị nhỏ nhất của 2.MI MK bằng?

A  2 1 R  B 2 2 R C 2 2R D 4 2R

Câu 16 Một lớp có 40 học sinh Các bạn đăng ký học thêm ít nhất một trong hai môn

Toán, Văn Trong đó 30 học sinh đăng ký môn Toán, 25 học sinh đăng ký môn Văn

Số học sinh đăng ký cả hai môn là:

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a Chứng minh rằng nếu p q, là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2  q2 chia hết cho 24

b Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a b c 1; a   2 b2 c2 1; a3b3 c3 1 Chứng minh: a2017 b2018 c2019 1

Câu 2 (3,5 điểm)

x x  x  x x   x  x

b Giải hệ phương trình: 2 2 1 7 2

1 13

  







Câu 3 (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O Điểm

A di động trên đường tròn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BE,

CF của tam giác ABC cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và

BC đoạn thẳng KA cắt (O) tại M Chứng minh rằng:

a Tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn

b KM KA KB KC 

c Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên đường tròn

(O) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn.

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x y z  2018

Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2018 2018 4 4

2018

P



-HẾT -Họ và tên thí sinh SBD Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM THI

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)

Mỗi câu đúng 0,5 điểm

Câu 9 Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16

II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1

điểm

a Chứng minh rằng nếu p q, là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2  q2 chia

hết cho 24

a

( 1,5

điểm)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3

Mặt khác ta có  p 1 p p1 3  p2  1 3 (*) 0,5

Vì p 1;p1 là hai số chẵn liên tiếp nên một số là bội của 2, một số là bội

của 4

Do đó  p 1  p1 p2  1 8 (**) Mặt khác 8,3 1 (***)

0,5

Từ (*), (**) và (***) suy ra p   2 1 24 0,25 Tương tự ta có: q2  1 24   p2  1  q2  1 p2  q224 0,25

b

( 1,5

điểm)

b Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a b c 1; a   2 b2 c2 1; a3b3 c3 1

Chứng minh: a2017 b2018 c2019 1

Ta có a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca)

0,25

abc ab bc ca ab bc ca abc

a b c a b c ab bc ca

0

0

a b c









 



0,25

Nếu a = 0 => 2 2

1 1 1

b c

 







Nếu c = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) hoặc (a,b,c) =(1,0,0)

Vậy mọi trường hợp ta có P = 1

a.

(1,75

điểm)

c Giải phương trình: x3 x2  3x  3 2x  x2   3 2x2  2x

+ Điều kiện xác định:

2 2

0

3 0

x x x x

x x

x x









 





0,25

+ Viết lại phương trình

+ Phương trình 2x x2    3 0 x2  2x  vô nghiệm 3 0 0,5

b.

( 1,75

điểm)

b Giải hệ phương trình: 2 2 1 7 2 *

1 13

  







Thay y 0 vào hệ ta có: 1 0  0

1 0 vn y









2

2

1 7

1 7

**

1

x x

x

y y





  





0,25

1

1

2

a x

y

b y



 







 



Kết hợp với ** ta có hệ phương trình:  2

4 3 7

12

a b

a b

b



 







 





 



 



0,5

Với 2

3 1 3

4

1

1 3

x y

a

x

y



 



















 



0, 25

Với

2

1 5

12 5

x

x y

y



 





0,25

Vậy hệ phương trình có nghiệm:  ;  3;1 ; ;   1;1

3

x y  x y  

Câu 4

Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O Điểm A di động

trên đường tròn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BE,

CF của tam giác ABC cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng

EF và BC đoạn thẳng KA cắt (O) tại M Chứng minh rằng

a Tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn

b KM KA KB KC 

c Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên

đường tròn (O)

4 điểm

a.

(1

điểm)

Do BE;CF là các đường cao của tam giác nên 0,5

Do đó tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

0,5

b

(1,0

điểm)

Xét KBM và KAC có Kchung; KMB KCA   KBM ~KCA(g.g) 0,25

KB KM

KM KA KB KC

KA KC

c

(2

điểm)

Chứng minh tương tự phần b ta có KE KF KB KC. (2)

Có AEH  AFH  90 0 suy ra tứ giác AEHF nội tiếp(4) 0,25

Từ (3),(4) suy ra 5 điểm A,M,F,H,E cùng thuộc đường tròn

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O

Chứng minh BH//CA’; CH//BA’ nên BHCA’ là hình bình hành 0,25

Câu 5

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x y z  2018 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2018 2018 4 4

2018

P



1,5 điểm

(1,5

điểm)

2018

P



3



0,5

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có: y x 2

4

y x z





0,25

Suy ra P  2 + 8 – 3 = 7

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2018

3

Kết luận: min 7 2018

3

P   x  y z

0,25