12 2 gt12 ciii b3 ung dung tich phan hdg

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y , trục hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: Bài toán 3: Thể tích khối t

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

2 Bài toán liên quan

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn  

a b; ,

trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được xác định:

y f x

y 0 H

C y f x

C y f x H

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y ( ), x h y ( ) và hai đường

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;

S x( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x,

V f x dx

a

 ( )

y f x y

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường



x g y( ), trục hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy:

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:

Câu 2: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x2,

1

y  , x 0 và x  được tính bởi công thức nào sau đây?1

A  

1 2 0

S  x  x

1 2 0

S  x  x

1 2 0

S  x  x

Lời giải Chọn D



Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:

Phương trình hoành độ giao điểm hai đường là:

1d6

Lời giải Chọn B

Ta có Phương trình hoành độ giao điểm:



.

Lời giải Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

ê =ë

x x

Như vậy, diện tích hình phẳng được gới hạn bằng ( ) ( )

3 2 0

Câu 7: (Mã 102 2018) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  , 2x y 0,

0

x  , x  Mệnh đề nào dưới đây đúng?2

A

2 0

2 dx

S  x

B

2 0

2 dx

S  x

C

2 2 0

2 dx

S  x

D

2 2 0

2 dx

S  x

Lời giải Chọn B

e dx

S  x

B

2 0

e dx

S  x

C

2 0

e dx

S  x

D

2 2 0

e dx

S  x

Lời giải Chọn A

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườngy  , ex y 0, x  , 0 x  là: 2

2 0

d

x

Se x

Câu 9: (Mã 102 - 2019) Cho hàm số yf x  liên tục trên  Gọi S là diện tích hình phẳng giới

hạn bởi các đường yf x y , 0,x và 1 x  (như hình vẽ bên).5

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Phương trình hoành độ giao điểm

Câu 12: (Đề Tham Khảo 2017) GọiSlà diện tích hình phẳng  H

giới hạn bởi các đường yf x 

,

trục hoành và hai đường thẳng x  , 1 x  Đặt 2  

0 1

d

bf x x

, mệnh đề nàosau đây đúng?

A S b a  B S b a  C S  b a D S  b a

Lời giải Chọn A

Câu 13: (Đề Tham Khảo 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo

công thức nào dưới đây?

A  

2 1

2x 2 dx







C  

2 2 1

Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:

Câu 14: (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f x  liên tục trên  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường yf x y , 0,x và 1 x  (như hình vẽ bên) Mệnh đề nào dưới đây4đúng?

liên tục trên  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

cá đường yf x , y0, x2 và x3 (như hình vẽ) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 16: (Dề Minh Họa 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay

hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x 

Câu 17: (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số yf x 

liên tục trên đoạn a b; 

Gọi D là hình phẳnggiới hạn bởi đồ thị hàm số yf x 

, trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b ,    

Thểtích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

Câu 18: (Mã 101 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y e3x, y  , 0 x 0 và

1

x  Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng:

A

1 3 0

e dx x



1 6 0

e dx x



1 6 0

e dx x



1 3 0

e dx x



Lời giải Chọn C

Ta có thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng:

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox là 1 2 2 1 4

Câu 22: (Mã 103 2018) Cho hình phẳng  H

giới hạn bởi các đường y x  2 3, y 0, x  , 0 x  2

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H

xung quanh trục Ox

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A  

2 2 0

3

V x  dx

B  

2 2 0

3

V x  dx

Lời giải Chọn D

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H

xung quanh trục Ox là:

2

2 2 0

3

V x  dx

Câu 23: (Mã 105 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y e x, trục hoành và các đường

thẳng 0x , 1x Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V

e V

B





212

e V

C



23

e V

e V

Lời giải Chọn D

1e

Câu 24: (Mã 104 2017) Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y= x2+ , trục hoành và các1

đường thẳng x=0,x=1 Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích

V bằng bao nhiêu?

A V 2 B

4 3

V  

C V 2 D

4 3

V 

Lời giải Chọn B

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

Lời giải Chọn A

Câu 26: (Mã 110 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2 sin  x, trục hoành và các

đường thẳng x  , 0 x   Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể

2

2 2 1

x  , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (

1  ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và x 3 3x 2 2.

A

124 3

V 

Lời giải Chọn A

Diện tích thiết diện là: S x( ) 3 3 x x2 2

 Thể tích vật thể là:

3

2 1

124

3 3 2

3

V x x  dx

Câu 29: (Đề Tham Khảo 2018) Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3x2, cung tròn có

phương trình y 4 x 2 (với 0 x 2  ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tíchcủa  H bằng

 

Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được 3x2  4 x2  x1

 

F x là nguyên hàm của f x  trên  nên      

4 0

.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y F x y G x x  ,   , 0 và x 4 là

Do F x  và G x  là hai nguyên hàm của hàm số f x  trên  nên F x  G x  với C C

Từ  1

và  2

suy ra: C 3 aC3.Vậy: a 3

Câu 34: (MĐ 101-2022) Cho hàm số bậc bốn yf x  Biết rằng hàm số g x ln f x  có bảng

biến thiên như hình sau

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x  và y g x   thuộc khoảng nào dưới đây?

Từ bảng biến thiên của hàm số g x ln f x , ta có: ln f x ln 2 f x  2

x x

S f x  g x dx f x  g x dx        

3 2

x x

biến thiên như sau:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x  và y g x   thuộc khoảng nào dưới đây?

x x

1 1

x x

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x 

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy g x  ln 3, x  f x  3, x 

x x

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ' x  

Từ BBT ta thấy f x  4, x

 

f ' xg' x

x x

Câu 38: (Mã 104 - 2019) Cho đường thẳng

3 2

9 0

16

a a

Giải nhanh bằng máy tính cho kết quả x 0, 421875 thuộc khoảng

y x

và parabol

2

1 2

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

A

91;

Phương trình hoành độ giao điểm 2x2a3x 2x2 3x a 0 có hai nghiệm dương phân biệt

9

90

cắt nhau tại ba điểm có hoành

độ lần lượt là 2 ; 1 ; 1 (tham khảo hình vẽ)

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f x 

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là      

1 2

37d2

Câu 42: (Mã 101 2018) Cho hai hàm số   3 2 1

2

f x ax bx cx

và g x  dx2ex1

a b c d e  , , , ,  Biết rằng đồ thị hàm số yf x 

và y g x   cắt nhau tại 3 điểm có hoành

độ lần lượt là 3 ; 1; 1 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diệntích bằng

9

Lời giải Chọn D

Cách 1:

Xét phương trình

3 2 1 2

12

ax bx cx dx ex 3   2   3

02

Lời giải Chọn C

Vì phương trình f x( ) g x( ) 0 có 3 nghiệm 3; 1; 2 nên

f x  g x a x x x

So sánh hệ số tự do ta được

362

a

.4

Câu 44: (Mã 104 2018) Cho hai hàm số   3 2 3

Lời giải Chọn A

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

   

3 2

Câu 45: (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y2(x1) ,e x

trục tung và trục hoành Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H

xungquanh trục Ox

A V e2  5

B V 4 2 e C V e 2 5 D V  4 2e

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm 2x1e x  0 x1

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H

1

2

x x

u x

e v

1

2

x x

1 0

2

x e

V   x  I     e  e 

Câu 46: (Mã 103 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên

theo thời gian bởi quy luật   1 2 13  

m/s

100 30

v t  t  t

, trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính

từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O,chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng

B

S at

2 15 0

Câu 47: (Mã 104 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên

theo thời gian bởi quy luật   1 2 58  

/

120 45

v t  t  t m s

, trong đó t (giây) là khoảng thời gian

tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O ,

chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng

Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15 giây, chất điểm Ađi

Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng

đường hai chất điểm đi được bằng nhau Do đó

Câu 48: (Đề Minh Họa 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời

điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t  5 10t

Xét phương trình 5t10 0  t2. Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tôdừng hẳn

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là

 

2

2 0

25

02

Câu 49: (Mã 102 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên

theo thời gian bởi quy luật   1 2 59  

/

150 75

v t  t  t m s

, trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính

từ lúc a bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O ,

chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng

Quãng đường chất điểm A đi từ đầu đến khi B đuổi kịp là

 

15

2 0

Tại thời điểm t  vật 3 B bắt đầu từ trạng thái nghỉ nên v B 3  0 C 3a

.Lại có quãng đường chất điểm B đi được đến khi gặp A là

15

15 2 2

Câu 50: (Mã 101 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên

theo thời gian bởi quy luật ( ) 1 2 11  / 

180 18

v t  t  t m s

, trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính

từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O ,

chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng

Thời gian tính từ khi A xuất phát đến khi bị B đuổi kịp là 15 giây, suy ra quãng đường đi

được tới lúc đó là

15 0

Quãng đường của B từ khi xuất phát đến khi đuổi kịp A là

d 75

a t t

10 2 0

752

; suy ra vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng y 10 15m s/ 

Câu 51: (Mã 105 2017) Một vật chuyển động theo quy luật  

3 2

162

Vận tốc của vật chuyển động là   3 2   

122

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f t trên đoạn    0; 6

Câu 52: (Mã 123 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km h( / ) phụ thuộc vào thời

gian ( ) có đồ thị vận tốc như hình bên Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,

đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trụctung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãngđường s mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A s21, 58(km) B s23, 25(km) C s13,83(km) D s15, 50(km)

Lời giải Chọn A

Gọi phương trình của parabol v at2bt c ta có hệ như sau: 

Với 1t ta có 

314

Câu 53: (Mã 104 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời

gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh

1

; 82

I 

  và trục đối xứng song song với trụctung như hình bên Tính quảng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút,

kể từ khi chạy?

A s 2,3 (km) B s 4,5 (km) C s 5,3 (km) D s 4 (km)

Lời giải Chọn B

Gọi parabol là  P :y ax 2bx c

Từ hình vẽ ta có  P đi qua O0; 0, A1; 0

và điểm1

; 82

2 0

s x  x x

(km)

Câu 54: (Mã 110 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc vkm/h

phụ thuộc thời gian

 

h

t

có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I2;9

và trục đối xứng song song vớitrục tung như hình bên Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó

Gọi v t  a t 2bt c

Đồ thị v t  là một phần parabol có đỉnh I2;9 và đi qua điểm A0;6 nên

2 2

32

v t  t  t

Vậy

3 2 0

3

3 64

S  t  t dt



24,75 (km)

Câu 55: (Mã 105 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t

(h) có đồ thị của vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyểnđộng, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I2; 9

với trục đối xứng song song vớitrục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính

quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó

A s24 (km) B s28, 5 (km) C s27 (km) D s26, 5 (km)

Lời giải Chọn B

Ngoài ra tại 3x ta có 

274

Câu 56: (Đề Tham Khảo 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A A B B như1, 2, ,1 2

hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 nđv / m và phần còn lại2

N M

N M

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1 yf x y x'( ),  1, x3, x1Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 y x 1, yf x x'( ), 1, x3

Dựa vào hình vẽ, ta thấy: S1S2  0

1 2

S

S bằng

A

3

5

3

3.5

3.5

S

S =

Câu 61: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1)Cho hàm số f x  x3ax2bx c

với a b c, , là các số thực.Biết hàm số g x f x  f x  f x

có hai giá trị cực trị là  3 và6 Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường

 

  6

f x y

có hai giá trị cực trị là 5 và 3 Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường

 

  6

f x y

Chú ý rằng g x  là hàm số bậc 3 có hệ số của x3 là số dương (bằng 1), có hai giá trị cực trịnên g x 

có hai nghiệm x x1, 2 (x1x2) với x1 là điểm cực đại, x2 là điểm cực tiểu

Khi đó từ giả thiết ta có g x  1 3, g x  2 5 và với mọi xx x1; 2 thì g x  0,

g x



 và y 1 bằng

2 1

có hai giá trị cực trị là 5 và 2 Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đường

 

  6

f x y

g x



 và y 1 là:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

6

x

x x x

Ta có f 0 3

nên

1.2

 và 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi yf x' 